El nim del doble (2)

 A l'article anterior a aquest (El Nim "del doble" - 1) presentàvem i iniciàvem l'anàlisi d'un joc d'estratègia per a dos jugadors de tipus Nim. En aquest cas, les regles són les següents: hi ha una pila de fitxes de la que cada jugador pot agafar tantes fitxes com vulgui entre una i el doble de les que hagi agafat el jugador anterior. Qui deixa la taula neta guanya. I, a la jugada inicial es poden agafar totes les fitxes que es vulguin menys una.

Exemple de partida amb 10 fitxes inicials.
La partida es llegeix d'esquerra a dreta i guanya verd

Vam fer tots de diagrames en arbre per estudiar diferents quantitats de fitxes inicials i de conjectures equivocades. Cap al final de l'article vam veure que hi apareixien misteriosament els nombres de Fibonacci. Si la quantitat de fitxes inicial és un nombre de Fibonacci sembla que hi ha estratègia per al 2n jugador. Si no ho és el primer pot guanyar si deixa al contrari amb una quantitat de fitxes que sigui un nombre de Fibonacci. Però també vam veure que això no ho podem fer sempre sempre. Posàvem l'exemple de jugar amb 12 fitxes. Si A (el 1r jugador) agafa 4 deixa a B (el 2n jugador) amb 8, que és un nombre de Fibonacci, perdrà perquè B, que pot agafar fins al doble de la jugada anterior, pot agafar les 8 que queden i guanyar. Després vam fer l'arbre d'estudi del joc per a 12 fitxes i vam veure que la sortida guanyadora era 1 (11), que entenem com "agafar-ne una i deixar-ne 11".

Estratègia per a A per a 12 fitxes

Deixar 11 fitxes no és "deixar un nombre de Fibonacci". Per tant vam concloure que havíem d'estudiar més el problema. I és el que farem ara.

T'animes a seguir llegint?

El Nim "del doble" (1)

El jocs d'estratègia són un dels millors recursos per treballar la dimensió de resolució de problemes a l'aula. I de forma inevitable es treballen també les altres dimensions (raonament i prova, representació i comunicació i connexions). Són un dels tipus d'activitats més riques i completes. Però, tot i així, sembla que costa que entrin a l'aula com una activitat habitual. Probablement, entre les moltes raons que hi poden haver, està que sovint no semblen tenir una relació molt directa amb els continguts clàssics. També que mestres i professorat no tenim molt de costum en l'anàlisi de jocs, que tenim una certa inseguretat en l'abordatge de la seva resolució.

El "Tres en ratlla" és un exemple clàssic de joc d'estratègia

En els jocs d'estratègia, que no depenen de cap habilitat física o manipulativa especial ni de cap aspecte relacionat amb l'atzar, s'apliquen tècniques molt habituals de la resolució de problemes. Podeu veure algunes relacions en aquests quadres.

En aquest article estudiarem un joc que, en el passat C2EM, van plantejar Jordi Font i Laura Morera en la seva esplèndida conferència de cloenda. Aquest joc l'anomenarem el "Nim del doble" i és molt interessant i, fins i tot, sorprenent complex. Cal dir que també en conferència inaugural, a càrrec d'Eduardo Sáez de Cabezón, es va plantejat un altre joc de tipus Nim.

Per poder exemplificar millor el procés de l'anàlisi del joc no el mostrarem directament acabat. Anirem mostrant i comentant diferents moments d'aquest procés, fins i tot posant en evidència errades, conjectures falses, idees explorades i abandonades, descobertes de nous camins... Pensem que així, potser, es veurà millor la riquesa d'aquesta petita investigació matemàtica.

Presentem primer el joc. L'únic material necessari és un conjunt de fitxes.

Regles:

• Tenim una pila d'n fitxes. Per exemple 20.
• El primer jugador, a l'inici, pot agafar totes les fitxes que vulgui menys una (en el nostre exemple pot agafar d'una a dinou).
• El segon jugador pot agafar entre una i el doble de les que ha agafat l'anterior. Per exemple, si el primer (A) agafa 4 fitxes , el segon (B) podrà agafar-ne entre 1 i 8.
• Es continua jugant amb aquesta regla.
• Guanya qui deixa la taula neta (qui agafa l'última o últimes fitxes)

A les dues taules següents teniu l'exemple del desenvolupament de dues partides. La primera la guanya B (el 2n jugador) i la segona A (el primer jugador) .

No cal dir que, abans de continuar llegint, és millor que jugueu algunes partides i comenceu a fer les primeres hipòtesis.

Analitzem el joc?