29 de novembre del 2015

Heptatrisecció de l'angle

A l'antiga Grècia, per resoldre els problemes geomètrics, es van autoimposar un regles de joc. De la mateixa manera que quan juguem a futbol, si no som porters, ens autoimposem no tocar la pilota amb els braços encara que ho puguem fer amb qualsevol altra part del cos, les regles gregues per a la resolució de problemes es referien a les eines a utilitzar: només rectes i circumferències, o, dit d'una altra manera, amb regle sense graduar i compàs col·lapsable (un compàs que es tanca quan el separes del paper). Van resoldre molts problemes, però hi ha tres que van passar a la història perquè no en van trobar la solució:
  • la quadratura del cercle (construir un quadrat d'àrea equivalent a un cercle donat).
  • la duplicació del cub (trobar l'aresta del cub de volum doble a un altre donat).
  • la trisecció de l'angle. 
Segles més tard es va demostrar que cap dels tres problemes era resoluble amb aquestes regles de joc. Potser del que menys es parla és el de la trisecció de l'angle i, per aquest motiu, li dedicarem aquest article.

Una dels teoremes més bonics relacionats amb la trisecció de l'angle és el teorema de Morley. Aquest teorema diu que els punts d'intersecció entre les trisectrius dels angles d'un triangle qualsevol formen un triangle equilàter. Pots provar-ho amb aquest applet.


És evident que hi ha angles concrets, com el de 90º, que es poden trisecar amb regles i compàs. Us convidem a fer-ho amb GeoGebra.


Però la impossibilitat de la resolució del problema general, per a qualsevol angle, va ser demostrada per  Pierre Wantzel al 1837. Si bé a l'antiga Grècia no van saber resoldre el problema amb regle i compàs de forma exacta, sí que ho van saber fer amb altres eines. Per exemple amb un regle amb un parell de marques o amb regle, compàs i algunes corbes especials com l'espiral d'Arquímedes, la quadratriu d'Hipies o la concoide de Nicomedes. Són solucions molt boniques que es poden mostrar i treballar a l'aula. Recordem que la cultura matemàtica, i en concret el coneixement de la seva història, han de ser part important del bagatge dels nostres alumnes.

Espiral d'Arquimedes
Quadratiu (o trisectriu) d'Hipies
Concoide de Nicomedes

També mostrarem un trio d'artefactes mecànics que trisequen l'angle: els trisectors de Ceva, Laisant i Kempe.

Pantògraf de Ceva
Trisector de Laisant
Trisector de Kempe

Ens hi posem?

8 de novembre del 2015

D'un sol tall (2)

Continuem l'article anterior amb problemes "d'un sol tall". En aquest parlarem de talls de triangles i quadrilàters.
  • Un quadrat d'un sol tall
Tenim un quadrat dibuixat al mig d'un full. Aquí dibuixarem totes les figures "ben orientades" en el paper però, en el problema general, no és estrictament necessari. Tornem al quadrat. Tal com està, per retallar-lo ens calent quatre talls de tisora.
Si el pleguem per la meitat ens podrem estalviar un tall i fer-ho només amb tres.
Per altre banda tenim dues formes de plegar el quadrat que ens deixa tallar-lo amb tan sols dos talls. El primer demana dos plecs, el segon només un.
Si a partir del plec en diagonal anterior en fem un altre, també "en diagonal" observarem que amb un sol tall podem tallar el quadrat.
Ho podem veure en aquest vídeo:


El repte: més figures d'un sol tall

Us proposem que agafeu paper i tisores i us enfronteu a aquests problemes: com plegar cada figura per poder-la tallar d'un sol cop de tisores:
  • Triangles: un d'equilàter, un isòsceles i un escalè.
  • Quadrilàters: un rectangle, un romboide, un trapezi i un trapezoide.

Per tal de poder superposar costats quan dobleguem és recomanable treballar amb paper vegetal. Si no, encara que és més incòmode, haureu de treballar a contrallum; en aquest cas convé dibuixar els costats dels polígons ben gruixuts. 

Vols mirar les solucions?

1 de novembre del 2015

D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el proper, problemes per portar a l'aula.


Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix en plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort