Descarregar el Blog en set quaderns

En 14 anys que fa que es publica aquest blog ja hi ha molt material acumulat. S'han recollit la gran majoria d'articles en set quaderns en format PDF. També teniu una taula on estan llistats els 161 articles escollits indicant si incorporen aspectes dels diferents sentits del currículum matemàtic actual: numèric, espai, mesura, algebraic i estocàstic. Quedaran fixats en una nova pàgina creada al blog i que trobareu a la pestanya de Descàrregues. Esperem que us sigui útil!

Llistat d'articles

• Enllaç al full de càlcul

Quaderns d'articles (PDF)

El joc de "Tancar la caixa"

Segons el clàssic llibre Juegos de todo el mundo, de Frederic V. Grundfel, i que va publicar en castellà Edilan el 1978, el joc de "Tancar la caixa" era popular entre els mariners de Normandia i altres zones de la costa atlàntica francesa, tot i que es troben també variants conegudes a Zàmbia. Algunes fonts remunten els orígens del joc fins al segle XII. El cas és que és fàcil de jugar, divertit i, en conseqüència, encara força popular.

Les versions comercialitzades acostumen a estar fetes en fusta, però es pot jugar molt fàcilment amb materials molt senzills. Sempre ens caldran dos daus, però els nombres els podem representar amb cartes o amb un paper amb els nombres de l'1 al 9 i unes fitxes per a tapar-los.

Versió clàssica en fusta

Versió amb paper i fitxes

Hi ha moltes variants del joc. Aquí hem triat una en concret, que convida a un estudi probabilístic que pot ser interessant a l'aula. Aquesta versió la trobem al llibre, també clàssic, 100 jeux de table, de Pierre Berloquin i editat per Flammarion l'any 1976. Hi apareix amb el nom de "Les douze cases" i d'ell hem reproduït el dibuix anterior. Pot ser un joc solitari o per a dos o més jugadors. Aquí l'expliquem per a dos.

Com es juga?

• Cada jugador, per torn, fa una "ronda", que consisteix a anar encadenant jugades fins a arribar a una situació de bloqueig. A l'inici de la ronda tots els nombres de l'1 al 9 estan "oberts" i poden ser triats.
• Per a realitzar una jugada es tiren els dos daus i se sumen els seus valors. El jugador que fa la ronda pot eliminar tots els nombres que, sols o sumats, donen el resultat de la tirada de daus. Així, si estan sense eliminar, treu un 5 i un 3 amb els daus (suma 8), pot anul·lar, "tancar", el 8, parelles de nombres com l'1 i el 7, el 2 i el 6 o el 3 i el 5, o ternes com l'1, el 2 i el 5, o l'1, el 3 i el 4. No es pot comptar amb els nombres ja eliminats.
• Si estan eliminats el 6, el 7 i el 8 es pot triar entre tirar un dau o els dos.
• Es van fent jugades fins que s'han eliminat tots els nombres (s'ha "tancat la caixa") o ens trobem en una situació en què no podem eliminar-ne cap. Per exemple. Si traiem un 3 amb la suma dels dos daus i no tenim "oberts" el 3 o l'1 i el 2, a la vegada, ja no podem continuar jugant i s'acaba la ronda.

Jugada de bloqueig. No podem aconseguir una suma de 3

• Abans que el següent jugador comenci la seva ronda es fa la suma dels punts que han quedat oberts  i se'ls anota. Al cas de l'exemple 1+6+7+9=23.
• El segon jugador fa la seva ronda fins a acabar-la.
• Per decidir qui ha guanyat podem fer-ho partida a partida o fins a aconseguir un total límit. Per exemple, si el segon jugador queda amb 15 punts s'anota la partida perquè 15 és més petit que 23. Si juguem amb un límit, per exemple 50 o 100 punts, perd el jugador que, en diferents rondes, els supera.

Podeu practicar el joc amb aquest applet fet amb Scratch.

https://scratch.mit.edu/projects/1246828255

Com es veu és un joc ben senzill i força entretingut. Amb els més petits ja és prou interessant només per a practicar les combinacions de sumes que sorgeixen durant una partida.

És un joc que depèn, en gran manera, de l'atzar. El que volem estudiar aquí si existeix alguna estratègia general per a optimitzar les puntuacions, és a dir, per a minimitzar-les. I, en especial, quan prendre la decisió per a passar a jugar amb un sol dau a partir del moment que les regles ho permeten.

Analitzem el joc?

Busquem premis a les caixes

Tenia una companya de matemàtiques a l'institut on treballava que, cada vegada que atacàvem problemes de probabilitats deia: "Entrem en terrenys pantanosos". Quanta raó tenia. El problema que comentarem avui me l'ha fet conèixer la Laura Morera i, durant uns dies, l'hem discutit amb la Cecilia Calvo i el Jordi Deulofeu. Ella el va conèixer pel divulgador Alex Bellos, que el va titular "El problema de les caixes que va desconcertar als científics". La versió original del problema és amb 15 caixes, però nosaltres començarem només amb sis i no amb les mateixes regles inicials. Progressivament anirem entrant "en matèria"

Imaginem que tenim sis caixes disposades formant un rectangle de 2x3. A una de les caixes amaguem una fitxa.

Després fem entrar a dos nens: l'Arnau i la Berta que faran un joc per trobar la fitxa. Tots dos aniran obrint les caixes de forma simultània i ordenadament, però l'ordre serà diferent per a cadascun. L'Arnau comptarà horitzontalment, d'esquerra a dreta i la Berta ho farà verticalment, de dalt a baix.

El joc funcionarà així:

• Abans de començar cada partida amagarem una fitxa a l'atzar en alguna de les caixes.
• Nosaltres comptarem en veu alta 1, 2, 3... fins que aparegui la fitxa amagada.
• Quan es digui un nombre tots dos obriran a la vegada la caixa que per a ells està numerada amb l'ordre que segueix cadascú. Es pot donar el cas (al principi i al final) que tots dos coincideixin a la mateixa caixa: aquella caixa serà "dels dos".
• Quan es troba la fitxa el joc s'acaba. Guanya el que l'ha trobat i es guardarà la fitxa.
• Si la troben a la vegada (a la mateixa caixa) no se la queda cap dels dos. La fitxa es retira i és un empat.
• Guanya qui, després de diverses partides, hagi recollit més fitxes, és a dir, hagi guanyat més partides.

Podeu veure un exemple del joc amb aquest aplicatiu.

Enllaç al programa

Si fem jugar un programa automàticament veurem que el joc és equilibrat. Del total de partides, aproximadament un terç seran empats, un altre terç seran victòries de l'Arnau i el terç final de victòries de la Berta.

Enllaç al programa

Aquesta experimentació es correspon amb el càlcul teòric. Només cal mirar qui guanya segons on hagi anat a parar la fitxa amagada: en dues caselles la trobaran a la vegada i hi haurà un empat, en dues la trobarà abans l'Arnau i en dues ho farà la Berta.

Fins ara tot força raonable i previsible. Fem ara, però, un petit canvi aparentment innocent en el joc: en comptes de guardar una sola fitxa, en posarem, també a l'atzar, dues fitxes. Com abans el joc s'aturarà quan es trobi la primera fitxa. Això ho hem de remarcar. No esperem a trobar-ne les dues. Qui troba la primera guanya. Els empats es produeixen quan les troben a la vegada, ja sigui perquè el dos obren la mateixa caixa o perquè n'obren diferents, però totes dues tenen fitxa. Experimentem ara i observem els resultats, comparant-los a una hipotètica equiprobabilitat com la del cas anterior.

Enllaç al programa

Podreu observar que els empats són més probables que les victòries de qualsevol dels jugadors. i que l'Arnau té un lleuger avantatge sobre la Berta. Ja hi som amb les sorpreses de la probabilitat. Intuïtivament, el joc hauria de continuar sent equiprobable, però no ho és. A continuació teniu una imatge amb els resultats després d'un milió de partides.

Estudiem aquest nou joc amb més detall?

Intuïció i probabilitat: el joc de "la canyeta més curta"

Que la intuïció i la probabilitat estan renyides és un tema que, recurrentment, s'ha tractat en aquest blog. També podeu veure, sobre aquest tema, el vídeo de la comunicació Què passarà? Intuïció i probabilitat, de la Jornada d'Educació 2021 de l'APMCM. De vegades, la manca d'intuïció està relacionada amb la poca familiaritat o experiència amb les situacions plantejades. Avui aquesta proposta ens convida a pensar sobre una situació ben coneguda, el mètode de tria de "la canyeta més curta". El joc funciona així:

• Tenim un grapat de canyetes (o de cordills, o d'herbes, o pals de gelat...). Tantes com persones intervenen el joc. Les canyetes poden tenir diferents longituds o ser iguals totes, menys una que serà més curta.
• Qui organitza el joc les agafa barrejades amb la mà de forma que, per la part superior, es mostri per a totes una longitud igual. La part inferior acostuma a quedar amagada, però si són, per exemple, cordes desiguals no és estrictament necessari.
• Els jugadors agafen ordenadament una canyeta cadascun.
• Perd (o s'elimina) qui ha triat la més curta.

La qüestió a discutir és: importa l'ordre en triar o és indiferent? Afecta quin torn tens per agafar la canyeta a la probabilitat que agafis la més curta?

Podem imaginar una discussió a l'aula, sigui de primària o secundària, en la que sortiran arguments com aquests:

• És millor ser l'últim perquè així és més probable que una altra persona l'hagi agafat abans.
• És millor ser dels primers perquè tens més canyetes per a triar. Si et vas esperant cada vegada en queden menys i la probabilitat de triar la curta augmenta.
• És millor ser dels del mig per si algú l'agafa abans, però sense esperar que quedin poquetes.

Podeu provar també de treure el tema en ambients no matemàtics per veure què en pensa la gent.

Com sempre, el millor és començar experimentant una mica. A continuació teniu un applet fet amb Snap que us permetrà jugar-hi. Aquí l'hem preparat amb un joc de fitxes que tenen una cara visible de color marró i una amagada: totes són verdes menys una que és vermella i que és la que fa perdre.

Enllaç al programa

Estudiem el joc?

Sextines i nombres de Queneuau

Sovint, encara que sembli contradictori, posar restriccions estimula la creativitat. Pensem, per exemple, en els grans descobriments de la geometria grega nascuts de la restricció de l'ús exclusiu del regle i el compàs. I, en un terreny ben diferent, en la imaginació posada en cinema, escriptura o música per esquiva la fèrria censura durant l'època franquista o de la primera transició. En aquest article parlarem d'una forma de poesia, basada en un joc combinatori i que, convenientment adaptat, ens pot servir per a preparar alguna activitat a l'aula que connectin llengua i matemàtiques. Ens pot servir, per exemple, per a una proposta per a Sant Jordi. La forma de poema més convencional, dels poemes que estudiarem. És la sextina, però que podrem convertir, en tercina, cinquina... o el que ens convingui.

• La sextina

Segons moltes fonts, l'inventor de la sextina és el trobador occità del segle XII Arnaut Daniel. Aquesta forma poètica ha arribat fins als nostres dies perquè l'han adoptat altres poetes antics, com Dante, Petrarca, Camões o Fernando de Herrera, i més recents com Kipling, Ezra Pound, Gil de Biedma... A Catalunya s'hi van dedicar, especialment, Joan Brossa i Maria Mercè Marçal, que van escriure llibres sencers amb aquesta forma.

Una sextina estricta és un poema de 36 o 39 versos i, normalment, d'onze síl·labes. Els 36 primers versos s'organitzen en sis estrofes de sis versos cadascuna. Opcionalment, es pot afegir una tornada de tres versos finals (que farien els 39). L'interès matemàtic està les regles combinatòries que s'utilitzen en la seva construcció.

Mirem un exemple: La primera estrofa de la Sextina reivindicativa, de Maria Mercè Marçal ("Terra de mai" dins de "La germana, l'estrangera"), on marquem en negreta les paraules que seran la clau del poema: les "paraules-rima":

Amor, ja que m'has dit que et digui què

vull, t'ho diré ben clar: contra l'horari,

el meu desig reivindica el lleure

total, i tu i el teu desig per paga,

pujar parets d'amor pet tot ofici

i pintar de diumenge la setmana.

Aquestes paraules-rima tornen a aparèixer a la segona estrofa, però en un altre ordre:

Ja ho sé! Tot no pot ser caps de setmana
 i postes de sol. Sí, ja ho sé. I què!
 Deixa'm clamar, adolescent d'ofici,
 per la mort violenta de l'horari
 per mà d'amor. El meu desig, cap paga
 no vol, si posa duanes al lleure.

A la resta d'estrofes tornaran a repetir-se, però de forma que no cauran mai al mateix vers. Per exemple, lleure la trobem al 3r vers, a la 1a estrofa, i al 6è, a la segona. En les següents estrofes sortirà en el 1r, el 2n, el 4t i el 5è vers.

El poema es tanca amb una tornada en què les paraules-rima s'ordenen com a la primera estrofa, posant-ne dos per vers.

amor, per què ens escapça el vol l'horari,
 confina el lleure i, per ben poca paga,
 amo d'ofici, ens roba la setmana?

Podeu llegir tota la sextina, i tres més, en aquest enllaç.

L'esquema general de distribució de les paraules-rima és la següent:

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6
2a	6	1	5	2	4	3
3a	3	6	4	1	2	5
4a	5	3	2	6	1	4
5a	4	5	1	3	6	2
6a	2	4	6	5	3	1

 Podem observar un perfecte quadrat llatí, en què no es repeteix cap paraula a cap fila ni a cap columna.

Hem aplicat a les paraules-rima un mètode de permutació que fa que cada mot vagi a parar a un vers diferent cada vegada. Però, si l'estudiem, veurem, a més, que per la seva forma de construcció, en una permutació més tornaria a l'ordre original. Podem descriure cada permutació com llegir les paraules-rima ordenadament sobre una espiral. La següent animació ens permet veure el model de permutació.

És l'única forma de permutació que, en un cicle de sis moviments, les sis paraules tornen a quedar com al principi? Evidentment que no. Però l'estètica d'aquesta, basada en els desplaçaments sobre una espiral, és prou interessant. Per exemple, ens podem demanar si hi ha altres nombres, a banda del 6, amb n elements i que en n permutacions completi un cicle que el deixi com al principi?

Ho estudiem?

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers, és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

• Agafem un dau
• L'anem tirant i sumant les puntuacions.
• Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)

Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.

Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer una anàlisi més exhaustiva de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret.

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als quals s'arriben són diferents.

Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del nou que, per descomptat, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6. 

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?

"Camins de glòria" i matemàtiques

 Camins de glòria és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick Paths of Glory. En castellà la vam conèixer com a Senderos de gloria. Es va estrenar l'any 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze anys després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en què es basa, escrita per Humphrey Cobb i publicada el 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluitat al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tant el film com la novel·la són dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. 

Estem en un d'aquells casos en què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura  Actualment tenim una nova traducció castellana (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la qual transcriurem els fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.

Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.

T'animes a llegir-los?

Comptem sobre un filera de daus

 Us convidem a fer el següent experiment:

• Agafeu molts daus. Per exemple, vint. El tireu tots a la taula i feu una filera, també de forma aleatòria, amb tots ells.

• Mireu els punts del primer dau i compteu fins a tants daus com indica el nombre.

• Des d'aquest nou dau repetiu la forma de comptar... i aneu fent fins que arribeu a una quantitat des de la qual ja no podeu seguir perquè no teniu tants daus com indica la darrera quantitat. Elimineu de la filera aquests daus sobrers. Si heu arribat justos no cal eliminar res.

• Ara elimineu el primer dau de tots, el que heu fet servir per iniciar el comptatge.

• Repetim la manera de comptar des del segon dau. Quina és la sorpresa? Que segurament acabareu al mateix dau que abans!

Però encara podem tenir més sorpreses. Sense anar més lluny, amb la seqüència que hem utilitzat com a exemple, podem repetir el procés de treure un dau i fer el comptatge 12 vegades més sense que canviï el dau final en què acabem. És a dir, en total haurem pogut treure 13 daus.

Si no teniu daus a mà podeu experimentar amb aquest applet.

Enllaç al programa

No sempre tindrem tanta sort. Aquí teniu una sèrie de 15 daus que al primer dau que traiem ja ens trobem amb un final diferent.

I a continuació dos exemples amb 10 daus. En un no es pot treure cap dau i a l'altre es poden treure tots.

No es pot treure cap dau

Es poden treure tots els daus

Ja tenim servida la situació. Ara toca fer-se preguntes:

• Per què moltes vegades es coincideix en un mateix final?
• Hi ha condicions que faciliten la coincidència?
• De què depèn la quantitat de daus que podré treure?

Investiguem?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: per descomptat, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor a l'autor Walter Penney que el va publicar l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant, jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:

• Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix a passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.

• La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?

Mirem com podem portar el problema a l'aula?

Paguem... però amb poques monedes

Aquest problema apareix al llibre Mathématiques pour le plaisir de Jean-Paul Delahaye. Concretament al capítol titulat Quelles pièces pour faire l'appoint? Es tracta d'un problema sobre el nostre sistema monetari del qual farem una reducció de monedes en el seu plantejament inicial. Així serà més apte per a les aules. També ens farem algunes preguntes que no apareixen a l'article (així com deixarem de banda moltes altres que sí que hi són).

El primer que volem mirar és com, amb el conjunt de monedes (1, 2, 5, 10), podem fer pagaments d'1 a 19 cèntims amb el mínim de monedes per a cada cas. Per exemple, pel de 7 cèntims només contemplem el cas 2-5 (dues monedes) i deixem de banda qualsevol altra possibilitat (1-2-2-2, 1-1-5, 1-1-1-2-2, etc.). Hem triat com a límit 19 cèntims per posar el topall en algun lloc. El criteri aplicat per triar-lo és: "un abans que la següent moneda que trobaríem", en aquest cas 20 cèntims.

Obtenim una taula com la següent.

Aquesta pot ser una bona pràctica productiva de sumes. Però només que ens fem una pregunta nova, encendrem el ble de tota una sèrie de qüestions noves. La pregunta és: quina és la mitjana de monedes per fer els pagaments? No és difícil de calcular. Només cal sumar les monedes emprades i dividir pels 19 casos:

Podem fer un gràfic on veiem com varia la quantitat de monedes per a cada pagament i com va evolucionant la mitjana.

Es pot millorar aquesta mitjana? Com? Què passa amb monedes més grans?

T'animes a seguir?

El joc de l'Oca i les probabilitats

Hi ha moltes teories sobre l'origen del joc de l'Oca. Fins i tot algunes de molt esotèriques que el relacionen amb el Camí de Sant Jaume. No entrarem, per descomptat, en aquest tema. Sí que sabem que Francesc de Mèdici li'n va regalar un a Felip II i que, d'aquesta manera, va entrar a la cort espanyola i, de mica en mica, a la resta de corts europees. També sabem que hi ha moltes versions que il·lustren fets històrics o narracions diverses. I a les escoles hem fet un munt de versions relacionades amb la didàctica. Aquí parlarem del joc de l'Oca més tradicional, que ha arribat a nosaltres i que consta de 63 caselles amb les seves oques, ponts, daus, laberint... Gran part del seu èxit segurament és degut al fet que és un joc que depèn absolutament de l'atzar. No s'ha de prendre cap decisió. El parxís, per exemple, és més complex perquè no ens limitem a tirar els daus i comptar, ja que hem de triar amb quina fitxa ho fem. Aquí no. Anem on ens porta la sort. No hem de pensar.

Amb els alumnes més petits podem utilitzar el joc a l'aula per exercitar la suma, per exemple fent anticipar a quina casella es caurà, un cop tirat el dau, abans de fer el moviment. També jugant amb dos daus. Quan són una mica més grans ens podem fer altres tipus de preguntes. Per exemple:

• Podem estimar quina longitud tindria el tauler si "estirem" el recorregut posant-lo recte? El doble de l'amplada? El triple?...
• Pot existir una partida infinita en què no s'arribi mai al final?
• Es pot arribar amb una sola jugada fins al final? (considerarem part d'una mateixa jugada quan tenim opció a tornar a tirar el dau, com quan es cau a una oca).
• Si és així quin és el mínim de vegades que haurem de tirar el dau?
• Quin patró segueix la distribució de les oques?

Però a secundària ens poden sorgir preguntes noves:

• Quina és la duració mitjana d'una partida?
• Fins a quines caselles i amb quina probabilitat puc arribar en una sola jugada? I en dues? I en tres?...
• Totes les caselles es "visiten" igual, o hi ha unes caselles per les quals passem més que altres?

En aquest article ens centrarem en aquestes darreres preguntes, que no són tan fàcils de contestar com sembla. Us convidem que, abans de continuar llegint, estimeu unes primeres respostes provisionals.

Per entrar en el tema, però, començarem per una versió de l'oca ben reduïda: un tauler de 10 caselles. Es comença el joc a la casella zero. La 3 i la 6 serien oques. Si es cau a la 6 s'arriba directament al final. La 8 porta al principi de nou.

Continuem?

Altres daus no transitius

Titular un article Altres daus no transitius dona per suposat que ja es coneixen "uns" daus intransitius. Fa uns anys en vam parlar a l'antic web del Calaix en una activitat que es deia Tirem els daus. Si no hi voleu tornar, tot i que allà trobareu applets per interactuar, en farem cinc cèntims abans.

El joc de Pedra-Paper-Tisores no és transitiu. Forma un cicle on sempre, enfrontades una a una, un de les opcions guanya a una altra: pedra a tisores, tisores a paper i paper a pedra. Comparem ara, però aquests tres daus de l'esquema:

És evident que el dau A guanyarà sempre al B. Direm que és més "fort". El B també és més fort que el C. I si comparem el C i l'A veurem que A també és més fort. Ho podríem resumir dient que A és el dau més fort del grup. S'acompleix la propietat transitiva: A>B, B>C i, per tant, A>C. Aquesta propietat la tenim molt integrada en els nostres cervells encara que no sapiguem el nom. Es produeix en moltes situacions ordenades. Però hi ha altres conjunts de daus que no tenen el mateix comportament. Mirem, per exemple, aquest grup de daus:

Ara un dau el considerarem "més fort" si guanya més vegades a l'altre. Un quadre d'enfrontaments ens donarà alguna sorpresa.

Ens trobem que A guanya a B en els 2/3 dels casos, B guanya a C en la mateixa proporció, C guanya a D els 2/3 de les vegades i... D guanya a A també en 2 de cada tres casos! No hi ha transitivitat.

Aquest conjunt de daus els va popularitzar, per descomptat, Martin Gardner l'any 1970. Els podem trobar al llibre Ruedas, vida y otra diversiones matemáticas. L'inventor dels daus va ser l'estadístic estatunidenc Bradley Efron.

Però es poden reduir la quantitat de daus? Podem fer que no hi hagi repeticions de nombres? Què succeirà si els tirem a la vegada? I si comparem enfrontaments dau a dau amb enfrontaments comptant la suma de dos daus?

A continuació li donarem algunes voltes a aquestes idees per anar més enllà dels daus d'Efron. Ens basarem en el capítol Les dés affreux d'Efron del llibre de Jean-Paul Delahaye titulat Les mathématiciens se plient au jeu.

T'animes a continuar?

Experimentem els sorteigs "per lletra"

Fa molt poc Clara Grima publicava a l'ABC Ciència l'article "El sorteo por apellidos: la gran injusticia de la administración". La raó de la seva publicació va ser que la Junta de Castella-Lleó utilitzava, un cop més, aquest tipus de sorteig per dirimir els empats a l'hora d'adjudicar places escolars. Tothom ha sentit parlar d'aquest tipus de sorteig i, possiblement, l'hem patit, ja que fa uns anys eren més freqüents i a Catalunya també s'havia fet servir per adjudicar places escolars. L'article toca més temes, però en concret la injustícia matemàtica del sistema, està molt ben explicada i exemplificada. En tot cas és un exercici interessant aplicar-ho a la teva "realitat" perquè amb exemples reals i coneguts tot es veu i es viu d'una manera diferent. I, vet aquí, que tenim una magnífica situació per experimentar a l'aula amb la mateixa llista de la classe. A més, relativament fàcil de fer, perquè un cop entès el sistema d'anàlisis només cal que cada alumne faci l'estudi del seu cas i després només caldrà reunir les dades de tot el grup per comparar-les.

Un sorteig per lletra simple,  per adjudicar n places, funciona de la manera següent:

• s'ordenen els candidats alfabèticament
• s'extreu una lletra d'una urna
• se cerca a la llista el primer nom que trobem a partir de la lletra que ha sortit.
• s'adjudiquen les n places començant per aquesta

D'on prové la injustícia? Mirem-ho amb un exemple. L'estudi està fet amb els cognoms dels meus companys de feina que he reconvertit convenientment en noms de municipis de Catalunya. Ja us podeu imaginar qui és en realitat Jafre. La prova la farem adjudicant quatre places.

Cabrils, Calafell, Falset, Fígols, Figueres, Flix, Guissona, Gurb, Jafre, Linyola, Lladurs, Manresa, Martorell, Mollerussa, Montblanc, Mura, Peralada, Rellinars, Reus, Terrassa.

Mirem alguns casos:

• si surt la P els "afortunats" seran Peralada, Rellinars, Reus i Terrassa
• si surt la R seran Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils, perquè es torna a començar pel principi de la llista.
• si surt la Q tornen a ser els mateixos que abans (Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils) perquè amb la Q no tenim cap poble i, per tant, passa a la R.

Ho comencem a veure? Ens pot "tocar" amb més d'una lletra, però cal mirar amb quines lletres ens toca i això depèn de la llista concreta: quines lletres no hi són, quants pobles hi ha a cada lletra. Si fem un estudi observarem que, per quatre adjudicacions, Falset té un 50% de possibilitats que li toqui i a Mura no li tocaria mai. El gràfic mostra clarament que les probabilitats no estan gens equilibrades.

Ho estudiem amb més atenció?

Si et despistes ets perd un gol (un model estocàstic)

Una de les lectures matemàtiques sorprenents d'aquest 2016 ha estat el llibre de David Sumpter Fútbol y matemáticas (Ed. Ariel). L'autor és un matemàtic anglès que treballa a la Universitat d'Upsala i que dirigeix un grup d'investigació sobre comportament col·lectiu. El que fa interessant el llibre és que s'allunya dels tòpics matemàtico-futbolístics habituals (que també toca, però per sobre) i ens proposa diferents models matemàtics per analitzar altres aspectes com la distribució dels jugadors en el camp, l'estudi dels seus moviments individuals i col·lectius, etc. I, en molts casos, comparant-los amb altres models similars aplicats a la biologia. És difícil adaptar les idees que sorgeixen a l'aula perquè, en molts casos, requereixen l'ús i tractament d'una quantitat ingent de dades. Així i tot, algunes sí que poden tenir adaptació com l'anàlisi dels moviments en un petit rondo o el procés d'inici i final d'uns aplaudiments. L'activitat que proposarem a continuació apareix en el primer capítol del llibre "Nunca he predicho nada y nunca lo haré", un divertit i paradoxal títol que té l'origen en una declaració del jugador Paul Gascoigne l'any 1996.

En aquest capítol Sumpter ens diu. "El que fa que el futbol i altres esports d'equip siguin apassionants és la seva impredictibilitat. Si estàs mirant un partit i apartes la vista durant uns pocs segons, et pots perdre una jugada important i un gol inesperat". Com a especialista en models matemàtics ens en proposa un que relaciona clarament estadística i probabilitat.

El vols conèixer?

L'atzar té patrons?

El pròxim 30 de novembre estem convidats per l'ICFO (Institu de Ciències Fotòniques) a participar en un experiment quàntic: el Big Bell Test. Per col·laborar només ens demanen que enviem una seqüència aleatòria de 100 bits d'uns i zeros i, a partir de les 30 000 seqüències que necessiten, es faran els experiments. Aquestes seqüències les podem escriure directament o introduir-les mitjançant un joc interactiu que ens va orientant sobre si hem estat "prou aleatoris" o no. Podeu obtenir més informació sobre l'experiment en aquest enllaç: The Big Bell Test (còmic explicatiu, joc, etc...). 

En tot cas, anem a la part matemàtica: què significa "prou aleatori"? Imaginem per un moment que hem encarregat una feina a l'aula: tirar una moneda 20 vegades seguides i que ens anotin els resultats. Continuem imaginant i suposem que, entre d'altres, hem rebut aquestes quatre respostes:

Sèrie A

CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX

Sèrie B

XCXCXCXCXCXCXCXCXCXC

Sèrie C
CCXCXCXCCXCXXCXCXCCXX

Sèrie D
CXCCCXCXXCCCCXCXCCXC

Hi ha dues sèries clarament sospitoses d'haver estat inventades: l'A i la B. Per què? Perquè tenen un patró que sembla poc atzarós. Totes dues tenen un 50% de cares i un 50% de creus, però que surtin primer totes les cares i després totes les creus o que facin una seqüència tan purament alternada sembla poc natural.

Les sèries C i D fan millor pinta. Així i to, ja ho diem, la sèrie C és inventada. No només perquè quadri perfectament amb 10 cares i 10 creus. Una altra cosa que la fa sospitosa és que les ratxes siguin sempre tan curtes, que no hi hagi mai tres cares seguides o tres creus. Hi ha, aproximadament un 50% de probabilitats de què fent 20 tirades seguides obtinguem, com a mínim una vegada, tres cares o tres creus seguides. I una mica menys del 20% d'obtenir una ratxa de quatre tirades iguals.

Hi ha una paradoxa aparent. Cadascuna de les sèries concretes que hem dit té la mateixa probabilitat de sortir:

Però podem veure clarament que, entre aquest milió i escaig de combinacions, només tenim dues sèries de 10 signes seguits (una de 10 cares i 10 creus i una altra de 10 creus i 10 cares) i dues més de dos signes alternats (cara-creu-cara-creu... o bé creu-cara-creu-cara...). En canvi, no és difícil pensar que, entre aquest milió, moltíssimes tindran alguna vegada tres cares o tres creus seguides.

És possible ponderar l'atzar? Podem distingir sèries "falses" de "certes"?