Sextines i nombres de Queneuau

Sovint, encara que sembli contradictori, posar restriccions estimula la creativitat. Pensem, per exemple, en els grans descobriments de la geometria grega nascuts de la restricció de l'ús exclusiu del regle i el compàs. I, en un terreny ben diferent, en la imaginació posada en cinema, escriptura o música per esquiva la fèrria censura durant l'època franquista o de la primera transició. En aquest article parlarem d'una forma de poesia, basada en un joc combinatori i que, convenientment adaptat, ens pot servir per a preparar alguna activitat a l'aula que connectin llengua i matemàtiques. Ens pot servir, per exemple, per a una proposta per a Sant Jordi. La forma de poema més convencional, dels poemes que estudiarem. és la sextina, però que podrem convertir, en tercina, cinquina... o el que ens convingui.

• La sextina

Segons moltes fonts, l'inventor de la sextina és el trobador occità del segleXII Arnaut Daniel. Aquesta forma poètica ha arribat fins als nostres dies perquè l'han adoptat altres poetes antics, com Dante, Petrarca, Camões o Fernando de Herrera, i més recents com Kipling, Ezra Pound, Gil de Biedma... A Catalunya s'hi van dedicar, especialment, Joan Brossa i Maria Mercè Marçal, que van escriure llibres sencers amb aquesta forma.

Una sextina estricta és un poema de 36 o 39 versos i, normalment, d'onze síl·labes. Els 36 primers versos s'organitzen en sis estrofes de sis versos cadascuna. Opcionalment, es pot afegir una tornada de tres versos finals (que farien els 39). L'interès matemàtic està les regles combinatòries que s'utilitzen en la seva construcció.

Mirem un exemple: La primera estrofa de la Sextina reivindicativa, de Maria Mercè Marçal ("Terra de mai" dins de "La germana, l'estrangera"), on marquem en negreta les paraules que seran la clau del poema: les "paraules-rima":

Amor, ja que m'has dit que et digui què

vull, t'ho diré ben clar: contra l'horari,

el meu desig reivindica el lleure

total, i tu i el teu desig per paga,

pujar parets d'amor pet tot ofici

i pintar de diumenge la setmana.

Aquestes paraules-rima tornen a aparèixer a la segona estrofa, però en un altre ordre:

Ja ho sé! Tot no pot ser caps de setmana
 i postes de sol. Sí, ja ho sé. I què!
 Deixa'm clamar, adolescent d'ofici,
 per la mort violenta de l'horari
 per mà d'amor. El meu desig, cap paga
 no vol, si posa duanes al lleure.

A la resta d'estrofes tornaran a repetir-se, però de forma que no cauran mai al mateix vers. Per exemple, lleure la trobem al 3r vers, a la 1a estrofa, i al 6è, a la segona. En les següents estrofes sortirà en el 1r, el 2n, el 4t i el 5è vers.

El poema es tanca amb una tornada en què les paraules-rima s'ordenen com a la primera estrofa, posant-ne dos per vers.

amor, per què ens escapça el vol l'horari,
 confina el lleure i, per ben poca paga,
 amo d'ofici, ens roba la setmana?

Podeu llegir tota la sextina, i tres més, en aquest enllaç.

L'esquema general de distribució de les paraules-rima és la següent:

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6
2a	6	1	5	2	4	3
3a	3	6	4	1	2	5
4a	5	3	2	6	1	4
5a	4	5	1	3	6	2
6a	2	4	6	5	3	1

 Podem observar un perfecte quadrat llatí, en què no es repeteix cap paraula a cap fila ni a cap columna.

Hem aplicat a les paraules-rima un mètode de permutació que fa que cada mot vagi a parar a un vers diferent cada vegada. Però, si l'estudiem, veurem, a més, que per la seva forma de construcció, en una permutació més tornaria a l'ordre original. Podem descriure cada permutació com llegir les paraules-rima ordenadament sobre una espiral. La següent animació ens permet veure el model de permutació.

És l'única forma de permutació que, en un cicle de sis moviments, les sis paraules tornen a quedar com al principi? Evidentment que no. Però l'estètica d'aquesta, basada en els desplaçaments sobre una espiral, és prou interessant. Per exemple, ens podem demanar si hi ha altres nombres, a banda del 6, amb n elements i que en n permutacions completi un cicle que el deixi com al principi?

Ho estudiem?

Cal dir que el primer que es va fer aquesta pregunta va ser l'escriptor francès Raymond Queneau, fundador del grup Oulipo. En honor seu els nombres que permeten aquest tipus de permutació es diuen nombres de Queneau.

No té gaire sentit estudiar els casos de l'1 i el 2. Per tant, començarem pel 3. També ens saltarem el 6, que ja hem analitzat. Cada línia horitzontal ens mostra en quin l'ordre en què han d'aparèixer les paraules-rima en cadascuna de les successives estrofes.

• Estudi del 3

Aquest és un "nombre de Quenau". Per tant, podrem fer un tipus de poema de tres estrofes, amb tres versos cadascuna i amb tres paraules-rima. Si féssim una permutació més obtindríem 1-2-3 de nou. Podem inventar-nos el nom d'aquesta forma poètica: "tercina".

• Estudi del 4

Fàcilment, podem veure que el quatre no ens serveix per a aquesta forma poètica. No tindrem "quartines", ja que el cicle no és de quatre, sinó de tres permutacions.

Si recordem que amb la permutació de sis obteníem un quadrat llatí, sense repeticions a files i columnes, mentre es va construint ja es pot intuir que no anem per bon camí: el tres roman invariable en el seu lloc.

• Estudi del 5

Sí que tindrem "quintines".

• Estudi del 7

A partir d'ara ho representarem amb taules. Veurem que el set no permet fet "septines". A la 5a permutació recuperem l'ordre original. També podem observar que la 5a paraula-rima no canvia mai de lloc, que la 3a i la 6a es van alternant el vers en el 3r i el 5è. També hi ha un cicle de tres nombres (1, 7 i 4) en el 1r, el 2n i el 7è vers.

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6	7
2a	7	1	6	2	5	3	4
3a	4	7	3	1	5	6	2
4a	2	4	6	7	5	3	1
5a	1	2	3	4	5	6	7
6a
7a

 

• Estudi del 8

El vuit tampoc compleix els nostres requisits. A la cinquena estrofa es repeteix la primera distribució de paraules.

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6	7	8
2a	8	1	7	2	6	3	5	4
3a	4	8	5	1	3	7	6	2
4a	2	4	6	8	7	5	3	1
5a	1	2	3	4	5	6	7	8
6a
7a
8a

•  Més nombres: la sèrie de nombres de Queneau

Si continuem l'estudi, per exemple fins a 15, descobrirem els primers nombres que formen la sèrie dels nombres de Queneau.

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14

Si la busquem a l'OEIS (L'enciclopèdia electrònica de les sèries de nombres enters) ens apareixerà com la sèrie A054639. Ens la defineix com a "Nombres de Queneau: nombres n tals que la permutació de Queneau-Daniel {1, 2, 3, ..., n} -> {n, 1, n-1, 2, n-2, 3, ...} és d'ordre n." Els primers termes són:

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 98, 99, 105, 113, 119, 131, 134, 135, 146, 155, 158, 173, 174, 179, 183, 186, 91, 91, 91, 91, 91, 91 221, 230, 231, 233, 239...

És difícil veure el patró. Si voleu saber les característiques completes d'un nombre de Queneau podeu llegir l'article de Marta Macho al Quadern de Cultura Científica. La demostració completa de les seves propietats les trobareu a l'article "Entre mathématiques et littérature: les nombres de Queneau" de Vanessa Vallet.

• Una característica necessària, però no suficient.

Hi ha una relació, no gaire difícil de descobrir, entre els nombres de Queneau i els nombres primers. Si n és un nombre de Queneau, 2n+1 serà un nombre primer. La inversa no és certa. Si 2n+1 és un nombre primer no té per què ser un nombre de Queneau. Calen algunes condicions addicionals. Mirem una taula amb els nombres de l'1 al 15.

Nombre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2n+1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29	31
Primer?	Sí	Sí	Sí	No	Sí	Sí	No	Sí	Sí	No	Sí	No	No	Sí	Sí
Queneau?	Sí	Sí	Sí	No	Sí	Sí	No	No	Sí	No	Sí	No	No	Sí	No

Observarem els casos del 8 i el 15. El doble més u de cadascun d'ells és un nombre primer (17 i 31 respectivament), però no són nombres de Queneau. Com hem dit abans, als articles esmentats aclareixen totes les característiques que han d'acomplir.

I a l'aula?

• Pot ser interessant investigar quins nombres permeten fer aquestes permutacions en espiral per a descobrir els primers nombres de la sèrie. I un cop estudiat, podem convidar a fer poemes amb alguns d'aquests nombres. Dependrà de l'edat que proposarem "tercines", "cinquines" o "sextines". I, potser, prescindint de la mètrica. Millor coordinar-se amb qui faci llengua i doni la seva opinió.
• Podem llegir algunes sextines. A banda de les de Maria Mercè Marçal i d'altres que podeu trobar per internet, són molt interessants les de Joan Brossa. Hi ha una edició, Viatge per la sextina, que conté totes les que va escriure. Amb una cerca podeu trobar algunes com "La sextina de la pau", o la "Cançó sextina" que va dedicar a la mateixa Maria Mercè Marçal. En aquest mateix blog vam dedicar una part d'un article a un joc amb les tres primeres estrofes de la "Sextina de la pau".
• Una altra possibilitat és fer "sextines visuals". El mateix Brossa en va fer una. Cal tenir sis còpies d'una imatge, retallar-la en sis bandes iguals i ordenar-les amb la permutació de la sextina. Podeu veure en la següent imatge les dues "primeres estrofes".

Enllaç a la sextina completa

• Podem investigar altres permutacions que permetin recuperar l'ordre inicial d'n elements en n passes. Hi ha una de molt senzilla

Aquest model de permutació el podem observar en la sorprenent composició Clapping music d'Steve Reich (1972). Hi ha 12 "espais sonors", vuit s'omplen amb una palmada i quatre són silencis. Dos músics interpretan aquests ritmes a la vegada. Un dels músics el repeteix durant tota la peça, sense modificacions. L'altre, cada vuit vegades, fa una permutació. Després de dotze voltes s'hi tornen a trobar. Podem observar el resultat en aquest vídeo.

Hi ha altres vídeos amb diferents versions (més musics, amb la partitura...)

• Raymond Queneau va fer molts altres experiments poètics. Un va ser el seu llibre "Cent Mille Milliards de Poèmes" (1961). És un llibre de poemes combinatori. Va escriure 10 sonets amb la mateixa estructura de rimes. Els catorze versos dels deu sonets, s'enquadernen de forma que els primers versos quedin a la mateixa altura, els segons també, etc. Finalment es retallen. D'aquesta manera podem triar el primer vers del setè sonet, combinar-lo amb el segon vers del tercer sonet, amb el tercer del cinquè, etc. D'aquesta manera tenim 10¹⁴ poemes diferents: cent bilions. A l'Institut Montserrat de Barcelona, al curs 2017 i sota la tutela, entre d'altres, del professor Pau Senra, l'alumnat va crear el seu propi exemplar. Es van pactar quatre rimes (A-"ada", B-"ó", C-"ena", D-"í") per a la construcció dels sonets (ABAB ABAB CCD CCD).

Una imatge del llibre fet a l'INS Montserrat

• Potser no cal ser tant ambiciós, però podem fer altres experiments combinatoris. En aquest mateix blog podeu trobar algunes idees a l'article "Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...)". 

Ja podeu veure les possibilitats: matemàtiques, literatura, música...