Blog del Calaix +ie: El dolç pler de passejar a l'atzar

Per la incertesa

de molts camins faig via;

tu m'acompanyes

Miquel Martí Pol

Al seu llibre Circo matemático en Martin Gardner deia. "Els matemàtics tenen el pertinaç costum d'analitzar tot el que és analitzable, i les caminades sense rumb no anaven a ser una excepció". Un passeig aleatori consisteix bàsicament en deixar a la sort la direcció de cada pas que donem. Aquestes passejades se solen estudiar en una, dues i tres dimensions i tenen aspectes que van contra la intuïció. De les passejades unidimensionals (sobre una línia) ja vam parlar a l'entrada Casualitats, creences, impressions... i allà mostràvem que, contra el que podríem pensar en primera instància, si sortim d'un punt i optem a cara o creu si anem cap endavant o cap endarrere no estem creuant el punt d'origen una i una altra vegada sinó que ens passem molta estona a un dels costats.

Obrir l'applet (flash)

Ara ampliarem algunes idees, parlarem de les de dues i tres dimensions i farem alguna proposta per a l'aula.

Passejades unidimensionals

Imaginem que tenim un tauler lineal amb 9 caselles. Sortirem del centre i, tirant una moneda, decidirem si anem a la dreta o a l'esquerra. Si ens sortim del tauler acaba el joc "negativament". Si tornem a la casella central acaba "positivament".

Una primera pregunta que ens podem fer és; quina és la probabilitat de tornar a estar a la sortida al 3r moviment? Penseu abans de continuar llegint.

La resposta és zero, impossible. Si imaginem pintades les caselles alternativament en blanc i negre a cada moviment canviem de color. Necessitem doncs una quantitat parell de moviments per tornar a una casella del mateix color. Només podrem tornar a l'origen al 2n moviment, al 4t, al 6è, etc.

Podem analitzar les probabilitats d'estar a cada casella a cada moviment. En aquest applet es mostren els càlculs.

Obrir l'applet (flash)

Podem observar que les probabilitats de tornar al centre van minvant a mesura que augmentem la quantitat de moviments: és del 50% als 2 moviments, del 37,5% al quart, dels 31,25% al 3r... i del 14,66% si ens allarguem fins al 20è.

Això ens pot fer pensar que és més fàcil sortir-se'n del tauler que tornar al centre. Però si experimentem descobrirem que és "escandalosament" més probable tornar al centre.

Obrir l'applet (flash)

Una aparent paradoxa entre probabilitat calculada i probabilitat experimental? Una prova de que el problema és més complicat del que sembla?

Passem a estudiar les passejades aleatòries en dues dimensions?

Jugarem en un tauler de 5x5 tirant un dau de quatre cares (o prescindint del 5 i el 6 en un dau normal) Ara podem decidir entre quatre direccions: nord, sud, est o oest. Com abans mirarem si sortim del tauler (perdem) o retornem a l'inici (guanyem).

Quines són les probabilitats de caure en una casella determinada després de n moviments? Podem fer els càlculs pertinents com es veu en aquest applet.

Obrir l'applet (flash)

Si arribem al 10è moviment la probabilitat d'haver sortit és del 63,1 % i la d'estar al centre del 5,28%. Però si experimentem, com abans, veurem que la quantitat de vegades que tornem al centre no està massa per sota del 50%. Us deixem pensar els motius d'aquesta aparent paradoxa.

Obrir l'applet (flash)

I a un tauler infinit?

No podem construir-ne un tauker infinit però ens podem fer una idea aproximada si no "morim" al sortir del tauler. Entre altres opcions tenim aquestes dues:

no tenir en compte la tirada de dau que ens treu fora i tornar a tirar
tornar a entrar pel costat oposat del que hem sortit (com a alguns videojocs).

"A la llarga" no tenen diferències fonamentals. Aquí estudiarem la segona.

Si ens imaginem un tauler quadrat sobre el que ens podem moure de forma que, si sortim per un costat tornem a aparèixer pel costat oposat, una primera pregunta matemàtica que ens podem fer és la següent: Quina forma tindria un planeta on passés això? La resposta és una rosquilla, la forma que en matemàtiques anomenem tor.

Comencem, com abans, a estudiar les probabilitats de cada casella a mesura que augmenta la quantitat de moviments. Podrem observar que les probabilitats es van repartint de forma equitativa entre totes les caselles.

Obrir l'applet (flash)

Ara podem passejar per la quadrícula. Podem comparar si la passejada mitjana és ara més llarga que abans, quan es "moria" al sortir del tauler, i fer explicar el per què de la diferència.

Obrir l'applet (flash)

Una manera de comprovar que les probabilitats de les caselles s'igualen és comptar quantes vegades passem per cadascuna d'elles. Si deixem que l'applet funcioni prou temps veurem que les quantitats de les diferents caselles es van igualant.

Obrir l'applet (flash)

Jugar amb aquesta regla (no sortir mai) ens dóna una idea del que passaria en un tauler infinit i en un temps infinit: passaríem per totes les caselles i més d'una vegada. Dit d'una altra manera, si ens donem el temps suficient sempre tornarem a la casella d'origen. Això ho va demostrar matemàticament George Pólya a l'any 1921.

George Pòlya (1887-1985)

És interessant dibuixar les passejades mostrant el rastre del moviment per comprovar com es va dibuixant la retícula quadriculada.

Podem observar un exemple en aquest applet de Winfried Roppel en el que l'objectiu és unir els punts A i B.

Obrir l'applet (flash)

I en tres dimensions?

Ara no estudiarem les tres dimensions per no fer extremadament llarg aquest article. Podeu imaginar el mecanisme: sis direccions a triar amb un dau.Podeu trobar moltes explicacions a internet o acudir al llibre de'n Gardner.

En tot cas aquí podeu veure un applet que us permet fer ràpides passejades aleatòries en 2D i 3D tot decidint quantes passes voleu fer.

Pòlya va demostrar que en tres dimensions la probabilitat de tornar a passar per un mateix punt ja no és del 100% i al 1940 es va poder concretar que aquesta probabilitat era d'un 35%. Si voleu podeu mirar aquí les fórmules associades per 3 i més dimensions

Fem restriccions?

En les passejades de dues i tres dimensions poder fer que no tinguin restriccions, com les que hem mostrat, o que siguin restringides. Una passejada autorrestrictiva prohibeix passar dues vegades per un mateix node.

Una de les qüestions a observar en una passejada autorrestrictiva és que pot formar-se un bucle des del qual ja no ens podrem moure. A la imatge teniu un exemple en dues dimensions. La propera tirada només pot portar a A o a B. Si porta a A ens quedarem tancats.

I això per a què serveix

Les matemàtiques acostumen a proporcionar models que després es poden aplicar en altres camps de la ciència o de la cultura en general.

Exemples? En economia s'ha utilitzat per determinats estudis de mercat (teoria del passeig aleatori). En biologia per analitzar el moviment de determinats animals o per comprendre determinats processos evolutius. En física per modelar el moviment brownià. En química per analitzar la formació de determinats polímers, etc., etc.

Exemple de moviment brownià

Una escultura londinenca d'Antony Gormley dissenyada
amb una passejada aleatòria

I a l'aula?

Proporcionar models on la probabilitat té un sentit no està de més. El tema tractat ens convida a experimentar, ens possibilita estudiar situacions de probabilitat condicionada, discutir aparents paradoxes. Al llarg de l'article ja s'han espurnejat algunes idees de com tractar aquest tema a l'aula i altres se'n desprenen. Tot i així apuntem algunes coses més.

Al final de la primària es pot experimentar en una i dues dimensions. Quan estudiem el cas d'una dimensió cal fer hipòtesis sobre la quantitat de vegades que es retorna al centre i després veure si s'acompleixen o no amb l'experimentació. Convindrà treballar en petits equips perquè hi ha molta feina de repetició i s'ha de repartir.
Per treballar en 2D podem diversificar les feines. Si ho fem amb tauler i fitxes podem fer que un grup estudiï quantes vegades "moren" i quantes tornen a casa, i la durada mitjana del passeig (separant quan tornen de quan no). Uns altres grups poden estudiar els casos de "no sortir mai del tauler" (ignorant les tirades que ens treuen) o el del tauler-toro (sortir per una banda i retornar per l'altra) i comparar les mitjanes de durada.
Si ho fem dibuixant (no restrictiu i en un full quadriculat gran) podem superposar els dibuixos i observar com es reconstrueix la quadrícula. Pot ajudar a fer-se a la idea de que la probabilitat de passar diverses vegades per cadascun dels vèrtexs és 1. Si fem dibuixar els camins en paper vegetal encara millor.
A partir de 2n d'ESO podem treballar la probabilitat de cada casella en dos, tres, quatre... moviments i plantejar les aparents paradoxes comentades a l'article.
No n'hem parlat a l'article però es pot observar que la distància a la que estem de l'origen a una quantitat n de passes tendeix a ser √n. Podem intentar comprovar-ho experimentalment.
Podem programar amb scratch una passejada aleatòria bidimensional. Us proposem alguns exemples que també poden ser utilitzats a classe per experimentar.