El joc de "Tancar la caixa"

Segons el clàssic llibre Juegos de todo el mundo, de Frederic V. Grundfel, i que va publicar en castellà Edilan el 1978, el joc de "Tancar la caixa" era popular entre els mariners de Normandia i altres zones de la costa atlàntica francesa, tot i que es troben també variants conegudes a Zàmbia. Algunes fonts remunten els orígens del joc fins al segle XII. El cas és que és fàcil de jugar, divertit i, en conseqüència, encara força popular.

Les versions comercialitzades acostumen a estar fetes en fusta, però es pot jugar molt fàcilment amb materials molt senzills. Sempre ens caldran dos daus, però els nombres els podem representar amb cartes o amb un paper amb els nombres de l'1 al 9 i unes fitxes per a tapar-los.

Versió clàssica en fusta

Versió amb paper i fitxes

Hi ha moltes variants del joc. Aquí hem triat una en concret, que convida a un estudi probabilístic que pot ser interessant a l'aula. Aquesta versió la trobem al llibre, també clàssic, 100 jeux de table, de Pierre Berloquin i editat per Flammarion l'any 1976. Hi apareix amb el nom de "Les douze cases" i d'ell hem reproduït el dibuix anterior. Pot ser un joc solitari o per a dos o més jugadors. Aquí l'expliquem per a dos.

Com es juga?

• Cada jugador, per torn, fa una "ronda", que consisteix a anar encadenant jugades fins a arribar a una situació de bloqueig. A l'inici de la ronda tots els nombres de l'1 al 9 estan "oberts" i poden ser triats.
• Per a realitzar una jugada es tiren els dos daus i se sumen els seus valors. El jugador que fa la ronda pot eliminar tots els nombres que, sols o sumats, donen el resultat de la tirada de daus. Així, si estan sense eliminar, treu un 5 i un 3 amb els daus (suma 8), pot anul·lar, "tancar", el 8, parelles de nombres com l'1 i el 7, el 2 i el 6 o el 3 i el 5, o ternes com l'1, el 2 i el 5, o l'1, el 3 i el 4. No es pot comptar amb els nombres ja eliminats.
• Si estan eliminats el 6, el 7 i el 8 es pot triar entre tirar un dau o els dos.
• Es van fent jugades fins que s'han eliminat tots els nombres (s'ha "tancat la caixa") o ens trobem en una situació en què no podem eliminar-ne cap. Per exemple. Si traiem un 3 amb la suma dels dos daus i no tenim "oberts" el 3 o l'1 i el 2, a la vegada, ja no podem continuar jugant i s'acaba la ronda.

Jugada de bloqueig. No podem aconseguir una suma de 3

• Abans que el següent jugador comenci la seva ronda es fa la suma dels punts que han quedat oberts  i se'ls anota. Al cas de l'exemple 1+6+7+9=23.
• El segon jugador fa la seva ronda fins a acabar-la.
• Per decidir qui ha guanyat podem fer-ho partida a partida o fins a aconseguir un total límit. Per exemple, si el segon jugador queda amb 15 punts s'anota la partida perquè 15 és més petit que 23. Si juguem amb un límit, per exemple 50 o 100 punts, perd el jugador que, en diferents rondes, els supera.

Podeu practicar el joc amb aquest applet fet amb Scratch.

https://scratch.mit.edu/projects/1246828255

Com es veu és un joc ben senzill i força entretingut. Amb els més petits ja és prou interessant només per a practicar les combinacions de sumes que sorgeixen durant una partida.

És un joc que depèn, en gran manera, de l'atzar. El que volem estudiar aquí si existeix alguna estratègia general per a optimitzar les puntuacions, és a dir, per a minimitzar-les. I, en especial, quan prendre la decisió per a passar a jugar amb un sol dau a partir del moment que les regles ho permeten.

Analitzem el joc?

Euler jugant al golf

Piergiorgio Odifreddi, un dels millors divulgadors matemàtics italians, al seu llibre Pillole matematiche inclou una "píndola" titulada Palline, palloni e cupole (una cosa com "Boles, pilotes i cúpules") que pot ser molt interessant de compartir. Un cop presentat l'origen d'aquest article, entrem en tema.

Heu mirat atentament alguna vegada una pilota de golf? Si ho heu fet haureu observat que la seva superfície és rugosa a causa de la presència d'una gran quantitat d'alvèols (com uns petits foradets).

Aquests alvèols ajuden a allargar el vol de la pilota i la distància recorreguda després del cop. Segons la Viquipèdia, la majoria tenen entre 250 i 450 alvèols, però n'hi ha amb més. El rècord està en 1070. Hi ha diferents models de pilotes amb distribucions diferents. Si mirem els de la pilota de la imatge, un dels models més freqüents, veurem una trama hexagonal molt clara. Però si mirem amb més atenció observarem que també hi ha algun pentàgon.

Si comptem la quantitat de pentàgons, independentment de la quantitat total d'alvèols hexagonals, veurem que sempre hi ha exactament 12. No ens hauria de sorprendre tant si observem que la pilota de futbol més clàssica (si més no, des del Mundial del 1974) està feta també d'hexàgons i pentàgons. Molts menys. Exactament, 20 hexàgons i, no cal dir-ho, 12 pentàgons.

En aquest cas no és tan estrany perquè sabem que es tracta d'un icosaedre truncat, i l'icosaedre d'origen té, justament, 12 vèrtexs.

Animació feta a partir de la construcció feta
amb GeoGebra per Guillermo Bautista

La molècula del Buckminsterful·lerè (C₆₀) és una forma sintètica del carboni que té una molècula amb la mateixa forma que la pilota de futbol. D'aquí que també se'l conegui com a "futbolè". És un cas particular d'un grup de formes moleculars del carboni anomenats ful·lerens. No tots tenen 60 àtoms de carboni. La forma C₁₂ no té hexàgons, és un dodecaedre. La forma C₇₀ té una forma semblant a una pilota de rugbi amb 58 hexàgons i. una altra vegada, 12 pentàgons. La C₅₄₀ també en té 12.

Font Viquipèdia

Als ful·lerens se'ls hi va posar aquest nom en honor de Buckminster Fuller, un arquitecte conegut per ser uns dels primers creadors de cúpules geodèsiques. Les molècules i les pilotes que hem vist fins ara les podem considerar esferes geodèsiques (en el cas del C₇₀ un el·lipsoide geodèsic). Una cúpula seria una semiesfera o un casquet d'aquestes esferes. I què és una esfera geodèsica? Bàsicament, un poliedre que s'inscriu en una esfera. És a dir, que tots els seus vèrtexs formen part d'aquesta. Les cares d'aquests poliedres són, en la majoria de casos, triangulars. Però no tenen per què ser-ho. En tot cas, a moltes de les cúpules geodèsiques podem veure molt clarament grups de sis triangles formant hexàgons i altres grups, no tan abundants, de cinc triangles formant pentàgons. Ens ajuden a a trobar els polígons els vèrtexs on es troben sis arestes i els que n'uneixen cinc. També ara, si tenim tota l'esfera, trobarem 12 vèrtexs de cinc arestes.

Una mena d'esferes geodèsiques naturals les trobem en molts virus. Les seves càpsides tenen, sovint, formes derivades de l'icosaedre i, com ells, 12 vèrtexs de cinc capsòmers. 

Càpsida de la família Tombusviridae (Font Viquipèdia)

I per què sempre 12 pentàgons o vèrtexs de cinc arestes? La culpa és d'Euler. La resta de l'article la dedicarem a demostrar perquè han de ser forçosament 12, independentment de la quantitat d'hexàgons que hi trobem, i a ampliar una mica la informació sobre la construcció d'esferes, i col·lateralment de cúpules, geodèsiques.

Vols saber-ne més?

Sis granotes instruïdes

És molt conegut el problema de Les granotes i els gripaus inventat l'any 1982 per Richard Guy. És una activitat que combina joc i investigació i que es pot portar a l'aula des de finals de primària fins a qualsevol curs de l'ESO. Ja fa molts anys que la vam incorporar al web del Calaix +ie. El joc inicial es juga sobre un tauler de set caselles amb tres fitxes d'un color (les granotes) i altres tres d'un altre color (els gripaus). L'objectiu és intercanviar les fitxes de posició tenint en compte que només poden avançar, cada color en un sentit, desplaçant-se a una casella immediata buida o saltant per sobre d'una fitxa d'un altre color si la casella següent està lliure, com al joc de dames. La investigació posterior es fa per a estudiar els moviments mínims necessaris per a intercanviar m granotes i n gripaus.

Ara proposem una investigació que la recorda, però que té algunes diferències importants. El problema el va presentar Henry Dudeney al seu llibre Amusements in Mathematics el 1917. El text original deia:

"Les sis granotes instruïdes de la il·lustració estan entrenades per invertir el seu ordre, de manera que els seus números es llegeixin 6, 5, 4, 3, 2, 1, amb el quadrat en blanc en la seva posició actual. Poden saltar a la següent casella (si està buida) o saltar per sobre d'una granota fins a la següent casella més enllà (si està buida), de la mateixa manera que ens movem en el joc de dames, i poden anar cap enrere o endavant a gust. Pots mostrar com fan la seva gesta en el menor nombre de moviments possibles? És bastant fàcil, així que quan ho hàgiu fet, afegiu una setena granota a la dreta i torneu-ho a provar. A continuació, afegiu més granotes fins que pugueu donar la solució més curta per a qualsevol nombre. Perquè sempre es pot fer, amb aquella única plaça buida, per moltes granotes que hi hagi."

Per tant, comencem amb les granotes estan en ordre creixent d'esquerra a dreta i amb la casella de l'esquerra buida i hem d'invertir l'ordre inicial deixant de nou la casella esquerra buida. I poden anar cap endavant i cap endarrere.

Aquest joc el podem representar molt bé amb targetes numèriques, nombres retallats o cartes de la baralla.

Podeu intentar resoldre'l també amb aquest aplicatiu. Però atenció, Dudeney diu que és fàcil trobar el mínim de moviments. No és del tot cert. Resoldre el problema no és difícil, però trobar la quantitat mínima de moviments costa una mica més. Especialment si no sabem quina és aquesta quantitat.

Enllaç al programa

A continuació analitzarem el problema i veurem que té aspectes interessants per trobar la forma de calcular la quantitat mínima de moviments i per descriure la resolució també mínima.

Continuem?

Passejant amb la barca... i en el temps

Hi ha problemes de recreació matemàtica que són molt més antics del que ens pensem. Un és el clàssic problema del pastor, la col, la cabra i el llop. Aquest problema apareix escrit, per primera vegada, al llibre del segle IX d'Alcuí de York Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves). És el 18è problema del text i el seu enunciat original era aquest:

“Un home havia de portar a l'altra banda del riu un llop, una cabra i una col, però no va trobar cap altre vaixell que un que només podia portar-ne dos d'ells. I va ser dit, que totes aquestes coses arribaren a l'altra banda il·leses. Digui, qui pugui, com els van poder traslladar il·lesos a l'altre costat”

Es coneixen versions d'aquest problema a Europa, Àsia i Àfrica. Molt probablement, Alcuí el va recollir de la tradició oral. Si no l'heu resolt mai ho podeu fer interactivament en aquest enllaç.

Avui parlarem del problema anterior, el 17, i que té també un desenvolupament històric interessant. Diu així:

“Hi havia tres homes, cadascun amb una germana soltera, que havien de creuar un riu. Cada home desitjava la germana del seu amic. Arribant al riu, només van trobar una petita barca en què podien creuar dues persones cada vegada. Digui, qui pugui: Com van creuar el riu, de manera que cap de les germanes fos maculada pels homes?”

Dit més planer: les germanes podien estar soles amb les altres germanes, però si hi havia homes presents, un d'ells havia de ser el seu germà. En general, pel context narratiu de versions posteriors, se'l coneix com el problema dels "marits gelosos". El problema apareix a llibres ben clàssics: als Annales Stadenses d'Alberto di Stade (sobre el 1250), al De viribus quantitatis (Del poder dels nombres) de Luca Pacioli i al Libro dicto giuochi matematici de Pietro di Nicolao da Filicaia (tots dos manuscrits fets sobre el 1500),  i que ja comencen a parlar de la generalització del problema. També el trobem al General tratatto (1556) de Niccoló Tartaglia, que dona una solució errònia pel cas de quatre parelles, o als Problèmes plaisants et délectables qui se font par des nombres (1612) de Claude-Gaspar Bachet, que també aborda el cas general. La solució general completa la trobem al primer volum de les Récréations mathématiques (1891) d'Édouard Lucas.

En primer lloc, us animem a agafar unes cartes de la baralla i solucionar el problema.

Voleu saber més sobre la història, la generalització i altres variants d'aquest problema?

Una caiguda problemàtica

Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).

En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:

"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"

T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?

Fem "sobres" amb quadrilàters

Tot i que el correu postal ha anat molt a la baixa en els darrers anys, el sobre de paper, en diferents formats, continua sent un objecte ben quotidià. Un dels formats clàssics de sobre el podem veure en aquesta imatge.

Si traiem els encavalcaments de paper i alguns arrodoniments com el de la solapa obtenim una figura més simplificada.

El nostre nou "sobre geomètric" s'ha obtingut plegant un quadrilàter seguint aquestes condicions:

• els quatre vèrtexs han coincidit en un mateix punt.
• la forma obtinguda és un rectangle.
• les solapes coincideixen perfectament: no hi ha ni encavalcaments entre elles ni deixen espais sense tapar.

Ara ens podem demanar: quina és la forma del quadrilàter que ens forma aquest sobre en concret? Amb aquest aplicatiu fet amb GeoGebra ho podeu descobrir.

https://www.geogebra.org/m/yvt57kw5

En aquest cas, el quadrilàter que hem plegat per a fer un sobre és un "estel". Amb el quadrat tampoc hi ha problema per plegar-ho per formar un sobre.

En canvi, per molt que ho intentem, no podrem plegar un rectangle per fer un sobre amb les condicions que hem dit. Ho podeu comprovar amb aquest aplicatiu.

https://www.geogebra.org/m/jf8fuzeb

De què depèn que puguem tancar un quadrilàter fent un sobre? Investiguem-ho. A continuació teniu uns quants quadrilàters. Us enllacem una versió en GeoGebra i una imprimible per poder practicar. Recomanem imprimir i jugar amb paper.

Versió imprimible
Versió GeoGebra

Seguim investigant?

"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar

De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està a saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre La matemática elgante (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat sobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "Patrons a les taules de multiplicar". Comencem.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula

Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.

Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?

• Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal

A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals

Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.

• Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)

Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?

• Suma dels nombres de les diagonals consecutives

Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?

Us animeu a continuar investigant aquests patrons?

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers, és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

• Agafem un dau
• L'anem tirant i sumant les puntuacions.
• Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)

Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.

Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer una anàlisi més exhaustiva de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret.

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als quals s'arriben són diferents.

Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del nou que, per descomptat, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6. 

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?

Ossos i geometries no-euclidianes (2)

 A l'article anterior (Ossos i geometries no-euclidianes-1) vam plantejar un conegut problema amb un enunciat semblant a aquest:

Un os camina un quilòmetre cap al sud seguint un meridià. Gira cap a l'oest i camina un altre quilòmetre seguint un paral·lel. Gira cap al nord i camina un altre quilòmetre seguint un meridià. Al final es troba al punt de partida. De quin color és l'os?

Vam veure que hi havia dos tipus de solucions. Un model amb infinites solucions a l'hemisferi sud del nostre planeta i un altre de més evident a l'hemisferi nord: el punt de sortida i arribada seria el Pol Nord. Vam observar al Pol es formava un triangle amb una suma d'angles interiors de més de 180°. Això no és possible al pla però sí a una superfície esfèrica. Va ser l'excusa per entrar en el món de la geometria esfèrica, un dels tipus de geometries no-euclidianes. En aquest article canviarem les superfícies sobre les quals caminarà el nostre os i serà la porta d'entrada a un altre exemple de geometria no-euclidiana: la hiperbòlica.

Imaginem al nostre os caminant sobre un paraboloide hisperbòlic. Aquesta superfície la podem trobar en les patates Pringles o, més sanament, en una superfície reglada com la que mostren al MMACA per a il·lustrar la multiplicació d'enters en 3D. Observarem que el recorregut de l'os és impossible perquè, deixant de banda la definició exacta de nord i sud, els meridians van sent divergents a mesura que es van separant del que podríem considerar com a zona equatorial.

Proposem el problema a una nova superfície: una pseudoesfera o tractricoide. Aquesta superfície, com l'anterior és infinita. És a dir, les "puntes" no acaben convergint sinó que són asimptòtiques. A l'hemisferi sud tenim, com a l'esfera, infinites solucions. Però al nord no en tenim cap perquè els meridians no convergeixen mai, només es van acostant cada vegada més.

Pseudoesfera i ruta en detall

Les dues superfícies presentades són molt interessants en si mateixes. Però no ens toca estudiar-les ara. Les hem triat perquè són dos dels models físics de la geometria hiperbòlica, una geometria que tampoc acompleix el 5è postulat d'Euclides, però de forma diferent a les que havíem vist: al pla dèiem que "per un punt extern a una recta només passa una paral·lela a aquesta", i a l'esfera que "per un punt exterior a una "recta esfèrica" no passa cap paral·lela a aquesta". A la geometria hiperbòlica diem que:

Per un punt exterior a una recta hiperbòlica passen, com a mínim, dues rectes que són paral·leles a aquesta.

L'expressió "com a mínim dues", implica que poden ser infinites.

Com vam fer a l'article anterior haurem de redefinir algunes coses com "recta", "angle", "distància", "triangle"... i, a partir d'aquestes redefinicions, veure com podem conduir un debat a l'aula sobre aspectes com la relació amb els postulats euclidians, la suma dels angles interiors d'un triangle, com es calcula la seva àrea, com són les circumferències... No es tracta de fer un estudi a fons sinó de fer un primer contacte, d'aproximar-se a algunes idees generals. I tot amb dues raons de fons:

• comprendre millor el sistema axiomàtic de les matemàtiques. I, en concret, millorar la comprensió del proposat per Euclides fent una mena "d'estranyament", a còpia de modificar les seves regles i "moure'ns" en un món diferent.
• aproximar-nos a la revolució matemàtica que va suposar l'aparició de les geometries no-euclidianes.

Aquesta geometria és més difícil d'estudiar amb materials. Podem imprimir algunes superfícies en 3D, però tampoc ens solucionarà gaire cosa, perquè és complex tot el que es relaciona amb la mesura. Aquí teniu un enllaç per a imprimir un paraboloide hiperbòlic i una pseudoesfera.

Hi ha alguns models plans de la geometria hiperbòlica. Per exemple, el model del Disc de Beltrami-Klien on el pla infinit es representa amb l'interior d'un cercle (la circumferència que el limita no en forma part) i les rectes per cordes d'aquesta circumferència. No entrem ara en el tema de les distàncies. La imatge mostra algunes de les moltes paral·leles a la recta a que passen pel punt P. Les que coincideixen amb la recta a  no la tallen perquè, com hem dit abans, la circumferència no forma part del disc.

Podeu trobar applets de GeoGebra per a treballar amb aquest model, però en aquest article optarem per un altre: el Disc de Poincaré. Pensem que aquest model és millor per treballar-lo a l'aula perquè les rectes no són segments rectilinis, com al model anterior, i la sensació "d'estranyament" serà més gran. Cal dir, però, que qualsevol model que agafem és més complicat que el de la geometria esfèrica, sobre la que podíem experimentar directament, i que té idees més intuïtives. Però si hem treballat la geometria de l'esfera prèviament, aquesta serà més fàcil d'acceptar. Serà com entrar a un món de videojoc amb unes regles diferents. I sobre el que podrem treballar amb GeoGebra, ja que no és difícil trobar applets que ens permeten crear, manipular i mesurar objectes.

Límit circular III de M.C Escher (1959).
Aquesta obra està basada en el disc de Poincaré

Vols conèixer el món hiperbòlic amb idees per treballar-ho a l'aula?

Ossos i geometries no-euclidianes (1)

 Al llibre clàssic de George Pólya Como plantear y resolver problemas apareix aquest curiós (i ja força conegut) problema:

Partint d'un punt P, un os camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre a l'est. Després, girant de nou a l'esquerra, recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament a punt de partida P. De quin color és l'os?

Si no voleu espòiler millor aturar la lectura aquí mateix i pensar el problema. Si ja el coneixeu o no el voleu pensar ara mateix, podeu continuar.

Sembla lògic que, més que contestar sobre el color, el que ens cal és saber on pot estar l'os per a fer un recorregut tan sorprenent. Pólya tria aquest problema per sorprendre'ns fent-nos veure que hi ha dos tipus de solucions. La primera és la que se'ns pot acudir a la majoria: que l'os és blanc perquè el punt P és al Pol Nord. La segona l'explica així:

L'os podria retornar al punt P seguint el mateix meridià que al sortir de P si, en desplaçar-se un quilòmetre cap a l'est descrivís n paral·lels complets, podent ser n igual a 1, 2, 3... En aquest cas P no és el Pol Nord, sinó un punt d'un paral·lel molt proper al Pol Sud.

A la imatge teniu un esquema del camí per a n=1, un paral·lel d'un quilòmetre exacte de longitud. Però més al sud en trobaríem d'1/2 quilòmetres i faríem dues voltes, d'1/3, etc.

Esquema fet amb l'applet de GeoGebra de Rafael Cámara

Però tornem a la primera solució, perquè ens trobem amb un triangle ben curiós.

Imatge extreta del Blog Sunya de R. Cámara

Si l'observem amb detall veurem que els dos angles inferiors són de 90°. És a dir, la suma dels angles interiors del triangle és clarament superior a 180°. De fet, a l'aula, sempre que he plantejat el problema he explicitat clarament, en enunciar-lo, que "l'os baixa per un meridià gira 90° cap a l'est" i que després de caminar pel paral·lel gira "90° cap al nord" i agafa un meridià.

I per què passa això? Perquè no ens estem movent en un pla, sinó en una esfera i les "regles euclidianes", amb les que funcionem normalment, es refereixen al pla. Estem treballant amb una geometria, l'esfèrica, que no acompleix tots els postulats euclidians. Hem aconseguit un punt de partida idoni per parlar-ne i discutir a l'aula sobre les geometries no-euclidianes. Debatre sobre les característiques d'aquestes geometries, les seves definicions, els seus postulats i algunes de les seves proposicions, ens servirà també per a conèixer millor l'estructuració de la matemàtica proposada pels Elements d'Euclides. És a dir, parlar-ne de les definicions ens ajudarà a comprendre quina funció tenen; comparar els postulats que s'acompleixen ens permetrà saber que són, quins i per a què serveixen els axiomes bàsics, tant de la geometria plana, com de la nova que estem explorant.

Haurem de començar per redefinir algunes coses com "recta" o "angle" i, un cop fet, podem comparar, postulat a postulat, quins s'acompleixen o no, totalment o parcialment. Observarem, amb més detall, que el que deixa d'acomplir-se més clarament és el 5è, aquell que diu, en el seu enunciat modern, que "per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela".  De fet, com veurem, no en passa cap! Podrem aprofitar també per a tractar algunes idees sobre les distàncies reals al nostre planeta i les que mesurem als mapes. Fins i tot, tindrem l'oportunitat d'endinsar-nos una mica en el món dels triangles esfèrics.

Vols conèixer una mica més aquesta geometria i algunes idees per treballar a l'aula?

Hidrocarburs i matemàtiques

 Al llibre de Brian Bolt Más actividades matemáticas (Labor, 1988) apareix aquesta interessant activitat que relaciona la química orgànica amb l'àlgebra, la combinatòria i, especialment, amb la topologia. El guió de l'activitat presentat per Bolt és magnífic i, donat que el llibre és introbable (si més no en castellà), em permetré no modificar-lo gaire.

Per no estendre'ns en les explicacions químiques, ens limitarem a posar-nos en context dient que els hidrocarburs són compostos amb molècules formades, exclusivament, per àtoms de carboni (C) i hidrogen (H). Hi ha gasosos (com el metà, l'età, el propà o el butà), líquids (com l'octà, un dels principals components de la benzina) i sòlids, com és el cas de moltes ceres, per exemple la parafina. Per la natura atòmica del carboni podem considerar, amb expressió del mateix Bolt, que aquest té quatre braços per unir-se, donant-se la mà, amb altres àtoms (de C o d'H). L'hidrogen només en té un.

Les molècules dels hidrocarburs es formen unint aquests àtoms pels seus braços, tal com dèiem abans, com si es donessin la mà, i de forma que no quedin braços lliures. Si  als àtoms de carboni li'n queden es "donaran la mà" amb àtoms d'hidrogen. Els àtoms de carboni es poden unir entre ells compartint diferents quantitats de braços: un, dos, tres o tots quatre. A continuació teniu un exemple en la seva representació clàssica i, el mateix compost, amb un dels tipus d'esquemes que utilitzarem al llarg de l'activitat.

Benzè (C₆H₆)

Entre els hidrocarburs tenim els que formen cadenes: els alcans, amb tots els enllaços senzills, els alquens, amb algun o alguns enllaços dobles, i els alquins, que tenen, com a mínim, un enllaç triple. També poden tenir formes cícliques, com és el cas del benzè de la imatge anterior. A continuació teniu en exemple de cadenes amb només enllaços simples, dobles i triples.

En general, en química orgànica, no en tenim prou amb la fórmula que ens indica la quantitat d'àtoms, de cada element, que formen la molècula. L'estructura té importància i, per a una mateixa fórmula, podem tenir diferents estructures, amb compostos que tindran propietats diferents. Per exemple, d'una de les fórmules anteriors,  C₄H₆, podem trobar una estructura alternativa amb un enllaç triple.

Per acabar aquesta introducció, només ens cal avisar que hem d'estar atents a la topologia de l'estructura, perquè, de vegades, estructures que ens poden semblar diferents són equivalents només que apliquem petites transformacions.

Dues molècules equivalents topològicament

Ara ja tenim les regles establertes. Comencem, doncs, el joc matemàtic.

T'animes a continuar llegint sobre l'activitat?

Juguem a "Parell guanya"

"Jugarem a guanyar i a perdre alhora
i farem festa"
Màrius Sampere 

L'any 80 el meu amic Carles Vallès (l'altra pota del Calaix abans de l'aparició d'internet) i jo érem alumnes d'en Jordi Deulofeu i ens va proposar fer un treball sobre jocs d'estratègia. Eren els primers anys que ell mateix els estudiava. Va ser el meu primer contacte amb un tema que, des d'aleshores, no he deixat mai de banda. Ell ens va posar en contacte amb una altra "ànima inquieta", en Jordi Achón, amb el que vam poder fer pràctiques amb alumnat de la 2a etapa de l'antic EGB. Aquest ens va deixar un llibre: "Algoritmos y computadoras" de B.A. Trakhtenbrot on apareixia el joc objecte d'aquest article. Crec que no l'he vist mai més citat en cap altre lloc.

És un joc de regles molt senzilles i d'anàlisi rica, però no massa directe. De fet, en el seu moment, no el vam estudiar massa perquè el cas concret que comentava el llibre tenia una estratègia que no ens va semblar "descobrible" per l'alumnat (ni per nosaltres mateixos que, tot just, fèiem les primeres passes en l'estudi de jocs). Això sí, el vam utilitzar per mostrar com fer diagrames en arbre per a la cerca d'estratègies guanyadores. El joc que es proposava tenia el nom de "Parell guanya" i les regles eren les següents:

• Hi ha 27 fitxes a la taula.
• Cada jugador/a, en el seu torn, pot agafar una, dues, tres o quatre fitxes.
• Guanya qui al final, quan no queden més fitxes a la taula, té una quantitat parell.

Us proposem que proveu de fer algunes partides amb aquest applet.

https://scratch.mit.edu/projects/532121382

Com es veu és un joc en què no pot haver-hi taules i tots dos tenen, en tot moment, tota la informació de les fitxes que queden i de les que té cadascun. Per altra banda, el joc té una quantitat limitada de jugades (entre 7 i 27). Tampoc depèn de l'atzar ni de l'habilitat física. Tot això implica que hi ha d'haver una estratègia guanyadora per a un dels jugadors. I que si en una jugada un s'equivoca en l'aplicació de l'estratègia, aquesta passa a l'altre.

Per a investigar l'estratègia del joc farem diferents variants, podent agafar altres quantitats de fitxes, i utilitzarem diagrames en arbre, taules... I mirarem si podem trobar pautes generals d'estratègia o no.

Investiguem el joc?

Un problema porta a un altre... (Loop de loops)

 Al concurs del Fem Matemàtiques del 2020 un dels problemes estrella va ser el del Loop de loops que va aparèixer, amb diferents variants, a les tres categories principals. És un problema prou ric i sobre el que es poden fer diferents enfocaments. Posteriorment, al Banc de Recursos del Fem Matemàtiques li han dedicat dos articles d'anàlisi (1 i 2) amb exemples de solucions d'alumnat i propostes d'avaluació. Vegem un dels seus plantejaments i que es correspon amb el que es va proposar a 1r d'ESO:

• Agafem un dau i el tirem cinc vegades. Anotem ordenadament els resultats. Per exemple 2,4, 3, 2 i 5.
• Sobre una quadrícula fem un segment de tantes unitats com el primer resultat. Girem 90° a la dreta i fem un altre segment d'una longitud. Girem 90° a la dreta... i així fins a dibuixar els cinc segments.

• Des del punt on hem acabat girem 90° en el mateix sentit i repetim el procés.

• I continuem tantes vegades com siguin necessàries fins que tornem al punt d'inici i tanquem el loop. En el nostre exemple cal fer-ho dues vegades més.

La sèrie 1-4-5-3-3 (90°) necessita 4 iteracions per a tancar el loop

Ja podem imaginar que canviar les sèries, en nombres, en quantitat de nombres, en ordre dels nombres, en tipus... dona un joc increïble amb resultats molt sorprenents i estètics. I que també podem canviar els angles. Per exemple treballant en una trama isomètrica podrem fer girs de 60° o 120°. Fer un applet amb GeoGebra, amb Scratch o Snap ens pot permetre treballar amb qualsevol sèrie numèrica i qualsevol angle. En el fons, era un dels treballs típics que es feia antigament amb el Logo.

Descobrirem fàcilment que no totes les sèries de daus tanquen amb un angle determinat.

Abans d'entrar en la nostra proposta, pot ser interessant fer un incís i mirar-ne una altra, molt ajustada per a primària i principis de l'ESO, que vaig sentir a Marc Caelles (@caellesmarc) en una presentació d'Innovamat. Es tracta de reduir la sèrie de nombres a tres (no tenen per què ser les tirades d'un dau) i amb un angle de 90°. L'activitat es basa a fer diferents loops, classificar-los segons la forma i buscar la pauta numèrica que fa que s'obtingui un tipus de loop o un altre. A continuació teniu un enllaç a un applet de GeoGebra que us permetrà experimentar. La resposta a la investigació la trobareu a la xerrada d'en Marc (minut 52).

Enllaç a l'applet

Anem ara a centrar la nostra investigació en dues preguntes:

• Podem saber si un loop tancarà o no abans de dibuixar-lo?
• Afecten les mides dels segments al tancament?

Ens hi posem?