Golígons: nombres enters i geometria

Imaginem que estem a un punt de l'Eixample barceloní i iniciem un itinerari de la següent manera:  avancem una illa, girem 90º en qualsevol direcció, avancem dues illes, girem a l'atzar 90º, avancem tres illes i girem 90º sense pensar cap a on, avancem quatre illes, girem 90º... i anem fent així, avançant cada vegada una illa més que abans i girant 90º. Si després d'un dels girs ens trobem de nou al punt de sortida haurem fet un recorregut especial que rep el nom de golígon. A la imatge tenim un exemple en el que hem començat al punt assenyalat de color verd.

Amb una explicació semblant començava l'article d'A. K Dewney de l'any 1990 titulat An odd journey along even roads leads to home in Golygon City. En aquest escrit ens presentava els golígons inventats per Lee Sallows dos anys abans, creador també dels quadrats geomàgics que vam tractar en una altra entrada anterior.

La definició de golígon que apareix en aquest article és la següent:

"Un golígon es compon de segments rectilinis que tenen longituds (mesurades en quilòmetres, metres o la unitat que preferiu) d'un, dos, tres, etc. fins a un nombre finit. Cada segment es connecta formant un angle recte amb el segment que és una unitat més gran, excepte el segment més llarg, que es troba amb el segment més curt també en un angle recte."

L'exemple que hem mostrat sobre el plànol de l'Eixample és el golígon més petit existent. Està format per 8 segments i formen un polígon còncau que, a més, tessel·la el pla.

Si provem de trobar golígons de 9, 10, 11... segments no ens en sortirem. De fet, una de les primeres coses que podem observar és que ens calen tants segments horitzontals com verticals, el que fa que el total de segments necessaris sigui parell. Però amb 12 o 14 segments tampoc en trobarem. Sí que ho aconseguirem amb 16. Hi ha 28 golígons amb aquesta quantitat de segments. No tornarem a aconseguir-ne nous fins a 24 segments amb 2108 casos. Bé... comença a ser interessant jugar-hi. Es pot demostrar (i ho farem al document que s'annexa a l'article) que la quantitat de segments totals ha de ser un múltiple de 8. I, com no?, la quantitat de solucions per a 8, 16, 24, 32... segments la trobem a l'OEIS amb el codi A007219.

Explorar els golígons es pot relacionar amb el càlcul d'enters. Anem-hi pas a pas. Podem fer algunes observacions en un golígon de 16 segments i que serveixen per a tots els golígons en general.

• Els costats amb longitud senar són tots verticals
• Els costats amb longitud parell són tots horitzontals,

Si caminéssim per la línia poligonal començant des de l'1 pujaríem, amb el 2 aniríem cap a la dreta, amb el 3 tornaríem a pujar... amb el 5 baixaríem... amb el 10 cap a l'esquerra... Fixar-nos en la orientació dels segments ens permet fer noves observacions:

• La suma de les longituds dels segments que pugen és igual a la suma de les longituds dels que baixen.
• La suma de les longituds dels segments que van cap a la dreta és igual a la suma de les longituds dels que van cap a l'esquerra.

No és difícil argumentar la raó: perquè si no l'itinerari no es tancaria. Però això ho podem formular d'una altra manera, amb nombres enters, considerant les pujades i l'anar cap a la dreta com a "positiu" i el baixar i anar cap a l'esquerra com a "negatiu". El nostre golígon anterior els podríem descriure de la següent manera, tot recordant que els senars són segments verticals i els parells horitzontals, :

+1 +2 +3 +4 -5 +6 -7 +8 -9 -10 -11 -12 +13 -14 +15 +16

Lògicament la suma de tots els valors és zero. Però, adaptant als enters el segon parell d'observacions fetes abans, també podrem dir que la suma de les longituds dels segments verticals (els senars) és zero i que la suma de la dels horitzontals (els parells) també és  zero. Si ens agrada més expressar-ho amb fórmules podem escriure que per a un golígon de n segments s'acompleix que:

Ja ha aparegut un lligam amb el càlcul d'enters que ens comença a obrir camins per investigar a l'aula. Però els golígons donen per més: tots formen polígons? Si no és així, es pot saber d'antuvi? Quants n'hi ha per a una quantitat determinada de segments? Es poden dibuixar tots d'un sol traç sense sobreescriure línies?

T'animes a continuar?

Altres daus no transitius

Titular un article Altres daus no transitius dona per suposat que ja es coneixen "uns" daus intransitius. Fa uns anys en vam parlar a l'antic web del Calaix en una activitat que es deia Tirem els daus. Si no hi voleu tornar, tot i que allà trobareu applets per interactuar, en farem cinc cèntims abans.

El joc de Pedra-Paper-Tisores no és transitiu. Forma un cicle on sempre, enfrontades una a una, un de les opcions guanya a una altra: pedra a tisores, tisores a paper i paper a pedra. Comparem ara, però aquest tres daus de l'esquema:

És evident que el dau A guanyarà sempre al B. Direm que és més "fort". El B també és més fort que el C. I si comparem el C i l'A veurem que A també és més fort. Ho podríem resumir dient que A és el dau més fort del grup. S'acompleix la propietat transitiva: A>B, B>C i, per tant, A>C. Aquesta propietat la tenim molt integrada en els nostres cervells encara que no sapiguem el nom. Es produeix en moltes situacions ordenades. Però hi ha altres conjunts de daus que no tenen el mateix comportament. Mirem, per exemple, aquest grup de daus:

Ara un dau el considerarem "més fort" si guanya més vegades a l'altre. Un quadre d'enfrontaments ens donarà alguna sorpresa.

Ens trobem que A guanya a B en els 2/3 dels casos, B guanya a C en la mateixa proporció, C guanya a D els 2/3 de les vegades i... D guanya a A també en 2 de cada tres casos! No hi ha transitivitat.

Aquest conjunt de daus els va popularitzar, com no, Martin Gardner al 1970. Els podem trobar al llibre Ruedas, vida y otra diversiones matemáticas. L'inventor dels daus va ser l'estadístic estatunidenc Bradley Efron.

Però es poden reduir la quantitat de daus? Podem fer que no hagi repeticions de nombres? Què succeirà si els tirem a la vegada? I si comparem enfrontaments dau a dau amb enfrontaments comptant la suma de dos daus?

A continuació li donarem algunes voltes a aquestes idees per anar més enllà dels daus d'Efron. Ens basarem en el capítol Les dés affreux d'Efron del llibre de Jean-Paul Delahaye titulat Les mathématiciens se plient au jeu.

T'animes a continuar?

Els "sona": contes, geometria i nombres (1)

Al llibre Una historia de la proporción de Manuel García Piqueras (Nivola, 2013) fa un apunt sobre uns dibuixos que alguns "contacontes" africans fan al terra tot acompanyant la seva narració. El mateix autor els ha utilitzat en una altra obra més recent de caire narratiu: La supersobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016). Però en cap d'aquestes obres entra en profunditat en el seu anàlisi matemàtic. El podem, però, trobar en un article seu en el n. 78 de la revista Suma: Un atardecer en África y América o en les actes de les 15 JAEM de Cartagena on va fer un taller conjuntament amb A. Bueno i J.L. Muñoz: Sona: una herramienta didáctica para primaria y secundaria. Per tant, ja podeu endevinar que només faré que reexplicar els seus materials. El cas és que darrera dels sona hi ha una interessant problema matemàtic.

Però millor que comencem sentint conte i veient un d'aquests dibuixos, realitzats pel propi Manuel G. Piqueras.

El perro y el cazador

Si observem el dibuix final del conte i fem alguna petita deformació geomètrica trobarem que és una figura que es pot fer d'un sol traç envoltant els punts d'un rectangle de 4x3. Aquest tipus de dibuixos es diuen sona, en plural, i lusona en singular.

Lusona del conte

Dibuixat amb segments rectilinis

Eliminant "deconnexions"

Si ens hem fixat en el vídeo la línia continua del lusona comença en un punt extern al rectangle de punts, avança amb un angle de 45º fins a un altre punt extern on "rebota" i continua avançant amb un angle de 45º però en una altra direcció. Potser per explicar i estudiar el dibuix del lusona convé fer una mica "de neteja" en la quadrícula i afegir alguns punts exteriors que ens ajudin a fer el dibuix.

Afegim els punts on la línia "rebota"

Eliminem els punts interiors

Podem veure ara una animació on es visualitza com sortint d'un punt i rebotant a les parets del rectangle que emmarca es pot dibuixar el lusona.

Investiguem sones sobre diferents rectangles?

Adoctrinament? Asèpsia?

En el capítol titulat Laicismo y biblioteca de La escuela moderna, on es recopilen diferents textos de Francesc Ferrer i Guàrdia, llegim com el seu autor obria un concurs per editar nous llibres d'aritmètica més acords amb les seves idees sobre pedagogia. Concretament deia:

"…la Escuela Moderna desea un conjunto de problemas por el cual la aritmética resulte lo que debe ser en realidad: la ciencia de la economía social, tomando la palabra economía en su sentido etimológico de buena distribución."

Al 1905 es publicaven, fruit d'aquest concurs, dos volums d'Elementos de aritmética. El de "principiants" recollia texts de Condorcet, Paraf-Javal i exercicis d'Henry Vogt, Podem veure dos exemples de problemes d'aquest llibre:

És probable que aquests problemes ens facin somriure. En podem trobar semblants també a La aritmética del obrero de José Sánchez Rosa.

En un altre extrem trobem, en canvi, alguns problemes que ens posen els pèls de punta. Aquest exemple de la pel·lícula de Roberto Benigni La vida és bella (1997) pot ser una mostra.

Podem pensar que és ficció. Però al llibre Expediciones matemáticas de Frank J. Swetz es cita un llibre de text alemany del 1941 on, després d'informar que "diàriament l'estat gasta 6RM en un tolit; 4,5 RM en un malalt mental; 5,5 RM en una persona sordmuda, 10,6 RM en una persona retrassada mental; 3,5 en un alcohòlic; 8,8 en un pupil a una casa, 2,1 en un pupil a una escola especial i 0,45 en un pupil a una escola normal" demana qüestions com aquesta:

"Calcula la despesa de l'Estat en un pupil a una escola especial i en un pupil a una escola normal al llarg de 8 anys i exposa el sobrecost generat per un pupil en una escola especial."

És evident que l'adoctrinament no és una de les funcions de l'escola. Tot al contrari. Hem de lluitar contra ell. Però, no negarem que darrerament hi ha discussió sobre aquest tema i que molts autoqualificats "antidoctrinaris" són els que realment volen imposar les seves doctrines. Mirem, si no, les polèmiques sobre els currículums d'història. Els de matemàtiques, en canvi, no solen ser motiu de guerra política. Sembla que són massa abstractes, o bé, suficientment abstractes. Entre altres aspectes podem observar que els problemes dels llibres de text, i molts dels que proposem a l'aula, solen tenir un aire asèptic, gens impregnats d'aspectes ideològics. Sempre s'utilitzen contextos nets i polits. Però la pregunta que se'm genera és si això és bo. I la resposta que em surt és que no ho és gens. Perquè deixar de banda la societat i els seus problemes no és gens asèptic. Al contrari, és una altra forma d'adoctrinament. Si constantment diem que les matemàtiques ens ajuden a entendre el món, no hem de fer entrar tots els aspectes d'aquest món a l'aula? Com podem preparar ciutadans crítics si no donem oportunitat a aplicar aquesta crítica a l'entorn social i polític proper?

Experimentem els sorteigs "per lletra"

Fa molt poc Clara Grima publicava a l'ABC Ciència l'article "El sorteo por apellidos: la gran injusticia de la administración". La raó de la seva publicació va ser que la Junta de Castella-Lleó utilitzava, un cop més, aquest tipus de sorteig per dirimir els empats a l'hora d'adjudicar places escolars. Tothom hem sentit parlar d'aquest tipus de sorteig i, possiblement, l'hem patit, ja que fa uns anys eren més freqüents i a Catalunya també s'havia fet servir per adjudicar places escolars. L'article toca més temes, però en concret la injustícia matemàtica del sistema, està molt ben explicada i exemplificada. En tot cas és un exercici interessant aplicar-ho a la teva "realitat" perquè amb exemples reals i coneguts tot es veu i es viu d'una manera diferent. I, vet aquí, que tenim una magnífica situació per experimentar a l'aula amb la pròpia llista de la classe. A més, relativament fàcil de fer, perquè un cop entès el sistema d'anàlisis només cal que cada alumne faci l'estudi del seu cas i després només caldrà reunir les dades de tot el grup per comparar-les.

Un sorteig per lletra simple,  per adjudicar n places, funciona de la manera següent:

• s'ordenen els candidats alfabèticament
• s'extreu una lletra d'una urna
• es cerca a la llista el primer nom que trobem a partir de la lletra que ha sortit.
• s'adjudiquen les n places començant per aquesta

D'on prové la injustícia? Mirem-ho amb un exemple. L'estudi està fet amb els cognoms dels meus companys de feina que he reconvertit convenientment en noms de municipis de Catalunya. Ja us podeu imaginar qui és en realitat Jafre. La prova la farem adjudicant quatre places.

Cabrils, Calafell, Falset, Fígols, Figueres, Flix, Guissona, Gurb, Jafre, Linyola, Lladurs, Manresa, Martorell, Mollerussa, Montblanc, Mura, Peralada, Rellinars, Reus, Terrassa

Mirem alguns casos:

• si surt la P els "afortunats" seran Peralada, Rellinars, Reus i Terrassa
• si surt la R seran Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils, perquè es torna a començar pel principi de la llista.
• si surt la Q tornen a ser els mateixos que abans (Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils) perquè amb la Q no tenim cap poble i, per tant, passa a la R.

Ho comencem a veure? Ens pot "tocar" amb més d'una lletra però cal mirar amb quines lletres ens toca i això depen de la llista concreta: quines lletres no hi són, quants pobles hi ha a cada lletra. Si fem un estudi observarem que, per quatre adjudicacions, Falset té un 50% de possibilitats de que li toqui i a Mura no li tocaria mai. El gràfic mostra clarament que les probabilitats no estan gens equilibrades.

Ho estudiem amb més atenció?

Una qüestió d'intercanvis

Aquest problema l'he conegut per Abel Hernández, alumne de Didàctica de les matemàtiques de Sergi Muria (@smuria)  i Jordi Font (@jfontgon) a la UB. És prou interessant com per dedicar-li un temps d'estudi. Com en molts problemes no interessen tant els casos particulars com la generalització. Però... com arribar a ella sense els casos particulars? Per altra banda, és un problema molt bonic per treballar-lo a l'aula reproduint-lo amb els propis alumnes.

Imaginem la situació següent: tenim una certa quantitat de persones, cadascuna amb un objecte personal. Les posem en fila, una al costat de l'altra. Cada persona pot fer dues coses: quedar-se amb l'objecte que té o intercanviar-lo amb una de les persones que tingui al costat. Aquest procés només es fa una vegada. El problema és esbrinar quantes distribucions d'objectes diferents podem obtenir després de fer-ho. En el següent vídeo podem veure quantes en podem obtenir amb tres participants.

Amb tres persones no és difícil d'analitzar. Si el segon no vol fer cap intercanvi cadascun es quedarà amb el seu objecte (el 1r i el 3r no se'l poden intercanviar). Si el 1r i el 2n se l'intercanvien el 3r es quedarà mirant. I si fan l'intercanvi el 2n i el 3r serà el 1r el que es quedarà amb el seu objecte. Hi ha tres casos.

Però i si són quatre persones? I si són cinc?

Investiguem?

Un joc d'estratègia amb aire diofàntic

A la 53a Olimpiada Matemática Española, celebrada al mes de març de 2017, es va proposar el següent problema que convida a analitzar un joc. El més interessant és que, canviant els nombres, es pot jugar des de l'educació primària. Però la cerca d'una estratègia també comporta un bon treball matemàtic. La imatge del full de l'enunciat me la va enviar l'amic i especialista en jocs Jordi Deulofeu.

El joc es planteja sobre un tauler però poder fer un equivalent numèric ràpidament:

"Cada jugador pot sumar 53 o restar 2 alternativament. Es comença des de zero i guanya qui arriba exactament a 2017. No es pot sobrepassar en cap moment el 2017 ni es pot baixar de zero."

Com que no som "olímpics" treballarem el joc "a pic i pala". És interessant perquè en el seu estudi es poden veure dues fases ben diferents i, en una d'elles, la representació visual que fem ens pot ser de gran ajuda ja que ens permetrà fer analogies no numèriques per a la cerca de l'estratègia.

Reduïm el joc i fem les primeres passes

És molt habitual en l'anàlisi de jocs fer variacions que simplifiquin el problema i així poder facilitar els descobriments. Per exemple podem jugar amb +7 i -2 i que el límit sigui 23. Fins i tot per estudiar-lo a l'aula seria molt millor presentar inicalment una versió reduïda i més accessible. Abans de seguir llegint et proposem que analitzis el joc. I si ara no en tens ganes de fer-ho... continua la lectura.

Amb aquests nous nombres, quina quantitat anterior a 23 m'assegura guanyar? La resposta no és massa difícil: 18. Si al contrari li deixo 18 no pot sumar 7, perquè es passaria de 23, per tant està obligat a restar 2 deixant 16. Ara només em caldrà sumar 7 per arribar a 23. Molt bé, però quina quantitat anterior m'assegura arribar al 18 guanyador. Aplicant un raonament regressiu (molt habitual també en l'anàlisi de jocs) veurem que també seran 5 abans del 18: el 13. Si suma 7 podré restar 2 i deixar el total en 18 (13+7-2=18). Si en resta 2 podré sumar 7 i tornar a deixar en 18 (13-2+7=18). Fent aquest raonament regressiu veiem que els nombres guanyadors són:

18 - 13 - 8 - 3

A partir de qualsevol d'aquests nombres només cal fer "el contrari" que l'altre jugador: si suma 7 restarem 2, i si en resta 2 sumarem 7. Hi ha un nombre clau amagat que marquen les solucions: van de cinc en cinc. El cinc s'obté dels nombres del joc 7-2. El 3 que inicia la sèrie tampoc és difícil de calcular: és el residu de dividir 23 entre 5.

Com aconseguir un nombre guanyador?

El problema ara és com aconseguir una d'aquestes quantitats. Una possibilitat és fer un diagrama en arbre de les possibles jugades i "netejar-lo" després per deixar només l'estratègia guanyadora. Fent-ho veurem que amb aquests nombres pot guanyar sempre el primer jugador (A) ja que pot assegurar-se arribar a 3 o a 13 i, a partir d'aquí, aplicar el que hem vist: fer la jugada contrària a l'altre. Les línies vermelles indica que són jugades obligades.

Tornem al joc original

Apliquem el nostre anàlisi al problema original (-2, +53,  de 0 a 2017). El "nombre clau" serà 51 (53-2). El primer nombre guanyador serà 28 (el residu de dividir 2017 entre 51). Aquest nombre ens permet obtenir la resta de la sèrie de nombres guanyadors: 28 - 79 - 130 - 181.... 1915 - 1966. El primer dels jugadors que assoleixi una d'aquestes quantitats (de la forma 51n+28) podrà guanyar la partida. Però quin dels dos la pot aconseguir primer? Com? No sembla que el diagrama en arbre ens pugui ajudar gaire ara. Haurem de canviar l'enfocament.

T'animes a seguir?

Dècimes i centèsimes de Violeta Parra

Hi ha formes poètiques que segueixen patrons específics. Una de les més estudiades des de les matemàtiques són les sextines, una forma d'origen medieval a la qual també es va acollir Joan Brossa en la seva "Sextina de la pau". Podeu descobrir les relacions de la sextina amb les matemàtiques en diferents articles, entre ells el de Josep Bargalló La sextina, mètrica i matemàtica: d’Arnaut Daniel a Joan Brossa o en el de Marta Macho Oulipo. Juegos matemáticos en la literatura.

Una forma més humil i popular és la dècima que, com indica el nom, té deu versos. Aquests són octosíl·labs i amb el següent patró de rima: a-b-b-a-a-c-c-d-d-c. També se l'anomena espinela, pel seu creador Vicente Espinel (segle XVI).

És coneguda la facilitat versificadora de la polifacètica cantautora xilena Violeta Parra (1917-1967). Seves són cançons tan inovidables com Gracias a la vida, Volver a los diecisiete, Mazúrquica modérnica i un llarg etcètera. També va enregistrar, recitades, moltes dècimes. Fins i tot existeix un llibre que les recull: Décimas. Autobiografia en verso en el que diu:

Si escribo esta poesía no es solo por darme gusto, más bien por meterle susto al mal con alevosía; quiero marcar la partida, por eso prendo centellas; que me ayuden las estrellas con su inmensa claridad pa’ publicar la verdad que anda a la sombra en la tierra

Però hi ha una història amb unes dècimes molt especials que l'uniexen, ni que sigui tangencialment, amb les matemàtiques. I de la que no devia estar molt lluny el seu germà, poeta i matemàtic, Nicanor Parra.

La primera part de la història va ser l'enregistrament d'una cançó, 21 son los dolores, amb una lletra de quatre estrofes en forma de dècima. En cadascun dels quaranta versos va comptant des de l'u al quaranta, un nombre per vers: "Una vez que me asediaste, dos juramentos me hiciste, tres lagrimones vertiste, cuatro gemidos sacaste..."

Però la potència versificadora de Violeta Parra era molt superior i es va posar un repte a sí mateixa: arribar fins els 300... o més.

Vols saber-ne més?

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.

Cas general del Tangram de Brügner

 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segment en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.

Tangram mínim especial

De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:

• Quants polígons convexes es poden fer?
• Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en que queda dividida la diagonal del rectangle?
• I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
• En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?

Ho mirem?

El Tangram mínim de Brügner (1)

Existeixen infinitats de tangrams cadascun amb els seus interessos particulars. Entre ells un dels que pot donar molt de joc a les aules és el Tangram mínim o Tri-triangular inventat a l'any 1984 pel matemàtic Georg Brügner. És un tangram format per només tres peces que són triangles rectangles semblants i, en la seva versió general, molt fàcil de construir. Dedicarem un proper article a una versió particular del tangram amb unes mesures concretes. El seu interès no rau només en la poca quantitat de peces i en la seva similitud. Amb amb totes les peces del tangram xinès clàssic es poden construir només 13 polígons convexos, mentre que amb les tres úniques peces del Tri-triangular n'obtenim una quantitat que se li acosta molt.

 

Els 13 polígons convexos del tangram xinès

En primer lloc mirem com és aquest tangram

Com es pot observar només cal traçar la diagonal d'un rectangle i la perpendicular que la uneix a un dels altres vèrtexs.

Les mides del rectangle no influeixen, excepte en dos casos particulars. Ja hem dit que un d'ells serà objecte d'un altre article. Així podem partir d'un rectangle més allargat sense que variï la investigació que proposarem.

La pregunta és: quants polígons convexos es poden fer amb el tangram mínim?

Si els vols veure hauràs de continuar llegint.