19 de juny del 2024

Una caiguda problemàtica

Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).


En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:

"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"

T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?

6 d’abril del 2024

Fem "sobres" amb quadrilàters

Tot i que el correu postal ha anat molt a la baixa en els darrers anys, el sobre de paper, en diferents formats, continua sent un objecte ben quotidià. Un dels formats clàssics de sobre el podem veure en aquesta imatge.


Si traiem els encavalcaments de paper i alguns arrodoniments com el de la solapa obtenim una figura més simplificada.


El nostre nou "sobre geomètric" s'ha obtingut plegant un quadrilàter seguint aquestes condicions:
  • els quatre vèrtexs han coincidit en un mateix punt.
  • la forma obtinguda és un rectangle.
  • les solapes coincideixen perfectament: no hi ha ni encavalcaments entre elles ni deixen espais sense tapar.
Ara ens podem demanar: quina és la forma del quadrilàter que ens forma aquest sobre en concret? Amb aquest aplicatiu fet amb GeoGebra ho podeu descobrir.


En aquest cas, el quadrilàter que hem plegat per a fer un sobre és un "estel". Amb el quadrat tampoc hi ha problema per plegar-ho per formar un sobre.

En canvi, per molt que ho intentem, no podrem plegar un rectangle per fer un sobre amb les condicions que hem dit. Ho podeu comprovar amb aquest aplicatiu.


De què depèn que puguem tancar un quadrilàter fent un sobre? Investiguem-ho. A continuació teniu uns quants quadrilàters. Us enllacem una versió en GeoGebra i una imprimible per poder practicar. Recomanem imprimir i jugar amb paper.

Versió imprimible
Versió GeoGebra

Seguim investigant?

19 de març del 2024

Això és un joc? O només ho sembla?

Començarem aquest article amb un joc geomètric: "Punts a la circumferència". Les regles són les següents:

  • Es comença dibuixant una circumferència i una quantitat n de punts sobre ella.
  • Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment que uneixi dos d'aquests punts que no siguin contigus. Per fer-ho més clar és millor que utilitzin dos colors diferents.
  • Perd el jugador que dibuixa un segment que talli uns dels que ja estan fets, o que es veu obligat a fer-ho.

Comencem, per exemple, amb onze punts sobre la circumferència. Podem veure que, en aquesta partida, ha guanyat el segon jugador.


Aquí tenim un altre exemple de partida, amb 12 punts, en la que guanya el primer perquè el segon no pot dibuixar cap segment sense tallar-ne un altre.


Quan la quantitat de punts és parell, sovint es presenta una estratègia guanyadora per al primer jugador que funciona per simetria. Jo mateix ho he fet més d'una vegada. L'estratègia és la següent:
  • qui comença fa un segment unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues parts iguals.
  • cada vega que li toqui jugar farà un segment simètric, respecte a aquest primer segment, al que ha dibuixat l'altre jugador.
Però, és necessària aquesta estratègia? I si ens ho mirem d'una altra manera? Per exemple, ens podem preguntar quina és la quantitat màxima de segments que podem dibuixar en aquestes condicions i sense que es tallin. Mirem el cas d'un pentàgon: només podem dibuixar dos segments.

I a un hexàgon? El màxim és tres.


Amb 11 punts hem vist que es podien fer 8 i amb 12, nou. Una taula serà més clara.

Punts 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...
Segments 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Hi ha un patró ben clar: el màxim de segments és tres unitats inferior a la quantitat de punts inicials:

segments = punts - 3

No és difícil de justificar: la quantitat de punts als que puc unir un altre, sense comptar-se ell mateix i els dos contingus, és n-3.

14 punts - 3 = 9 segments

Si en hi fixem la quantitat de punts i la de segments tenen paritats diferents, Si la quantitat de punts inicials és senar, la de segments serà parell. En conseqüència, el segon jugador, només mirant de no tallar cap segment, guanyarà segur perquè dibuixarà l'últim possible. Recíprocament, si la quantitat de punts és parell, la de segments serà senar i guanyarà el primer. No cal aplicar estratègies de simetria en cap cas: només mirar de poder dibuixar un segment sense tallar-ne un altre.

És això un joc, doncs? La resposta és que no, perquè el resultat de la partida està determinat per la quantitat inicial de punts. És el que anomenem un pseudojoc. En aquest cas el podríem descriure com un pseudojoc parcial. Per què parcial? Perquè hem de vigilar de no equivocar-nos i fer sempre una jugada que no ens faci perdre; que no tallem un segment perquè ens despistem o perquè no em sabut veure una possibilitat de dibuix de segment. Si actuem correctament, guanyarem o perdrem indefectiblement depenent de la quantitat de punts. Però si ens despistem, podem perdre.

Modifiquem una regla

I si ara permetem que es puguin unir dos punts contigus? Deixarà de ser un pseudojoc? La resposta és que no. Però sí que afecta en una cosa: ara, si no s'equivoca, guanyarà sempre qui comença. Per què? L'única que cosa que fem és augmentar la quantitat màxima de segments en n: els costats del polígon que formarien totes els punts unint un d'ells amb els seu veïns. El total de segments ara serà 2n-3. Sigui quina sigui la paritat de la quantitat de punts, la de segments serà senar, ja que sempre en restarem 3 a una quantitat parell (2n).

17 costats, 31 segments (2·17-3)

Vols conèixer altres pseudojocs?