El joc de l'Oca i les probabilitats

Hi ha moltes teories sobre l'origen del joc de l'Oca. Fins i tot algunes de molt esotèriques que el relacionen amb el Camí de Sant Jaume. No entrarem, per descomptat, en aquest tema. Sí que sabem que Francesc de Mèdici li'n va regalar un a Felip II i que, d'aquesta manera, va entrar a la cort espanyola i, de mica en mica, a la resta de corts europees. També sabem que hi ha moltes versions que il·lustren fets històrics o narracions diverses. I a les escoles hem fet un munt de versions relacionades amb la didàctica. Aquí parlarem del joc de l'Oca més tradicional, que ha arribat a nosaltres i que consta de 63 caselles amb les seves oques, ponts, daus, laberint... Gran part del seu èxit segurament és degut al fet que és un joc que depèn absolutament de l'atzar. No s'ha de prendre cap decisió. El parxís, per exemple, és més complex perquè no ens limitem a tirar els daus i comptar, ja que hem de triar amb quina fitxa ho fem. Aquí no. Anem on ens porta la sort. No hem de pensar.

Amb els alumnes més petits podem utilitzar el joc a l'aula per exercitar la suma, per exemple fent anticipar a quina casella es caurà, un cop tirat el dau, abans de fer el moviment. També jugant amb dos daus. Quan són una mica més grans ens podem fer altres tipus de preguntes. Per exemple:

• Podem estimar quina longitud tindria el tauler si "estirem" el recorregut posant-lo recte? El doble de l'amplada? El triple?...
• Pot existir una partida infinita en què no s'arribi mai al final?
• Es pot arribar amb una sola jugada fins al final? (considerarem part d'una mateixa jugada quan tenim opció a tornar a tirar el dau, com quan es cau a una oca).
• Si és així quin és el mínim de vegades que haurem de tirar el dau?
• Quin patró segueix la distribució de les oques?

Però a secundària ens poden sorgir preguntes noves:

• Quina és la duració mitjana d'una partida?
• Fins a quines caselles i amb quina probabilitat puc arribar en una sola jugada? I en dues? I en tres?...
• Totes les caselles es "visiten" igual, o hi ha unes caselles per les quals passem més que altres?

En aquest article ens centrarem en aquestes darreres preguntes, que no són tan fàcils de contestar com sembla. Us convidem que, abans de continuar llegint, estimeu unes primeres respostes provisionals.

Per entrar en el tema, però, començarem per una versió de l'oca ben reduïda: un tauler de 10 caselles. Es comença el joc a la casella zero. La 3 i la 6 serien oques. Si es cau a la 6 s'arriba directament al final. La 8 porta al principi de nou.

Continuem?

Si et despistes ets perd un gol (un model estocàstic)

Una de les lectures matemàtiques sorprenents d'aquest 2016 ha estat el llibre de David Sumpter Fútbol y matemáticas (Ed. Ariel). L'autor és un matemàtic anglès que treballa a la Universitat d'Upsala i que dirigeix un grup d'investigació sobre comportament col·lectiu. El que fa interessant el llibre és que s'allunya dels tòpics matemàtico-futbolístics habituals (que també toca, però per sobre) i ens proposa diferents models matemàtics per analitzar altres aspectes com la distribució dels jugadors en el camp, l'estudi dels seus moviments individuals i col·lectius, etc. I, en molts casos, comparant-los amb altres models similars aplicats a la biologia. És difícil adaptar les idees que sorgeixen a l'aula perquè, en molts casos, requereixen l'ús i tractament d'una quantitat ingent de dades. Així i tot, algunes sí que poden tenir adaptació com l'anàlisi dels moviments en un petit rondo o el procés d'inici i final d'uns aplaudiments. L'activitat que proposarem a continuació apareix en el primer capítol del llibre "Nunca he predicho nada y nunca lo haré", un divertit i paradoxal títol que té l'origen en una declaració del jugador Paul Gascoigne l'any 1996.

En aquest capítol Sumpter ens diu. "El que fa que el futbol i altres esports d'equip siguin apassionants és la seva impredictibilitat. Si estàs mirant un partit i apartes la vista durant uns pocs segons, et pots perdre una jugada important i un gol inesperat". Com a especialista en models matemàtics ens en proposa un que relaciona clarament estadística i probabilitat.

El vols conèixer?

El joc del Txuca Ruma

Aquest joc de solitari sembla tenir un origen incert que se situa pel sud-est asiàtic (Índia, Indonèsia...). Encara que algunes fonts asseguren que el seu inventor és el matemàtic francès de finals del segle XIX Édouard Lucas (també creador del joc de les Torres d'Hanoi).

És un joc del tipus mancala en els que el moviment recorda la sembra de llavors. En el Txuca Ruma el tauler té cinc forats. Quatre, que direm "normals", tenen dues llavors i el darrer, el ruma, no en té cap. Justament l'objectiu és posar les vuit fitxes inicials en el ruma, seguint les regles concretes del joc.

En aquest solitari, tot i no ser especialment difícil, convé procedir de forma ordenada i sistemàtica per trobar la solució, que, com veurem, és única.

T'animes a jugar?