Al llibre Las matemáticas de la Edad Media (2015), de Pablo Martín Prieto, s'esmenta que, com a mètode pràctic de càlcul dels polígons regulars, als agrimensors se'ls recomanava utilitzar unes fórmules aproximades relacionades amb els nombres figurats, també coneguts com a nombres poligonals. L'aritmo-geometria, que estudia aquests nombres, té el seu origen a l'Escola Pitagòrica i els més coneguts són els triangulars i els quadrats. Recordem, breument, aquesta família de nombres, que representem sempre amb punts.
- Nombres triangulars
Comencem amb un punt que representarà el nombre 1. A continuació, afegim una fila amb 2 punts: serà el nombre 3 (1+2). Després afegirem una tercera fila amb tres punts i obtindrem un total de 6 (1+2+3). I continuem indefinidament: 10 (1+2+3+4), 15 (1+2+3+4+5), 21 (1+2+3+4+5+6), etc.
- Nombres quadrats
Si ara , també començant des de l'1, disposem els punts formant quadrats, obtindrem una sèrie diferent: 1, 4 (1+3), 9 (1+3+5), 16 (1+3+5+7), 25 (1+3+5+7+9), 36 (1+3+5+7+9), etc.
- Nombres pentagonals
Comencem de nou. i sempre ho farem així, per l'1. Ara les disposicions seran pentagonals i la sèrie obtinguda 1, 5 (1+4), 12 (1+4+7), 22 (1+4+7+10), 35 (1+4+7+10+13), 51 (1+4+7+10+13+16), etc.
De fet, existeix una fórmula general dels nombres figurats. Si anomenem c a la quantitat de costats del polígon i n al terme específic de la sèrie, la fórmula és la següent:
 |
| Podeu veure una demostració en aquest document |
La qüestió és que en alguns llibres de l'Edat Mitjana adreçats principalment a agrimensors, com hem dit abans, se suggeria com a mètode pràctic aplicar aquesta fórmula per a aproximar les àrees dels polígons regulars. Per a calcular l'àrea n seria la longitud del costat i c la quantitat de costats del polígon concret. No calia cercar l'apotema i fer arrels quadrades ni càlculs trigonomètrics. Era molt més senzilla perquè només demanava fer un quadrat, com a molt dos productes, una suma i una divisió per dos. De fet, el que acostumaven a fer era donar les fórmules adaptades a cada polígon particular. És a dir, les de la taula anterior. Però, era una bona aproximació?
Estudiem el problema?
Primer una mica d'història
"Tot enneàgon que té costats iguals, del qual multiplico un costat per si mateix i de nou sumo set vegades, resto cinc vegades el nombre en si, prenc una meitat, declaro l'enneàgon.Si hi ha un enemic que té 10 peus cadascun dels seus costats , busco quants peus ocupa l'àrea. Busco d'aquesta manera. Multiplico un costat per si mateix: n'esdevé 100. Sumo set vegades: n'esdevé 700. D'això resto cinc vegades el nombre en si: n'esdevé 50. Prenc la meitat de la resta, 650: n'esdevé 325. Tants peus té l'àrea d'aquest enemic."
Malgrat el coneixement de mètodes més exactes des dels Elements d'Euclides, al segle X sembla que aquest encara es conservava. Per exemple a la Geometria de Gerbert d'Orlhac (Silvestre II) del segle X trobem un breu capítol que l'explica. L'original és en llatí i l'hem adaptat una mica per a fer-lo més entenedor. Hem de tenir en compte que les fórmules es donaven en forma retòrica. Per a cada polígon, escriurem al costat la fórmula associada amb llenguatge algebraic modern. Així podrem observar que són adaptacions, per a cada cas, de la general dels nombres poligonals
"CAPÍTOL LV. Com un triangle, un tetràgon, un hexàgon, etc., equilàter, omple les seves àrees.
Tot triangle equilàter multiplica un costat per si mateix, afegeix el mateix costat a aquesta multiplicació, en pren la meitat d'aquests [valors], i d'aquesta manera obté la seva àrea [(n2+n)/2].
D'altra banda, tot quadrilàter que té els costats iguals multiplica un costat per ell mateix, i amb aquesta única multiplicació obté la seva àrea. [n2].El pentàgon, que està contingut per costats iguals, requereix tres vegades la multiplicació d'un costat per si mateix, i d'aquella suma de la multiplicació restar-ne un cop el costat, i del que queda prendre'n la meitat. [(3n2-n)/2]L'hexàgon requereix quatre vegades la multiplicació del costat per si mateix, i de la suma de la multiplicació restar-ne dues vegades el costat, i del que queda prendre'n la meitat. [(4n2-2n)/2]Heptàgon cinc vegades, costat tres vegades. [(5n2-3n)/2]Octàgon sis vegades, costat quatre vegades. [(6n2-4n)/2]Enneàgon set vegades, costa cinc vegades. [(7n2-5n)/2]
I continuar en conseqüència."
És un mètode aproximadament bo?
La resposta és molt clara: no. Ni tan sols de forma aproximada. Ho podeu provar amb aquest applet fet amb GeoGebra.
El grau d'error relatiu depèn de dos valors: de la quantitat de costat i de la longitud d'aquest. Amb l'ajuda d'un full de càlcul veurem que, per a una longitud de costat fixa, com per exemple 10, l'error té un excés d'un 27,02% per al triangle i que, a partir del pentàgon sempre serà per defecte: -15,72% pel pentàgon, -26,87% per l'hexàgon i arriba gairebé al 75% per a l'icosàgon, de 20 costats. Només per al quadrat el resultat és exacte.
 |
| Enllaç al full de càlcul |
Si ara fixem el polígon, per exemple un pentàgon, i anem variant la longitud del costat, l'error, sempre per defecte, també té una gran variació: des del gairebé 42% per a longitud de costat 1 fins a una certa estabilització al voltant del 14% a partir de 14 costats.
Podem afirmar que aquesta fórmula no és una bona aproximació al càlcul d'àrees real.
Una correcció o un error?
Boeci va ser un filòsof i matemàtic romà que va viure a cavall dels segles V i VI. A la seva obra De arithmetica va parlar dels nombres figurats.
 |
| Detall de l'obra de Boeci |
El cas és que la seva obra va ser inspiradora d'altres posteriors. Fins al punt que, sota el seu nom, s'anaven afegint i modificant textos i tenim alguna geometria que actualment es coneix com de Pseudo-Boeci... Hi ha una del segle XI que conté variants curioses de la fórmula que hem utilitzat fins ara. Molt probablement són errades de transcripció per parts d'algun copista i que, en còpies posteriors, els nous transcriptors no es molestaven a comprovar. O canvis deguts a la intervenció màgica de Titivillus, el dimoni que durant l'Edat Mitjana es dedicava que els copistes cometessin errors en els seus manuscrits.
 |
| Titivillus en una iconografia del segle xiv |
En aquesta obre es descriu i exemplifica el càlcul des del pentàgon al decàgon. Per als polígons de 7 a 10 costats s'utilitza la fórmula general dels nombres poligonals. Però per al pentàgon i l'hexàgon, en comptes de restar [n2(c-2)-n(c-4)], es proposa una suma [n2(c-2)+n(c-4)]. A més, en el cas del pentàgon ni tan sols es divideix per 2.
 |
| Enllaç al llibre (mirar pàgines 419 a 423) |
Així, les fórmules del pentàgon i de l'hexàgon queden d'aquesta manera.
Pot ser pertinent estudiar-les, donat que les originals ja són francament poc aproximades. Mirem primer la del pentàgon i comparem el grau d'error de cada mètode, el del Corpus Romanorum i el de Pseudo-Boeci.. S'observa que el segon és molt pitjor amb un error que es va estabilitzant cap al +77% contra el -14%
 |
| Enllaç al full de càlcul |
Però, si afegim la divisió per 2, curiosament, l'aproximació és millor, ja que l'error s'estabilitza, més o menys, al voltant de l´11%, a partir d'una longitud de 16 unitats.
 |
| Enllaç al full de càlcul |
L'àrea d'un polígon regular ve determinada per la longitud del seu costat i la quantitat d'aquests. Si descomponem un polígon regular en triangles isòsceles iguals es pot deduir l'angle interior i, amb una mica de trigonometria, trobar una fórmula general, on n és la quantitat de costats i c la longitud del costat.
La conseqüència és que podem trobar un coeficient específic per a cada polígon regular. Per a calcular una àrea concreta només cal mesurar el costat, trobar el seu quadrat, i multiplicar aquest resultat per coeficient del polígon concret. Del triangle al dodecàgon aquests serien els coeficients.
Pel que sabem, a Mesopotàmia es feia servir un procediment com aquest. Per exemple, a una tauleta elamita es descriu aquest procediment per a l'heptàgon:
«Un heptàgon (regular). Multipliques (el quadrat d'un costat) per 4 i restes una dotzena part (delresultat al resultat mateix), i (veus) l'àrea.»
La fórmula associada per un costat c seria:
Podem veure que 11/3=3,6666... és una aproximació molt bona a la real (3,634...) i que produeix un error en excés que no arriba al 0,9%.
 |
| Enllaç al full de càlcul |
 |
| Tauleta TMS 2 amb els dibuixos d'un hexàgon i d'un heptàgon |
I a l'aula
- La quantitat de connexions d'una activitat organitzada al voltant d'aquest tema és enorme:
- Amb la història de les matemàtiques: Edat Mitjana, Grècia, Roma, Mesopotàmia, Gerbert d'Orlhac, Boeci...
- Amb la història en general. Per exemple amb el problema de les traduccions, les aportacions a textos originals no diferenciades d'aquests, els errors dels copistes...
- Entre aritmètica i geometria: dels nombres figurats al càlcul d'àrees. I el treball algebraic ric que s'associa. Amb els més grans, també tenim aspectes trigonomètrics interessants.
- Una oportunitat per a treballar la mesura de l'error. I, relacionat, amb aquest, preguntar-se com va perdurar tant de temps un mètode tan i tan imprecís. Probablement es volia proporcionar un sistema de càlcul d'àrees que fos fàcil d'emprar, amb operacions relativament fàcils. Hem de pensar que el càlcul de les apotemes demana sovint treballar amb arrels quadrades o taules trigonomètriques amb valors "complicats". Es tractava de donar mètodes tan directes i pràctics com fos possible, com els mesopotàmics, per exemple. Però, per altra banda, sembla que qui feia els tractats d'agrimensura no havia mesurat de forma real gaires polígons regulars. És a dir, interessava més la idea que l'experimentació. També és possible que el prestigi dels autors dels tractats originals no es posés en qüestió. Tot un tema per a debatre!.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada