Els problemes de Vito Mangiamele

Encara que als nostres dies ja no impressioni tant, antigament els "calculistes prodigiosos" van ser francament admirats. Alguns, a més, eren matemàtics. Diuen que el primer de tots va ser Nicòmac de Gèrasa, al segle I, però posteriorment Wallis, Euler o Gauss també van gaudir d'aquesta fama. En alguns casos van freqüentar i treballar en el món matemàtic de la seva època. I en d'altres es van limitar únicament a l'exhibició de les seves facultats. En aquest article parlarem d'un calculista que va visitar, amb gran èxit i repercussió pública, la Barcelona de mitjan segle XIX: Vito Mangiamele. La seva història l'he coneguda pel llibre Calculadoras humanas de Vicente Meavilla.

Vito Mangiamele, litografia d'Achille Devéria

Vito Mangiamele va néixer a la localitat siciliana de Sortino l'any 1827 i era fill d'un senzill pastor. De ben petit van descobrir les seves habilitats aritmètiques i als set o vuit anys el seu pare va cedir la seva custòdia a un home florentí, de cognom Camparoto, que es va convertir en el seu preceptor i mànager, ja que aviat el va portar a fer exhibicions de càlcul. La seva gran fita va ser que l'examinessin, quan tenia deu anys, a l'Acadèmia de les Ciències de París. Un dels seus examinadors va ser el matemàtic i astrònom rossellonès François Arago, uns dels científics que va participar, en terres mallorquines, en la continuació de la mesura del meridià per a determinar la longitud del metre. Les sessions de l'Acadèmia van ser sonades i recollides no només a gran part dels diaris de França, sinó també de tot el món, tant a Europa com a Amèrica. Cal dir, però, que les notícies no sempre volaven, ja que l'hem trobada recollida a diaris dels anys 1937 i 1938. L'èxit de la seva intervenció a l'Acadèmia va facilitar que estudiés a la Sorbonne de París i acabés com a docent de la mateixa universitat.

A continuació tenim un retall de la Gaceta de Madrid del 23 de juliol de 1839, on encara es feia ressò de la sessió de l'Acadèmia, incloent-hi alguns dels problemes plantejats, i anunciava una nova exhibició (s'entén que al Casino de Bordeus). No té pèrdua l'últim paràgraf. Al mateix número del diari, a continuació d'aquesta primera notícia, s'informava del resultat de la sessió anunciada.

Enllaç a la notícia completa

A Barcelona va venir l'any 1841 i podem seguir la seva visita gràcies al Diario de Barcelona (12, 15 i 26 de maig), als articles escrits per Onofre Jaume Novellas al Boletín de la Academia de las Artes y las Ciencias de Barcelona (n. 14 i 15) i a alguns escrits privats recollits a un article de Francesc X. Barca. Gràcies a aquests escrits podrem recollir alguns dels problemes que se li van proposar. A l'article del Diario del 12 de maig, Mangiamele parla de si mateix amb aquestes paraules:

Vito Mangiamele va fer exhibicions privades i públiques i va ser admès a la Real Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona (RACAB) com a acadèmic. El preu de l'entrada d'algunes de les exhibicions era de 10 reals que, actualment seria un valor d'uns 18 € (segons el càlcul la pàgina Measuring Worth)

Al web Niños prodigio es recull un poema que li va dedicar algun poeta igualadí i que comença així: «¡Salve, Vito Mangiamele! / Dime: qué numen te inspira, / cuando el mundo absorto admira, / ese tu ingenio inmortal?». Al mateix web s'explica que la RACAB té un retrat del calculista, a divuit anys, a la seva sala de juntes.

Mangiamele va morir, amb cinquanta anys, a la ciutat de Tolosa.

Passem ja, però, a la part que ens interessa matemàticament: quina mena de problemes li proposaven? Quins podríem plantejar a les nostres aules?

Vols conèixer els problemes "barcelonins" de Vito Mangiamele

Al Diari de Barcelona del 12 de maig de 1941 el mateix Mangiamele ens caracteritzava els tipus de problemes que se li podien proposar:

"Les qüestions que em poden proposar els que m'honorin en la seva assistència i la meva primera sessió són les següents:

• Fer qualsevol operació de les fonamentals de l'aritmètica per complicats que siguin les dades numèriques que se m'ofereixin, i encara que sigui amb trencats comuns, amb decimals o amb nombres complexos les subdivisions dels quals em siguin conegudes o se'm donin a conèixer per endavant.
• Reduir a fracció decimal aproximada quan es vulgui en trencat comú proposat. El problema invers d'aquest, reduir al trencat comú o a decimal un nombre complex proposat.
• Descompondre un nombre donat als seus factors simples:
• Trobar tots els divisors exactes d'un nombre proposat.
• Calcular el màxim comú divisor de dos o més números donats i el menor divisor possible de diversos nombres proposats. 
• Trobar, el valor d'una fracció continua donada.
• Resoldre les equacions determinades i indeterminades de primer grau, de qualsevol nombre d'incògnites.
• Determinar totes les arrels positives i negatives d'una equació completa d'un grau qualsevol.
• Resoldre qualsevol problema sobre progressions aritmètiques i geomètriques, sobre logaritmes i relatius a permutacions i combinacions.
• Resoldre qualsevol qüestió mercantil com a regla de tres simple o composta conjunta, companyia, al·ligació, interès simple i compost, descompte, canvis directes, indirectes calculatoris, d'arbitratges, etc.
• Resoldre totes les qüestions geomètriques.

Tals són les principals qüestions que crec resoldre en brevíssim temps, i només amb l'auxili de la meva memòria".

Aquí no els posarem tots. Els podreu trobar als documents citats com a fonts anteriorment, a més del llibre de Vicente Meavilla. Farem una tria d'aquells que poden ser interessants de proposar a secundària. Només, a títol d'exemple, presentarem els que F. Arago li va proposar a l'examen parisenc i extrets de la Gaceta de Madrid (27-7-1839):

Domènec Francesc Joan Aragó

1. Multiplicar 7829634 per 8643597.  [Producte 67676200953498].
2. Extreure l'arrel 17 de 221861106740436992. [Solució 12].
3. Quin és el número que elevat a una potència igual a si mateix dona 16777216. [x^x = 16777216. 8 és el nombre que es demana].
4. x⁷-53x³×9x⁴-131x²×414=0. [Equació mal escrita al diari. Solució x=3].
5. 120 treballadors, treballant set hores al dia, amb una força representada per 3 en un terreny d'una duresa representada per 4, han emprat 45 dies en obrir una fossa de 60 metres de llarg, sis d'ample i quatre de profunditat. Es demana quants dies trigarien 75 obrers per a obrir un fossat de 50 metres de llargada, vuit d'amplada i tres de profunditat, treballant sis hores al dia amb una força representada per 4, en un terreny d'una duresa representada per 6. [Solució 77 dies, 4 hores, 40 minuts].
6. Una suma de 456000 francs està imposada a 10% de manera que l'interès d'aquesta suma a la fi de cada any s'afegeix al capital per produir interès l'any següent. Al cap de cert temps ha ascendit la suma imposada a 712,138 francs i 24 cèntims. Es pregunta quants anys i mesos estaria imposada aquesta suma. [Solució 4 anys i 8 mesos].

Els problemes barcelonins

Plantejarem els problemes que se li van plantejar a Barcelona en dos blocs: les sessions privades recollides al Diari de Barcelona i les públiques de la Reial Acadèmia. En els dos casos recollirem els enunciats i els temps de resolució indicats al diari o al butlletí de l'Acadèmia. Les respostes concretes les substituirem per uns punts suspensius, per si els voleu resoldre. Les solucions les podreu trobar a la part final de l'article.

Reunió al "local de la classe de matemàtiques de la junta de comerç" (Diario de Barcelona 12-5-1841 - Enllaç).

• 2a qüestió: "Quins és el menor nombre enter que dividit per 7 té un quocient exacte i dividit successivament per 2, per 3, per 4, 5 i 6 deixa sempre de residu 1? En 2, minuts va dir ser el ... , és a dir, el veritable número".
• 3a qüestió: "Quin és el menor nombre enter que dividit per 2 deixa de residu 1, dividit per 3 en deixa 2, per 4 en deixa 3, per 5 en deixa 4, per 6 en deixa 5, i dividit per 7 dona quocient exacte? En 2 minuts 30 segons va dir que ... era el número demanat".
• 4a qüestió: "Quins és el valor de l'angle d'un polígon regular de 4349 costats? En 4 minuts ha dit que valia un ... [dona el resultat en una quantitat d'angles rectes i una fracció d'aquest]... I havent-li demanat que donés el resultat en graus, d'aquí a pocs minuts contesta que aquest angle valia ... de grau, com realment passa".
• 5a qüestió: "Quina és la superfície de l'hexàgon regular el costat del qual val 8 peus? En alguns minuts, que no vam poder apreciar per haver passat durant el càlcul alguna estona en conversa (sic), ha dit que cadascun dels sis triangles equilàters en què podia descompondre's l'hexàgon regular proposat, tenia de superfície ... peus quadrats".

Sessió privada a casa d'Onofre Novellas (Diario de Barcelona 15-5-1841 - Enllaç)

• 2a qüestió: "Un cert nombre de persones van guanyar en un negoci 2 240 pesos que havien de ser distribuïts entre elles en parts iguals, però 2 d'aquelles persones van cedir la seva part a la resta i amb així cadascuna de les altres va cobrar 20 pesos més. Quantes persones eren? En un minut i mig va dir que ... era el nombre de persones."
• 5a qüestió: "Quins són els números que divideixen sense deixar residu al nombre 44100? En 10 minuts va calcular els trenta-dos menors que divideixen el nombre proposat, és a dir, 2, 3, 4,... etc. fins a 100 inclòs. I veient que els anava trobant amb tanta facilitat, en arribar a l'esmentat trenta-dosè divisor ens vam donar per satisfets."
• 6a qüestió: "Quin és el producte de 30 per 29, [per 28,] per 27... fins al 13 inclòs? En cosa d'un quart d'hora va dir. , que el producte demanat és... ". (Nota. Al diari falta el nombre 28, però el resultat que dona es correspon amb el càlcul de la sèrie successiva 30·29·28·27... 14·13)
• 8a qüestió: "Es demanen les edats d'un pare, fill i net en cas de ser el quadrat de la del fill igual al producte de les edats del pare i net; i l'edat del fill multiplicada per la del net igual de la del pare; i el quadrat dels anys del net més els del fill igual a la meitat dels anys del pare. En menys de dos minuts ha dit que el pare en tenia ... anys, el fill ... i el net ..."

Sessió del dia 17 de maig de 1841 (Butlletí de l'Acadèmia de les Ciències Naturals i de les Arts de Barcelona n. 13 de 1842 - Enllaç).

• 4a qüestió: "Quin és el nombre del qual traient-ne la meitat i la meitat d'una unitat, i del que resta la meitat i mitja unitat més, i al restant la meitat i un mitjà més, encara queda una unitat de resta? En pocs segons es va contestar ser el número... el que complia amb aquelles condicions, de manera que el públic va quedar convençut del bon encert i habilitat de càlcul d'aquell jove sicilià emportant-se l'atenció i els aplaudiments dels circumstants."

Sessió del dia 23 de maig de 1841 (Butlletí de l'Acadèmia de les Ciències Naturals i de les Arts de Barcelona n. 13 de 1842 - Enllaç).

• 1a qüestió: "Trobar els anys de tres individus amb les dades següents:
• El 1r — el 2n + el 3r = 34 anys;
• El 1r + el 2n — el 3r = 36
• El 1r — el 2n — el 3r = — 14

La resolució va ser feta en cinc minuts"

• 3a qüestió: "Un pare ha deixat al seu testament per repartir entre els seus quatre fills cert capital, amb les condicions següents: Que al fill gran se li donin 1000 duros i el cinquè dels restants; que al 2, després de treta la part del 1r se li donin 2 000 duros i 1/5 dels que quedin; que al 3r després de tretes les dues parts anteriors se li donin 3 000 duros i 1/5 dels restants; i que al 4r se li donin 4 000 duros i 1/5 dels restants. Havent de percebre cadascun dels fills igual porció de diners, es demana quin és el capital que compleix les condicions proposades? No va ser necessari gaire espera per saber el que se li preguntava, perquè que al sol interval de 50 segons, va contestar que ... duros era el capital en qüestió."
• 4a qüestió: "Hi ha un nombre que consta de 3 xifres que sumades en componen 13; la xifra de les unitats és triple de la de les centenes, i si se n'hi afegeix 396, la suma sigui igual al mateix nombre donat escrit al revés. En només 20 segons es va saber que ... era el número demanat."
• 5a qüestió: "Un guarda de magatzem amb el seu canastró i sols 6 peses diferents pesava d'una sola vegada qualsevol nombre de lliures que se li demanaven des d'una fins a 364; es demana quant pesava cada pesa. Quatre minuts van ser suficients per saber que aquestes peses eren de ... lliures de pes".
• 8a qüestió: "Un coronel per estimular els seus soldats els ofereix donar 5 rals per cada cop que donin al blanc; però cada soldat ha de deixar al fons de la companyia 3 reals per cada vegada que no li doni; després de 12 trets ajusten comptes, i es troba que el coronel deu als seus soldats 28 reals. Es pregunta, quantes vegades van donar al blanc i quantes no? Només 30 segons van ser necessaris per saber-se que els trets encertats havien estat ..."
• 9a qüestió: "Si em dones 100 pessetes, va dir Pere a Joan, et donaré la meitat del meu cabal: verificat això, va dir Pere a Joan, si em dones 100 pessetes, et donaré la meitat del meu cabal: verificat això, va dir Pere a Joan si em dones 100 pessetes et donaré la meitat del meu cabal: verificat això es va trobar amb 2100 ptes. Es demana quantes pessetes tenia Pere abans de parlar amb Joan. .... pessetes es va contestar en 30 segons escassos."

Sessió del dia 27 de maig de 1841 (Butlletí de l'Acadèmia de les Ciències Naturals i de les Arts de Barcelona n. 13 de 1842 - Enllaç)

• 9a i última qüestió. "Hi ha un pare de 58 anys, 5 mesos 5 dies d'edat que té dos fills. El més gran de 5 anys, 6 mesos, 2 dies. I el menor de 3 anys, 2 mesos, 3 dies. Es pregunta: d'aquí a quant temps l'edat del pare serà el triple de la suma de les edats dels seus fills? En 6 minuts es van obtenir ... dies equivalents a ... anys, ... mesos i ... dies per resultat."

I a l'aula?

Explicar històries sempre és interessant a l'aula. Els "calculistes prodigiosos" no criden tant l'atenció com antigament perquè la tecnologia de càlcul actual fa meravelles semblants i més ràpidament. Però encara es fan exhibicions puntuals que criden molt l'atenció. Personalment, recordo la visita de Jaime García Serrano a uns quants instituts de Catalunya, a la primera dècada del 2000, i que sorprenien molt l'alumnat. Si no recordo malament, el calculista "amortitzava" la visita venent els seus llibres que, per altra banda, no eren excessivament interessants. Però parlar del tema ens pot servir per valorar la "democratització del càlcul", tant per l'ensenyament dels algoritmes fonamentals com pel desenvolupament de la tecnologia "calculística". I, actualment, aquesta tecnologia no només ens ajuda en el càlcul aritmètic sinó per a moltes altres coses, com la resolució directa d'equacions, per exemple.

Hem desconsiderat en la selecció alguns dels problemes de càlcul pur i dur. Només n'hem deixat un de factorial (el 6è del dia 15 de maig del Diari de Barcelona). Però plantejar aquest o el primer de l'Acadèmia francesa pot ser també interessant en un altre context. Si al centre tenim alguna calculadora aritmètica o científica una mica antiga, amb una quantitat limitada de dígits (8, 10 o 12 eren els habituals) podem proposar com trobar el resultat exacte amb l'ajuda d'una d'aquestes calculadores. Las aritmètiques senzilles es bloquejaven o donaven un missatge d'error. les científiques passaven a notació decimal. Però, com obtenir el producte exacte demanat per Arago (7829654 per 8643597) amb una d'aquestes calculadores?

Un parell de comentaris finals:

• comparar els "nostres temps" de resolució amb els de Vito Mangiamele pot ser ben curiós i li donarà el mèrit que es mereix. 
• per altra banda, podem discutir: ser bon calculista és sinònim de ser bon matemàtic? Podem fer matisos?

Una petita addenda sobre François Arago

No volem entrar en la biografia d'aquest matemàtic rossellonès, però sí que ens agradaria comentar que deus ser de les poques persones que van salvar la vida per parlar català. Massa vegades ha passat tot el contrari. Arago va participar, el 1808, en la continuació de la mesura del meridià per a la determinació de la mesura del metre. L'expedició de Méchain i Delambre havia acabat a Barcelona, però Méchain va impulsar la idea de continuar fins a Mallorca. Justament, quan Arago estava prenent mesures a la Mola de l'Esclop, a la Serra de Tramuntana mallorquina, es va produir la invasió napoleònica a la península i França i els francesos van passar a ser enemics. Un amic va anar a avisar a Arago a l'estació de mesura i li va portar roba de civil. Quan es va trobar amb els que l'anaven a detenir els va poder confondre perquè parlava perfectament el català. Ell mateix ho va narrar:

"Damien, patró del Mistic, que el govern espanyol havia posat a la meva disposició, els va adelantar i em va portar un vestit amb l'ajuda del qual em vaig disfressar. Dirigint-me vers Palma, en companyia del valent marí, vam trobar els grups que m'anaven a buscar. No se'm va reconèixer, ja que jo parlava perfectament el mallorquí. Vaig encoratjar fortament els homes d'aquest destacament a continuar la seva ruta, i em vaig encaminar cap a Palma".

Podeu llegir la història amb més detall en aquest article de Carles Garrido, publicat al Temps.

Solucions

No estan recollits els mètodes de resolució emprats per Vito Mangiamele. Els comentaris sobre resolucions són propis.

Solucions DB 12-5-1841

• 2a qüestió: 301 [El mcm (2, 3, 4, 5, 6)=60 i sempre donarà una divisió exacta. Si sumem 1 a 60 o als seus múltiples (61, 121, 181...) el residu sempre serà 1. Només cal buscar el primer que sigui múltiple de 7].
• 3a qüestió: 119 [El problema és similar a l'anterior, però si abans fèiem el mcm+1 ara hem de partir del mcm-1 i trobar el que sigui múltiple de 7].
• 4a qüestió. "En 1a instància contesta que un angle recte i 4345/4349 d'un altre recte. A la demanada en graus respon 179° i 3989/4349 de grau". [La solució es pot trobar mitjançant una fórmula general per a trobar l'angle interior d'un polígon regular de n costats: 180(n-2)/n].
• 5a qüestió: Segons el diari 27.712,928 peus quadrats, però hi ha un error principal de col·locació de la coma decimal. L'àrea d'un dels triangles és de 27,712812 peus quadrats. De tot l'hexàgon serà de 166,2768775 peus quadrats. [Un dels mètodes de calcular l'àrea és multiplicar el quadrat del costat per un coeficient que és diferent per a cada polígon regular. El de l'hexàgon és 2,598. Un procediment com aquest ja s'utilitzava a l'antiga Mesopotàmia. El teniu explicat en aquest altre enllaç d'aquest blog].

Solucions DB 15-5-1841

• 2a qüestió: 16 persones [Es pot resoldre amb una equació: (2240/x)+20=2240/(x-2)].
• 5a qüestió: 81 divisors 1,2,3,4,5,6,7,9,10,12,14,15,18,20,21,25,28,30,35,36,42,45,49,50,60,63,70,75,84,90,98,100,105,126,140,147,150,175,180,196,210,225,245,252,294,300,315,350,420,441,450,490,525,588,630,700,735,882,900,980,1050,1225,1260,1470,1575,1764,2100,2205,2450,2940,3150,3675,4410,4900,6300,7350,8820,11025,14700,22050,44100
  [Podrem trobar el límit de proves fent l'arrel quadrada de 44100 que és 210 i anar dividint ordenadament per nombres successivament (2, 3, 4...). Si la divisió és exacta el quocient serà un altre divisor, superior sempre a 210. També podem abreujar. Si és divisible per 2 i per 3 ho serà per 6, etc.].
• 6a qüestió: La resposta és 553761949463615692800000 [El resultat s'obté ràpidament amb la calculadora fent-ne 30!/12!].
• 8a qüestió: el pare en tenia 64 anys, el fill 16 i el net 4. [De les dues primeres relacions, que són f²=p·n i p=f·n es pot deduir que l'edat del pare és n⁴ i la del fill n² ; amb la 3a relació es poden deduir les edats concretes].

Solucions RACAB 17-5-1841

• 4a qüestió: 15 [Aquest és un problema clàssic de resoldre retrocedint del final al principi amb el "caminar del cranc". Si ha quedat 1 després de treure 1/2 abans hi havia 1+1/2 que era la meitat del que quedava. Per tant, en quedaven 3 unitats. Fent el mateix procés enrere arribarem a la solució (3+1/2, el doble, 7; 7+1/2, el doble 15)].

Solucions RACAB 23-5-1841

• 1a qüestió: El 1r 35 anys; el 25 anys i el 3r, 24 anys [Sumant les dues primeres relacions descobrim que el 1r té 35 anys. De la segona relació, i coneixent l'edat del 1r sabem que el segon i el 3r es porten un any. Sabent tot això podem deduir les edats que ens falten a partir de la 3a relació].
• 3a qüestió: 16000 duros [Un problema clàssic de recreació matemàtica que es pot resoldre amb una equació relativament senzilla relacionant les parts del 1r i el 2n fill i recordant que són iguals: 1000+(x-1000)/5=2000+[(x-1000)/5-2000]/5. Podem comprovar que el resultat obtingut funciona amb la resta de fills. Si voleu veure un problema semblant però on es demana la quantitat de fills podeu veure'l a un altre article d'aquest blog: El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"].
• 4a qüestió: 256 [Un problema aritmèticament fàcil donat que sabem de partida que les xifres de les centenes i les desenes han de ser les parelles 1-3, 2-6 o 3-9. Experimentant amb la suma indicada esbrinarem la solució correcta].
• 5a qüestió: 1, 3, 9, 27, 81 i 243 lliures de pes. [Un altre problema clàssic de recreació matemàtica que es resol en base 3. En una versió més reduïda ja apareixia, al segle XVII, als Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les nombres de Claude Gaspard Bachet de Méziriac].
• 8a qüestió: 8 encerts [No és difícil resoldre'l per tempteig, però un sistema d'equacions ens proporciona el resultat directament. Si anomenem x als encerts i y a les errades les equacions serien x+y=12 i 5x-3y=28].
• 9a qüestió: 16100 ptes. [un altre problema de "caminar del cranc". En Pere va acabar amb 2100 després de donar la meitat; per tant, abans en tenia 4200, però n'havia rebut 100; així abans en tenia 4100; això després d'haver.ne donar la meitat; per això abans en tenia 8200; etc.].

Solucions RACAB 27-5-1841

• 9a qüestió: "2320 dies equivalents a 6 anys, 3 mesos i 10 dies" [Si comptem cada any de 365 dies i cada mes de 30, dies la solució seria 2366 dies, és a dir, 6 anus 5 mesos i 26 dies. Es pot resoldre passant totes les quantitats a dies i plantejant una equació on x seran els dies que han de passar: Pare+x=3(fill 1+x+fill 2+x)]