D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el proper, problemes per portar a l'aula.

Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix en plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort

Retallar l'escaquer 4x4

Podem començar mirant el vídeo del plegat i el tall i, a continuació, mirar pas a pas com s'ha de doblegar el paper.

Ara anirem mostrant i explicant els plecs un a un.

• Primer marquem dos plecs sobre la quadrícula tal com es veuen a l'esquema: un en "vall" i l'altre en "muntanya".

• Un cop marcats els plecs dobleguem el paper fins que ens quedi com a l'esquema. La línia amb més gruix que veiem és el plec en muntanya. L'altre queda amagat darrera.

• A continuació marquem dos plecs més en vall i muntanya.

• Tornem a plegar el paper com abans (el plec en vall també torna a quedar amagat).

• Ara pleguem per una diagonal...

• ... i el triangle obtingut per la bisectriu de l'angle recte.

• Només ens queda fer el tall "definitiu" per separar els quadrats blancs dels negres. Si tallem una miqueta a la dreta de la línia que separa el blanc i el negre, els blancs ens quedaran enganxats pels vèrtexs.

En el seu llibre Matemagica e giochi matematici el seu autor, Carlo Sintini, ens proposa plegar un tauler d'escacs complet de 8x8 per separar d'un sol tall els quadrats blancs dels negres. Amb el que heu vist no és un repte massa difícil.

Una estrella d'un sol tall

Akijama i Ruiz expliquen un mètode per plegar un full i d'un sol tall, aconseguir una estrella de cinc puntes. En els seus dibuixos, que reproduïm aquí, hi ha l'estrella dibuixada, però els plecs es poden fer sense tenir-la.

Molta anys abans, al llibre Problemas y experimentos recreativos, Iàkob Perelman ja ens proposava dos mètodes per tallar una estrella de cinc puntes. Els detallem aquí tot afegint les seves explicacions.

• Mètode 1: "Es comença traçant una circumferència en un full de paper, fent servir un compàs o un platet petit. Després es retalla el cercle, es plega per la meitat  i el semicercle es plega quatre vegades com mostra la figura A. Aquesta és la part més difícil del problema: per fer això s'ha de saber mesurar bé a ull, perquè el semicercle s'ha de plegar en cinc parts iguals. Quan el cercle ja està plegat, es talla amb unes tisores per la part ampla, seguint una de les línies indicades a la figura B. Quan després s'obre el paper s'obté una estrella regular de cinc puntes amb els entrant més o menys profunds (figures C i D) segons l'obluqüitat del tall".

• Mètode 2: "El segon procediment potser sigui més fàcil, ja que no es parteix d'un cercle, sinó d'un quadrat. Es comença per agafar un paper quadrat (A) i es plega per la meitat. Després es fan tres plecs més com es mostra successivament a les figures B, C i D. A la figura D s'indica amb punt la línia de tall. L'estrella s'obté en estendre el paper com es veu a la figura E".

Haig de reconèixer que a mi em costen uns quants intents aconseguir l'estrella a partir de tots aquests plecs i talls. Però imagino que no tots sereu tan sapastres.

Una propina

Raül Fernández em recomana afegir en aquest article un vídeo de Numberphile on se'ns mostra com es poden plegar 26 fulls per, d'un sol tall, aconseguir, una a una, les 26 lletres de l'alfabet. A la introducció es parla del problema general, es presenta, solucionat, un dels problemes del proper article (tant li fa, també el presentarem solucionat) i ens mostra el tall de l'estrella de cinc puntes.

I en el proper article...

Aquests jocs d'avui tenen molt de recreació matemàtica, d'efecte sorprenent. No els hem plantejat com a problemes. En el proper article proposarem reptes "d'un sol tall" que sí que es podran portar a l'aula per treballar-los amb els alumnes.