L'objectiu d'aquest article és donar a conéixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional d'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de Tell edh-Dhiba'i . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.
 |
| Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia) |
El problema que es planteja i resol és el següent:
Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).
No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal.
Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.
 |
| Revers de la tauleta i esquema ampliat |
Un aspecte que dona què pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:
- perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...
- perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions (a+b)2 i (a-b)2.
- perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el pensament computacional, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.
Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.
- Resolució amb un sistema d'equacions
No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.
- El mètode babilònic
El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest enllaç a la Viquipèdia. Aquí seguirem la trducció més alleugerida que apareix al llibre La cresta del pavo real de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.
Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?
T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?