Vigilants a l'Eixample (o els policies miops)

Aquest problema apareix al quart llibre de la sèrie Investigando las matemáticas (R. Fisher i A. Vince) que l'editorial Akal va publicar al 1990. També es va plantejar a la fase final del Fem Matemàtiques 2011. És una bona investigació sobre recerca de regularitats i generalització.

La situació és la següent: tenim un conjunt d'illes iguals de cases, posem-ne com les de l'Eixample de Barcelona. En la situació d'exemple tenim un rectangle de 4x7 illes. Si col·loquem un vigilant a una cruïlla només pot observar els carrers que s'hi troben a la cruïlla i el seu abast visual és de la longitud d'una illa, és a dir, fins a la cruïlla següent (a l'Eixample serien 100 m). Quin és el nombre mínim de vigilants que calen per controlar tots els carrers?

Pots practicar amb aquest applet enllaçat clicant sobre els botons que hi ha a les cruïlles.

Enllaç a l'applet (flash)

Si observes la solució mínima (que imaginem que hauràs obtingut sense dificultats especials o, si més no després de no masses proves) veuràs que la distribució dels vigilants segueix un patró força regular. La investigació que proposem és justament aquesta: es pot saber la quantitat mínima de vigilants, sense distribuir-los, coneixent quantes illes té cada costat del rectangle.

T'animes a investigar?

Amebes patronals

Sovint a les aules, tant a educació infantil, com a primària i secundària, treballem amb patrons, ja sigui demanant que se segueixi  a partir d'unes instruccions clares o bé fent cercar la llei que genera la sèrie. Encara que hi ha molts patrons numèrics la majoria de vegades els acostumem a proposar de forma visual. Fora bo que també ho féssim més sovint amb materials manipulatius. Els patrons que presentem poden ser de repetició o de creixement.

Exemples de patrons freqüents d'educació infantil

Un tipus de patró, no tan habitual, són els que presentem avui: patrons de moviment. Al seu llibre Aún más actividades matemáticas Brian Bolt els anomena "formes ameboides". La idea és presentar una sèrie d'imatges successives i es demanen diverses coses:

• quines seran les imatges següents
• descriure la llei
• esbrinar si la sèrie farà un cicle tornant en algun moment a la primera posició i, en aquest cas, quant es trigarà.

Veiem un exemple:

Per endevinar el patró haurem de fixar-nos en el que es manté entre cada dibuix, en el que varia i en com varia.

En aquest cas la solució seria aquesta:

Potser o veiem més clar si ho mostrem en moviment i pintant de gris les caselles fixes.

Continuem?

Les tires dels tiris: tancant àrees màximes

"Esglaiada per tot, Dido preparava la seva fugida i la dels seus companys. Se li uniren tots aquells que sentien pel tirà un cruel avorriment o un temor agut. S'emparen d'uns vaixells que casualment estaven quiets i els estiben d'or. Són confiades al mar les riqueses que Pigmalió cobejava: una dona capitaneja l'empresa. Arribaren en aquest país, on ara veuràs sorgir unes enormes muralles i la nova ciutadella de Cartago, un cop adquirit un solar, que d'aquest fet es digué Birsa, tot el que hom podia envoltar amb la pell d'un toro." 

L'Eneida (I-359)

 Amb aquestes paraules el poeta Virgili ens explica, de forma breu, la fugida de la princesa fenícia Dido de la ciutat de Tir acompanyada d'alguns fidels. Arribats a la costa nord d'Àfrica, prop de l'actual Tunísia, va aconseguir que el jerarca local Jarbas li cedís tot el terreny que pogués abastar amb la pell d'un brau. La idea de Dido, segons la llegenda, va ser fer tallar la pell en tires molt primes (que els tiris facin la tira de tires ha de ser de lo més natural) i lligar-les formant una gran corda. El problema ve ara: quina forma ha de tenir la figura tancada amb la corda per obtenir la màxima àrea?

De vegades tendim a pensar que figures amb un mateix perímetre tindran la mateixa àrea. Però una figura com la que es veu a continuació ens mostra que no és així.

Cercar la figura que amb un mateix perímetre tanca una àrea màxima és una bona investigació per realitzar a l'aula. És una activitat que podem treballar a diferents nivells segons el curs en què la realitzem. El podem "atacar" des del cicle superior de primària fins a batxillerat, segon l'enfocament que li donem.

La seqüència que us proposem comença per estudiar el cas dels triangles, per passar a quadrilàters, pentàgons, polígons regulars... i acaba amb una petita recreació matemàtica.

Mirem la seqüència?