Si l'emmirallen obtenim una nova fracció
És força evident que les dues fraccions no són equivalents. En un cas tenim el numerador més gran que el denominador i en l'altre el numerador és el més gran.
En canvi, si agafem juguem amb el 13 i el 39 sí que podem obtenir dues fraccions equivalents quan invertim les xifres respectives del numerador i el denominador.
Tenim una fracció mirall.
A partir d'aquí ja podem començar a fer-nos preguntes:
- Hi ha més fraccions mirall de dues xifres? Si és així, quantes?
- Acompleixen alguna propietat?
- I si provem amb tres xifres?
- I amb quatre?
A l'aula podem proposar una cerca "a pèl". En primer lloc convé posar algunes regles.
- Potser que no tinguem en compte les fraccions fetes amb nombres capicues. Són massa evidents.
- També podem limitar el joc amb els zeros
- Un altre cas a eliminar són les fraccions amb el numerador i el denominador iguals
- Podem eliminar les fraccions que s'obtenen d'intercanviar els membres de la igualtat i els d'invertir numeradors i denominadors. Podem observar que cada fracció que trobem genera quatre casos similars. Amb un en tenim prou.
Si eliminem els casos esmentats trobarem 14 fraccions mirall diferents de dues xifres:
I ara que les tenim totes... podem trobar què tenen en comú?
Quina propietat tenen les fraccions mirall de dues xifres?
Podem anar experimentant i és molt probable que descobrim la propietat numèrica que han d'acomplir les xifres del numerador i del denominador. També la podem trobar algebraicament.
La propietat que descobrim és que el "producte en creu" de les xifres ha de ser igual
Ho podem comprovar amb qualsevol dels casos que hem trobat anteriorment:
I amb tres xifres?
Trobar fraccions mirall amb tres xifres no és tan fàcil com amb dues. Una recerca amb ajuda de l'ordinador ens ajuda a descobrir que hi ha 60 de diferents. Aquí en teniu algunes:
A primer cop d'ull sembla que el producte en creu de les xifres dels extrems encara funciona. Però no n'hi ha prou. La xifra central no té una regla clara: de vegades és la mateixa, de vegades el doble... però també tenim a la darrera fracció un 4 i un 6 al mig.
En aquest cas l'àlgebra ens ajuda a descobrir que el que s'ha d'acomplir és una relació més complexa i que no ens ajuda gaire a trobar fraccions mirall de tres xifres de forma directa. De fet s'han d'acomplir simultàniament dues condicions:
a·f = c·d
a·e + b·f = b·d + c·e
Com abans, ho podem comprovar amb un dels exemples que tenim.
Aquestes dues condicions les podem visualitzar millor sobre la mateixa fracció:
I amb quatre xifres?
Amb quatre xifres tenim 614 solucions diferents. Les tres condicions que han d'acomplir les xifres ja deixen albirar la generalització del que hem vist fins ara.
Mirem-ho amb un exemple de fracció mirall triat entre els 614 de quatre xifres:
Us animem a buscar altres fraccions mirall de quatre xifres... i a investigar sobre les de cinc, sis, etc,
Una observació final
Les condicions que han d'acomplir les xifres de la fracció recorden molt un algoritme antic de multiplicació del que un dia en parlarem. Obrim només una porta a un article futur.
Un apèndix musical
Un joc simètric (en aquest cas una simetria central) el va fer musicalment Mozart en la seva obra Spiegel Duet (Duet mirall) en el que dos músics interpreten simultàniament una mateixa partitura, però un mirant-la del dret i l'altre del revès. No té res a veure amb les fraccions però sí té alguna cosa "trencadora". Més que res... per què no donar-nos un respir matemàtico-musical?
I un apèndix més: totes les fraccions mirall de tres i quatre xifres
Fraccions mirall de tres xifres | ||
1)102/204 = 201/402 2)102/306 = 201/603 3)102/408 = 201/804 4)103/206 = 301/602 5)103/309 = 301/903 6)104/208 = 401/802 7)112/224 = 211/422 8)112/336 = 211/633 9)112/448 = 211/844 10)113/226 = 311/622 11)113/339 = 311/933 12)114/228 = 411/822 13)122/244 = 221/442 14)122/366 = 221/663 15)122/488 = 221/884 16)123/246 = 321/642 17)123/369 = 321/963 18)124/248 = 421/842 19)132/264 = 231/462 20)132/396 = 231/693 |
21)133/266 = 331/662 22)133/399 = 331/993 23)134/268 = 431/862 24)142/284 = 241/482 25)143/286 = 341/682 26)144/288 = 441/882 27)203/406 = 302/604 28)203/609 = 302/906 29)204/306 = 402/603 30)204/408 = 402/804 31)206/309 = 602/903 32)213/426 = 312/624 33)213/639 = 312/936 34)214/428 = 412/824 35)223/446 = 322/644 36)223/669 = 322/966 37)224/336 = 422/633 38)224/448 = 422/844 39)226/339 = 622/933 40)233/466 = 332/664 |
41)233/699 = 332/996 42)234/468 = 432/864 43)243/486 = 342/684 44)244/366 = 442/663 45)244/488 = 442/884 46)246/369 = 642/963 47)264/396 = 462/693 48)266/399 = 662/993 49)304/608 = 403/806 50)306/408 = 603/804 51)314/628 = 413/826 52)324/648 = 423/846 53)334/668 = 433/866 54)336/448 = 633/844 55)344/688 = 443/886 56)366/488 = 663/884 57)406/609 = 604/906 58)426/639 = 624/936 59)446/669 = 644/966 60)466/699 = 664/996 |
Fraccions mirall de quatre xifres | ||
1)1002/2004 = 2001/4002 2)1002/3006 = 2001/6003 3)1002/4008 = 2001/8004 4)1003/2006 = 3001/6002 5)1003/3009 = 3001/9003 6)1004/2008 = 4001/8002 7)1011/2022 = 1101/2202 8)1011/3033 = 1101/3303 9)1011/4044 = 1101/4404 10)1011/5055 = 1101/5505 11)1011/6066 = 1101/6606 12)1011/7077 = 1101/7707 13)1011/8088 = 1101/8808 14)1011/9099 = 1101/9909 15)1012/2024 = 2101/4202 16)1012/3036 = 2101/6303 17)1012/4048 = 2101/8404 18)1013/2026 = 3101/6202 19)1013/3039 = 3101/9303 20)1014/2028 = 4101/8202 21)1021/2042 = 1201/2402 22)1021/3063 = 1201/3603 23)1021/4084 = 1201/4804 24)1022/2044 = 2201/4402 25)1022/3066 = 2201/6603 26)1022/4088 = 2201/8804 27)1023/2046 = 3201/6402 28)1023/3069 = 3201/9603 29)1024/2048 = 4201/8402 30)1031/2062 = 1301/2602 31)1031/3093 = 1301/3903 32)1032/2064 = 2301/4602 33)1032/3096 = 2301/6903 34)1033/2066 = 3301/6602 35)1033/3099 = 3301/9903 36)1034/2068 = 4301/8602 37)1041/2082 = 1401/2802 38)1042/2084 = 2401/4802 39)1043/2086 = 3401/6802 40)1044/2088 = 4401/8802 41)1102/2204 = 2011/4022 42)1102/3306 = 2011/6033 43)1102/4408 = 2011/8044 44)1103/2206 = 3011/6022 45)1103/3309 = 3011/9033 46)1104/2208 = 4011/8022 47)1112/2224 = 2111/4222 48)1112/3336 = 2111/6333 49)1112/4448 = 2111/8444 50)1113/2226 = 3111/6222 51)1113/3339 = 3111/9333 52)1114/2228 = 4111/8222 53)1121/2242 = 1211/2422 54)1121/3363 = 1211/3633 55)1121/4484 = 1211/4844 56)1122/2244 = 2211/4422 57)1122/3366 = 2211/6633 58)1122/4488 = 2211/8844 59)1123/2246 = 3211/6422 60)1123/3369 = 3211/9633 61)1124/2248 = 4211/8422 62)1131/2262 = 1311/2622 63)1131/3393 = 1311/3933 64)1132/2264 = 2311/4622 65)1132/3396 = 2311/6933 66)1133/2266 = 3311/6622 67)1133/3399 = 3311/9933 68)1134/2268 = 4311/8622 69)1141/2282 = 1411/2822 70)1142/2284 = 2411/4822 71)1143/2286 = 3411/6822 72)1144/2288 = 4411/8822 73)1202/2404 = 2021/4042 74)1202/3606 = 2021/6063 75)1202/4808 = 2021/8084 76)1203/2406 = 3021/6042 77)1203/3609 = 3021/9063 78)1204/2408 = 4021/8042 79)1212/1332 = 2121/2331 80)1212/1452 = 2121/2541 81)1212/1572 = 2121/2751 82)1212/1692 = 2121/2961 83)1212/2304 = 2121/4032 84)1212/2424 = 2121/4242 85)1212/2544 = 2121/4452 86)1212/2664 = 2121/4662 87)1212/2784 = 2121/4872 88)1212/3516 = 2121/6153 89)1212/3636 = 2121/6363 90)1212/3756 = 2121/6573 91)1212/3876 = 2121/6783 92)1212/3996 = 2121/6993 93)1212/4608 = 2121/8064 94)1212/4728 = 2121/8274 95)1212/4848 = 2121/8484 96)1212/4968 = 2121/8694 97)1213/2426 = 3121/6242 98)1213/3639 = 3121/9363 99)1214/2428 = 4121/8242 100)1222/2444 = 2221/4442 101)1222/3666 = 2221/6663 102)1222/4888 = 2221/8884 103)1223/2446 = 3221/6442 104)1223/3669 = 3221/9663 105)1224/2448 = 4221/8442 106)1231/2462 = 1321/2642 107)1231/3693 = 1321/3963 108)1232/2464 = 2321/4642 109)1232/3696 = 2321/6963 110)1233/2466 = 3321/6642 111)1233/3699 = 3321/9963 112)1234/2468 = 4321/8642 113)1241/2482 = 1421/2842 114)1242/2484 = 2421/4842 115)1243/2486 = 3421/6842 116)1244/2488 = 4421/8842 117)1302/2604 = 2031/4062 118)1302/3906 = 2031/6093 119)1303/2606 = 3031/6062 120)1303/3909 = 3031/9093 121)1304/2608 = 4031/8062 122)1312/2624 = 2131/4262 123)1312/3936 = 2131/6393 124)1313/1443 = 3131/3441 125)1313/1573 = 3131/3751 126)1313/2626 = 3131/6262 127)1313/2756 = 3131/6572 128)1313/2886 = 3131/6882 129)1313/3809 = 3131/9083 130)1313/3939 = 3131/9393 131)1314/2628 = 4131/8262 132)1322/2644 = 2231/4462 133)1322/3966 = 2231/6693 134)1323/2646 = 3231/6462 135)1323/3969 = 3231/9693 136)1324/2648 = 4231/8462 137)1332/1452 = 2331/2541 138)1332/1572 = 2331/2751 139)1332/1692 = 2331/2961 140)1332/2304 = 2331/4032 141)1332/2424 = 2331/4242 142)1332/2544 = 2331/4452 143)1332/2664 = 2331/4662 144)1332/2784 = 2331/4872 145)1332/3516 = 2331/6153 146)1332/3636 = 2331/6363 147)1332/3756 = 2331/6573 148)1332/3876 = 2331/6783 149)1332/3996 = 2331/6993 150)1332/4608 = 2331/8064 151)1332/4728 = 2331/8274 152)1332/4848 = 2331/8484 153)1332/4968 = 2331/8694 154)1333/2666 = 3331/6662 155)1333/3999 = 3331/9993 156)1334/2668 = 4331/8662 157)1341/2682 = 1431/2862 158)1342/2684 = 2431/4862 159)1343/2686 = 3431/6862 160)1344/2688 = 4431/8862 161)1402/2804 = 2041/4082 162)1403/2806 = 3041/6082 163)1404/2808 = 4041/8082 164)1412/2824 = 2141/4282 165)1413/2826 = 3141/6282 166)1414/1554 = 4141/4551 167)1414/1694 = 4141/4961 168)1414/2828 = 4141/8282 169)1414/2968 = 4141/8692 170)1422/2844 = 2241/4482 171)1423/2846 = 3241/6482 172)1424/2848 = 4241/8482 173)1432/2864 = 2341/4682 174)1433/2866 = 3341/6682 175)1434/2868 = 4341/8682 176)1442/2884 = 2441/4882 177)1443/1573 = 3441/3751 178)1443/2626 = 3441/6262 179)1443/2756 = 3441/6572 180)1443/2886 = 3441/6882 181)1443/3809 = 3441/9083 182)1443/3939 = 3441/9393 183)1444/2888 = 4441/8882 184)1452/1572 = 2541/2751 185)1452/1692 = 2541/2961 186)1452/2304 = 2541/4032 187)1452/2424 = 2541/4242 188)1452/2544 = 2541/4452 189)1452/2664 = 2541/4662 190)1452/2784 = 2541/4872 191)1452/3516 = 2541/6153 192)1452/3636 = 2541/6363 193)1452/3756 = 2541/6573 194)1452/3876 = 2541/6783 195)1452/3996 = 2541/6993 196)1452/4608 = 2541/8064 197)1452/4728 = 2541/8274 198)1452/4848 = 2541/8484 199)1452/4968 = 2541/8694 200)1515/1665 = 5151/5661 201)1554/1694 = 4551/4961 202)1554/2828 = 4551/8282 203)1554/2968 = 4551/8692 204)1572/1692 = 2751/2961 205)1572/2304 = 2751/4032 |
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411)2626/2756 = 6262/6572 412)2626/2886 = 6262/6882 413)2626/3809 = 6262/9083 414)2626/3939 = 6262/9393 415)2644/3966 = 4462/6693 416)2646/3969 = 6462/9693 417)2664/2784 = 4662/4872 418)2664/3516 = 4662/6153 419)2664/3636 = 4662/6363 420)2664/3756 = 4662/6573 421)2664/3876 = 4662/6783 422)2664/3996 = 4662/6993 423)2664/4608 = 4662/8064 424)2664/4728 = 4662/8274 425)2664/4848 = 4662/8484 426)2664/4968 = 4662/8694 427)2666/3999 = 6662/9993 428)2727/2997 = 7272/7992 429)2756/2886 = 6572/6882 430)2756/3809 = 6572/9083 431)2756/3939 = 6572/9393 432)2783/4416 = 3872/6144 433)2783/4646 = 3872/6464 434)2783/4876 = 3872/6784 435)2783/6509 = 3872/9056 436)2783/6739 = 3872/9376 437)2783/6969 = 3872/9696 438)2784/3516 = 4872/6153 439)2784/3636 = 4872/6363 440)2784/3756 = 4872/6573 441)2784/3876 = 4872/6783 442)2784/3996 = 4872/6993 443)2784/4608 = 4872/8064 444)2784/4728 = 4872/8274 445)2784/4848 = 4872/8484 446)2784/4968 = 4872/8694 447)2828/2968 = 8282/8692 448)2886/3809 = 6882/9083 449)2886/3939 = 6882/9393 450)3004/6008 = 4003/8006 451)3006/4008 = 6003/8004 452)3013/6026 = 3103/6206 453)3013/9039 = 3103/9309 454)3014/6028 = 4103/8206 455)3023/6046 = 3203/6406 456)3023/9069 = 3203/9609 457)3024/6048 = 4203/8406 458)3033/4044 = 3303/4404 459)3033/5055 = 3303/5505 460)3033/6066 = 3303/6606 461)3033/7077 = 3303/7707 462)3033/8088 = 3303/8808 463)3033/9099 = 3303/9909 464)3034/6068 = 4303/8606 465)3036/4048 = 6303/8404 466)3043/6086 = 3403/6806 467)3044/6088 = 4403/8806 468)3063/4084 = 3603/4804 469)3066/4088 = 6603/8804 470)3104/6208 = 4013/8026 471)3114/6228 = 4113/8226 472)3123/6246 = 3213/6426 473)3123/9369 = 3213/9639 474)3124/6248 = 4213/8426 475)3133/6266 = 3313/6626 476)3133/9399 = 3313/9939 477)3134/6268 = 4313/8626 478)3143/6286 = 3413/6826 479)3144/6288 = 4413/8826 480)3204/6408 = 4023/8046 481)3214/6428 = 4123/8246 482)3224/6448 = 4223/8446 483)3233/6466 = 3323/6646 484)3233/9699 = 3323/9969 485)3234/6468 = 4323/8646 486)3243/6486 = 3423/6846 487)3244/6488 = 4423/8846 488)3304/6608 = 4033/8066 489)3306/4408 = 6033/8044 490)3314/6628 = 4133/8266 491)3324/6648 = 4233/8466 492)3334/6668 = 4333/8666 493)3336/4448 = 6333/8444 494)3343/6686 = 3433/6866 495)3344/6688 = 4433/8866 496)3363/4484 = 3633/4844 497)3366/4488 = 6633/8844 498)3404/6808 = 4043/8086 499)3414/6828 = 4143/8286 500)3424/6848 = 4243/8486 501)3434/3774 = 4343/4773 502)3434/6528 = 4343/8256 503)3434/6868 = 4343/8686 504)3444/6888 = 4443/8886 505)3516/3636 = 6153/6363 506)3516/3756 = 6153/6573 507)3516/3876 = 6153/6783 508)3516/3996 = 6153/6993 509)3516/4608 = 6153/8064 510)3516/4728 = 6153/8274 511)3516/4848 = 6153/8484 512)3516/4968 = 6153/8694 513)3535/3885 = 5353/5883 514)3606/4808 = 6063/8084 515)3636/3756 = 6363/6573 516)3636/3876 = 6363/6783 517)3636/3996 = 6363/6993 518)3636/4608 = 6363/8064 519)3636/4728 = 6363/8274 520)3636/4848 = 6363/8484 521)3636/4968 = 6363/8694 522)3666/4888 = 6663/8884 523)3756/3876 = 6573/6783 524)3756/3996 = 6573/6993 525)3756/4608 = 6573/8064 526)3756/4728 = 6573/8274 527)3756/4848 = 6573/8484 528)3756/4968 = 6573/8694 529)3774/6528 = 4773/8256 530)3774/6868 = 4773/8686 531)3809/3939 = 9083/9393 532)3876/3996 = 6783/6993 533)3876/4608 = 6783/8064 534)3876/4728 = 6783/8274 535)3876/4848 = 6783/8484 536)3876/4968 = 6783/8694 537)3996/4608 = 6993/8064 538)3996/4728 = 6993/8274 539)3996/4848 = 6993/8484 540)3996/4968 = 6993/8694 541)4006/6009 = 6004/9006 542)4014/8028 = 4104/8208 543)4024/6036 = 4204/6306 544)4024/8048 = 4204/8408 545)4026/6039 = 6204/9306 546)4034/8068 = 4304/8608 547)4044/5055 = 4404/5505 548)4044/6066 = 4404/6606 549)4044/7077 = 4404/7707 550)4044/8088 = 4404/8808 551)4044/9099 = 4404/9909 552)4046/6069 = 6404/9606 553)4064/6096 = 4604/6906 554)4066/6099 = 6604/9906 555)4124/8248 = 4214/8428 556)4134/8268 = 4314/8628 557)4144/8288 = 4414/8828 558)4206/6309 = 6024/9036 559)4226/6339 = 6224/9336 560)4234/8468 = 4324/8648 561)4244/6366 = 4424/6636 562)4244/8488 = 4424/8848 563)4246/6369 = 6424/9636 564)4264/6396 = 4624/6936 565)4266/6399 = 6624/9936 566)4344/8688 = 4434/8868 567)4406/6609 = 6044/9066 568)4416/4646 = 6144/6464 569)4416/4876 = 6144/6784 570)4416/6509 = 6144/9056 571)4416/6739 = 6144/9376 572)4416/6969 = 6144/9696 573)4426/6639 = 6244/9366 574)4446/6669 = 6444/9666 575)4464/6696 = 4644/6966 576)4466/6699 = 6644/9966 577)4545/4995 = 5454/5994 578)4606/6909 = 6064/9096 579)4608/4728 = 8064/8274 580)4608/4848 = 8064/8484 581)4608/4968 = 8064/8694 582)4626/6939 = 6264/9396 583)4646/4876 = 6464/6784 584)4646/6509 = 6464/9056 585)4646/6739 = 6464/9376 586)4646/6969 = 6464/9696 587)4666/6999 = 6664/9996 588)4728/4848 = 8274/8484 589)4728/4968 = 8274/8694 590)4848/4968 = 8484/8694 591)4876/6509 = 6784/9056 592)4876/6739 = 6784/9376 593)4876/6969 = 6784/9696 594)5055/6066 = 5505/6606 595)5055/7077 = 5505/7707 596)5055/8088 = 5505/8808 597)5055/9099 = 5505/9909 598)6026/9039 = 6206/9309 599)6036/8048 = 6306/8408 600)6046/9069 = 6406/9609 601)6066/7077 = 6606/7707 602)6066/8088 = 6606/8808 603)6066/9099 = 6606/9909 604)6246/9369 = 6426/9639 605)6266/9399 = 6626/9939 606)6366/8488 = 6636/8848 607)6466/9699 = 6646/9969 608)6509/6739 = 9056/9376 609)6509/6969 = 9056/9696 610)6528/6868 = 8256/8686 611)6739/6969 = 9376/9696 612)7077/8088 = 7707/8808 613)7077/9099 = 7707/9909 614)8088/9099 = 8808/9909 |
Una reformulació d'aquest problema és la proposada sota el nom “Producte d’imatges” al Fem matemàtiques 2014 per a 2n d’ESO http://fm.feemcat.org/wp-content/uploads/2013/11/FM14_fase1_ESO2.pdf
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