Això és un joc? O només ho sembla?

Començarem aquest article amb un joc geomètric: "Punts a la circumferència". Les regles són les següents:

• Es comença dibuixant una circumferència i una quantitat n de punts sobre ella.
• Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment que uneixi dos d'aquests punts que no siguin contigus. Per fer-ho més clar és millor que utilitzin dos colors diferents.
• Perd el jugador que dibuixa un segment que talli uns dels que ja estan fets, o que es veu obligat a fer-ho.

Comencem, per exemple, amb onze punts sobre la circumferència. Podem veure que, en aquesta partida, ha guanyat el segon jugador.

Aquí tenim un altre exemple de partida, amb 12 punts, en la que guanya el primer perquè el segon no pot dibuixar cap segment sense tallar-ne un altre.

Quan la quantitat de punts és parell, sovint es presenta una estratègia guanyadora per al primer jugador que funciona per simetria. Jo mateix ho he fet més d'una vegada. L'estratègia és la següent:

• qui comença fa un segment unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues parts iguals.
• cada vega que li toqui jugar farà un segment simètric, respecte a aquest primer segment, al que ha dibuixat l'altre jugador.

Però, és necessària aquesta estratègia? I si ens ho mirem d'una altra manera? Per exemple, ens podem preguntar quina és la quantitat màxima de segments que podem dibuixar en aquestes condicions i sense que es tallin. Mirem el cas d'un pentàgon: només podem dibuixar dos segments.

I a un hexàgon? El màxim és tres.

Amb 11 punts hem vist que es podien fer 8 i amb 12, nou. Una taula serà més clara.

Punts	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	...
Segments	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...

Hi ha un patró ben clar: el màxim de segments és tres unitats inferior a la quantitat de punts inicials:

segments = punts - 3

No és difícil de justificar: la quantitat de punts als que puc unir un altre, sense comptar-se ell mateix i els dos contingus, és n-3.

14 punts - 3 = 9 segments

Si en hi fixem la quantitat de punts i la de segments tenen paritats diferents, Si la quantitat de punts inicials és senar, la de segments serà parell. En conseqüència, el segon jugador, només mirant de no tallar cap segment, guanyarà segur perquè dibuixarà l'últim possible. Recíprocament, si la quantitat de punts és parell, la de segments serà senar i guanyarà el primer. No cal aplicar estratègies de simetria en cap cas: només mirar de poder dibuixar un segment sense tallar-ne un altre.

És això un joc, doncs? La resposta és que no, perquè el resultat de la partida està determinat per la quantitat inicial de punts. És el que anomenem un pseudojoc. En aquest cas el podríem descriure com un pseudojoc parcial. Per què parcial? Perquè hem de vigilar de no equivocar-nos i fer sempre una jugada que no ens faci perdre; que no tallem un segment perquè ens despistem o perquè no em sabut veure una possibilitat de dibuix de segment. Si actuem correctament, guanyarem o perdrem indefectiblement depenent de la quantitat de punts. Però si ens despistem, podem perdre.

Modifiquem una regla

I si ara permetem que es puguin unir dos punts contigus? Deixarà de ser un pseudojoc? La resposta és que no. Però sí que afecta en una cosa: ara, si no s'equivoca, guanyarà sempre qui comença. Per què? L'única que cosa que fem és augmentar la quantitat màxima de segments en n: els costats del polígon que formarien totes els punts unint un d'ells amb els seu veïns. El total de segments ara serà 2n-3. Sigui quina sigui la paritat de la quantitat de punts, la de segments serà senar, ja que sempre en restarem 3 a una quantitat parell (2n).

17 costats, 31 segments (2·17-3)

Vols conèixer altres pseudojocs?

A conseqüència del fet que la gran majoria de jocs d'estratègia estan pensats per a dos jugadors els aspectes de paritat juguen un paper cabdal en la majoria de pseudojocs, Comencem per un "joc" senzill, que es pot estudiar, fins i tot a primària.

El joc de les torres

Recordem que una torre d'escacs pot matar una fitxa contrària si està a la mateixa fila o a la mateixa columna de l'escaquer. El joc és el següent:

• es juga a un tauler que pot ser de forma quadrada o, més general, rectangular (de mida m·n)
• cada jugador posa, alternativament, una torre sobre el tauler de forma que no amenaci cap altra torre ja col·locada.
• perd qui no pot posar una torre amb aquestes condicions.

Pots intentar investigar una mica el joc amb aquest aplicatiu que té diferents mides de tauler (Tu mateix hauràs de fer dels dos jugadors).

No és difícil descobrir que el màxim de torres que es poden col·locar coincideix amb la mida del costat més curt del tauler. Així, si aquesta quantitat mínima és senar, guanyarà qui comença. I si és parell, el segon jugador. Això sí, sempre estant atents a no equivocar-nos en col·locar la torre i "matar-ne" una ja posada. Torna a ser un pseudojoc parcial.

Un joc de restes

Les regles del joc són les següents:

• es trien dos nombres naturals diferents per a iniciar el joc (a i b) i s'escriuen en un full.
• el primer jugador resta els dos nombres i anota el resultat al full.
• el segon jugador pot restar dos dels nombres qui hi ha escrits amb la condició que el resultat no estigui ja escrit al full. També anota el nou resultat.
• es continua procedint així.
• perd el jugador que escriu un resultat repetit o no pot escriure un resultat nou.

Mirem un exemple d'inici de partida amb els nombres 23 i 18. Observarem que les dues primeres jugades són obligades:

• el 1r jugador els resta i escriu el resultat: 5
• el 2n jugador no podrà fer la resta 23-5 perquè el resultat és 18, que ja està escrit. Farà la resta 18-5 i anotarà 13 al full.
• Tenim els nombres 23, 18, 13 i 5. El 1r jugador podrà restar, per exemple, 23 i 13 i anotar 10, que no està escrit fins ara.
• Tenim els nombres 23, 18, 13, 10 i 5. El 2n jugador podrà restar, per exemple, 13 i 10 i anotar 3, que encara no està.
• I es continua així fins que algú està obligat a repetir un nombre i perd la partida.

Us convidem a provar individualment amb parelles de nombres per a veure quins resultats podem obtenir.

• Per exemple, amb 7 i 8 podem fer una seqüència com aquesta: 8-7=1; 7-1=6; 8-6=2; 6-2=4; 7-4=3; 8-3=5. Si ens hi fixem tenim tots els nombres de l'1 al 8. És impossible obtenir un resultat nou. Haurem fet 6 operacions i perdrà el 1r jugador.
• I amb 18 i 12 com a nombres inicials? 18-12=6. Ja està, no podem obtenir cap resultat nou: Una sola resta, i guanya el 1r jugador.
• Amb 7 i 9 podem fer: 9-7=2; 7-2=5; 5-2=3; 3-2=1; 5-1=4; 9-1=8 i 8-2=6. Hem fet 7 restes- Guanya el 1r jugador de nou.
• I amb 8 i 20? 20-8=12; 12-8=4 i 20-4=16. Tres jugades: guanya de nou el 1r.

Com veiem, els nombres inicials marquen una quantitat màxima de restes. Si s'aconsegueixen totes guanyarà el 1r jugador si aquest màxim és senar i el segon si és parell. Això si no ens despistem  per a obtenir una de les restes possibles. Tornem a tenir un pseudojoc parcial. Si juguem amb atenció de no espifiar-la (deixant-nos un cas o proposant un resultat repetit) la partida estarà determinada per la quantitat de diferències possibles.

D'aquí se'n deriva una pregunta nova: com podem saber la quantitat de restes? Aquí juga un paper important el mcd dels dos nombres.

• Si són primers entre sí (mcd=1) es poden obtenir tots els nombres des del més gran a u. La quantitat de restes serà dues unitats més petita que el nombre més gran. (Amb 32 i 25 la quantitat de restes serà de 30 (32-2). Guanyarà el segon jugador.
• Si no són primers entre si haurem de dividir el nombre més gran pel mcd dels dos inicials i restar-ne dos (pels dos resultats inicials que ja venen donats). Amb els nombres 36 i 27, amb mcd=9, hi haurà dues restes (36/9=4; 4-2=2). En ser una quantitat parell també guanyarà el segon jugador.

Una versió de NIM

Amb aquest joc farem un salt qualitatiu. Passarem dels pesudojocs parcials als pseudojocs totals. Quina és la diferència? Amb els parcials el jugador predeterminat a guanyar ha d'estar atent a no equivocar-se. Amb els totals és indiferent: faci el que faci guanyarà.

Els jocs de NIM, habitualment, són jocs de retirar fitxes d'una o més piles i amb unes condicions determinades. Segons la versió, qui retira l'última, o les últimes, guanya o perd. Mirem aquesta versió:

• Es comença amb 24 fitxes a una pila.
• Cada jugador pot retirar, en el seu torn, una, tres o cinc fitxes.
• Guanya qui retira les últimes.

Abans ja hem comentat que, en molts pseudojocs, les qüestions de paritat juguen un paper important. En aquest cas és força evident. El primer jugador, si partim d'una quantitat parell de fitxes, canviarà la paritat a cada jugada: si treu una quantitat senar (1, 3 o 5) deixarà a la pila una quantitat també senar. El segon, al seu torn, tornarà a canviar la paritat: si a una quantitat senar li resto una també senar deixaré una quantitat parell. És impossible que el primer jugador guanyi. Lògicament, si la quantitat inicial és senar guanyarà el primer jugador.

Amb un exemple de partida possible, ho veurem ben clar:

Jugador		A	B	A	B	A	B	A	B
Agafa		3	5	1	3	5	1	1	1
Deixa	20	17	12	11	8	3	2	1	1

Es pot observar, fins i tot, que la penúltima jugada de B era una jugada innecessària, perquè hi havia tres fitxes a la pila i les podia haver agafat, en comptes de separar només una. Tot i així, guanya.

Fitxes de dos colors

Aquest joc és més interessant perquè no és tan evident. Tenim a la taula fitxes de dos colors, posem que són vermelles i verdes. Poden ser quantitats diferents.

• cada jugador, al seu torn, pot fer tres jugades diferents:
• retirar dues fitxes vermelles i posar-ne una de vermella.
• retirar-ne dues verdes i posar-ne una de vermella.
• retirar-ne una de cada i posar-ne una de verda.
• si, al final, només queda una fitxa i és vermella, guanya el primer jugador (A). I si l'última és verda guanya el segon (B)

És fàcil veure que la partida serà finita perquè, a cada jugada, es rebaixa el total en una fitxa, ja que traiem dues fitxes  i en posem una.

Podeu practicar el joc amb aquest aplicatiu jugant contra l'ordinador. Començarem amb 7 fitxes vermelles i 6 verdes.

Ara podeu provar amb 8 fitxes vermelles i 5 de verdes.

Potser heu començat a observar coses. En tot cas, amb aquest nou aplicatiu, podeu variar la quantitat de fitxes. Això sí, haureu de fer el paper dels dos jugadors.

Si us heu fixat amb 7 fitxes vermelles i 6 verdes sempre queda al final una fitxa vermella i guanya A, el primer jugador. En canvi, amb 8 de vermelles i 5 de verdes, sempre guanya B, el segon, perquè al final queda una fitxa verda. És independent de com juguem.

Sembla que les qüestions de paritat tornen a tenir un paper important. Estufiem com hi afecta cada tipus de juagada:

• Treure dues fitxes vermelles i posar-ne una vermella: la quantitat de vermelles es rebaixa en una unitat: canvia la paritat. La de les verdes no queda afectada.
• Treure dies fitxes veredes i posar-ne una vermella: la quantitat de vermelles augmenta en una unita i canviar la paritat. La de les verdes no varia, Si restem 2 a una quantitat parell, seguira sent parell. I si ho fem a una senar, continuarà sent senar.
• Treure una de cada i posar una fitxa verda. La quantitat de vermelles baixa en una unitat i canvia la paritat. La quantitat de verdes queda igual (traiem una fitxa i en posem una altra). No canvia la paritat.

Pel que es veu, la clau està en la quantitat de fitxes verdes incials, ja que mai canvia la seva paritat. Si la quantitat inicial de verdes és parell guanyarà sempre el primer jugador, perquè es podran eliminar totes les fitxes verdes. Si la quantitat inicial és senar, es mantindrà sempre senar i ,al final, queadrà sempre una fitxa. Per tant, guanyarà B, el segon jugador. Independentment de les jugades que es facin. És un pseudojoc total.

La tauleta de xocolata

Tenim una tauleta de xocolata de mides a·b (per exemple, de 4x7). El primer jugador (A) talla la tauleta en dues parts, seguint les línies horitzontals o verticals, per on vulgui. El segon jugador (B), agafa un dels trossos i també el divideix en dues parts com vulgui, però també seguint sempre les línies. I així van fent alternativament fins que tota la tauleta ha quedat dividida totalment. amb totes les unces separades. Guanya el que ha fet l'ultima divisió. Veiem una imatge amb unes primeres jugades.

Per a estudiar el joc, podem recuperar una mica, les idees que havíem fet servir per al primer joc, el dels segments que no es tallen. La pregunta d'ara és: quina és la quantitat de talls necessaris per a separar totes les unces? Bé, en aquest cas, amb 28 unces, són necessaris 27 talls. Un menys del total, ja que el darrer tall separarà les dues útlimes unces. És similar a un problema d'eliminacions. En un torneig eliminatori amb 16 jugadors s'han de fer 15 partits: 14 per a quedin dos finalistes i un partit final.

En general caldran a·b-1 talls. Tornem a ser-hi amb la paritat: si la quanitat de talls necessaris és parell guanyarà B, independentment de les tries de tall que faci. I si és senar, guanyarà A.

Tornem a tenir un pseudojoc total. Aquí podem variar les regles per a tenir un joc. Si quan es fa un tall el jugador tria un dels dos trossos que ha fet per a quedar-se'l i es retira del joc.

Les tres piles

Tornem a jugar amb fitxes. Iamginem que tenim tres piles amb diferents quantitats de fitxes: 15, 10 i 9. Quan sigui el seu torn el jugador pot triar una de les piles i dividir-la en dues piles noves de la mida que vulgui. Així, a cada jugada tindrem una pila nova. Es continua fent fins que totes les fitxes queden separades (totes les piles són d'una fitxa). Guanya qui ha fet la darrera partició.

Aquest "joc" no l'analitzarem. Si us hi fixeu és com jugar amb tres tauletes de xocolata d'una sola fila d'unces. Ja teniu la pista.

Sumes i restes

Anem per l'últim joc. Comencem escrivint en una fila els nombres de l'1 al 20 (per exemple). Cada jugador, al seu torn, escriu un signe "+" o un signe "-" entre dos nombres. Quan s'ha acabat es fa el càlcul indicat. Si el resultat final és senar guanya A. Si és parell, guanya B.

Per a investigar una mica, aquí teniu un aplicatiu més reduït, amb els nombres de l'1 al 8. Cada vegada que cliqueu sobre l'aplicatiu posarà els signes d'operació de forma aleatòria. Observeu alguna cosa?

I amb els nombres de l'1 al 6?

Sembla que, segons la quantitat de nombres, el resultat sempre serà parell o sempre senar, independentment dels signes que posem. Vegem per què.

Primera observació:

• sempre que sumem o restem dos nombres senars o dos nombres parells el resultat serà parell.
• sempre que sumem o restem un nombre senar i un parell, el resultat serà senar.

Ara podem començar la sèrie:

• el primer nombre és 1; senar
• si sumem o restem 2 el resultat continuarà sent senar. (S±P=S)
• si sumem o restem 3 el resultat sera parell (S±S=P)
• si sumem o restem 4 el resultat serà parell (P±P=P)
• si sumem o restem 5 el resultat serà senar (P±S=S)
• si sumem o restem 6 el resultat serà senar. (S±P=S)
• etc.

No és difícil veure un patró: SSPPSSPPSSPPSSPP...

Depén de la xifra final, si comenecem des del'1, el joc està determinat. Com podem saber si el resultat final serà parell o senar per a un nombre màxim n? El cicle és de 4 termes. Dividirem n entre 4. Si el residu és 1 o 2 el resultat final serà senar. Si el residu és 3 o 0, el resultat serà parell. A 20, el nostre exemple inicial, li correspons un resultat parell (20=4·5+0). Guanyarà B faci el que faci qualsevol dels dos jugadors.

I a l'aula?

• Una primera qüestió seria no presentar els pseudojocs com a tals. Es tracta de que descoberixin la seva naturalesa en la investigació de l'estratègia. Tampoc treballaria més de dos seguits.
• A banda de que la recerca d'estratègies guanyadores és un gran recurs per a l'aprenentatge de la resolució de problemes, hi ha molts dels jocs que tenen aspectes col·laterals interessants. Per exemple algebraics (el dels segments), de divisibilitat (el joc de restes), de càlcul amb enters (sumes i restes), etc. El joc pot ser el punt de partida d'una "pràctica productiva".
• És interessant fer reflexionar sobre les qüestions relacionades amb la paritat i, en particular, fer argumentar sobre la paritat dels resultats amb els càlculs aritmètics habituals.
• Ens podem plantejar de modificar les regles per a convertir els pseudojocs en autèntics jocs... i estudiar les estratègies guanyadores.