Per la incertesa
de molts camins faig via;
tu m'acompanyes
Miquel Martí Pol
Al seu llibre
Circo matemático en
Martin Gardner deia. "Els matemàtics tenen el pertinaç costum d'analitzar tot el que és analitzable, i les caminades sense rumb no anaven a ser una excepció". Un passeig aleatori consisteix bàsicament en deixar a la sort la direcció de cada pas que donem. Aquestes passejades se solen estudiar en una, dues i tres dimensions i tenen aspectes que van contra la intuïció. De les passejades unidimensionals (sobre una línia) ja vam parlar a l'entrada
Casualitats, creences, impressions... i allà mostràvem que, contra el que podríem pensar en primera instància, si sortim d'un punt i optem a cara o creu si anem cap endavant o cap endarrere no estem creuant el punt d'origen una i una altra vegada sinó que ens passem molta estona a un dels costats.
Ara ampliarem algunes idees, parlarem de les de dues i tres dimensions i farem alguna proposta per a l'aula.
Passejades unidimensionals
Imaginem que tenim un tauler lineal amb 9 caselles. Sortirem del centre i, tirant una moneda, decidirem si anem a la dreta o a l'esquerra. Si ens sortim del tauler acaba el joc "negativament". Si tornem a la casella central acaba "positivament".
Una primera pregunta que ens podem fer és; quina és la probabilitat de tornar a estar a la sortida al 3r moviment? Penseu abans de continuar llegint.
La resposta és zero, impossible. Si imaginem pintades les caselles alternativament en blanc i negre a cada moviment canviem de color. Necessitem doncs una quantitat parell de moviments per tornar a una casella del mateix color. Només podrem tornar a l'origen al 2n moviment, al 4t, al 6è, etc.
Podem analitzar les probabilitats d'estar a cada casella a cada moviment. En aquest applet es mostren els càlculs.
Podem observar que les probabilitats de tornar al centre van minvant a mesura que augmentem la quantitat de moviments: és del 50% als 2 moviments, del 37,5% al quart, dels 31,25% al 3r... i del 14,66% si ens allarguem fins al 20è.
Això ens pot fer pensar que és més fàcil sortir-se'n del tauler que tornar al centre. Però si experimentem descobrirem que és "escandalosament" més probable tornar al centre.
Una aparent paradoxa entre probabilitat calculada i probabilitat experimental? Una prova de que el problema és més complicat del que sembla?
Passem a estudiar les passejades aleatòries en dues dimensions?