Els problemes de Vito Mangiamele

Encara que als nostres dies ja no impressioni tant, antigament els "calculistes prodigiosos" van ser francament admirats. Alguns, a més, eren matemàtics. Diuen que el primer de tots va ser Nicòmac de Gèrasa, al segle I, però posteriorment Wallis, Euler o Gauss també van gaudir d'aquesta fama. En alguns casos van freqüentar i treballar en el món matemàtic de la seva època. I en d'altres es van limitar únicament a l'exhibició de les seves facultats. En aquest article parlarem d'un calculista que va visitar, amb gran èxit i repercussió pública, la Barcelona de mitjan segle XIX: Vito Mangiamele. La seva història l'he coneguda pel llibre Calculadoras humanas de Vicente Meavilla.

Vito Mangiamele, litografia d'Achille Devéria

Vito Mangiamele va néixer a la localitat siciliana de Sortino l'any 1827 i era fill d'un senzill pastor. De ben petit van descobrir les seves habilitats aritmètiques i als set o vuit anys el seu pare va cedir la seva custòdia a un home florentí, de cognom Camparoto, que es va convertir en el seu preceptor i mànager, ja que aviat el va portar a fer exhibicions de càlcul. La seva gran fita va ser que l'examinessin, quan tenia deu anys, a l'Acadèmia de les Ciències de París. Un dels seus examinadors va ser el matemàtic i astrònom rossellonès François Arago, uns dels científics que va participar, en terres mallorquines, en la continuació de la mesura del meridià per a determinar la longitud del metre. Les sessions de l'Acadèmia van ser sonades i recollides no només a gran part dels diaris de França, sinó també de tot el món, tant a Europa com a Amèrica. Cal dir, però, que les notícies no sempre volaven, ja que l'hem trobada recollida a diaris dels anys 1937 i 1938. L'èxit de la seva intervenció a l'Acadèmia va facilitar que estudiés a la Sorbonne de París i acabés com a docent de la mateixa universitat.

A continuació tenim un retall de la Gaceta de Madrid del 23 de juliol de 1839, on encara es feia ressò de la sessió de l'Acadèmia, incloent-hi alguns dels problemes plantejats, i anunciava una nova exhibició (s'entén que al Casino de Bordeus). No té pèrdua l'últim paràgraf. Al mateix número del diari, a continuació d'aquesta primera notícia, s'informava del resultat de la sessió anunciada.

Enllaç a la notícia completa

A Barcelona va venir l'any 1841 i podem seguir la seva visita gràcies al Diario de Barcelona (12, 15 i 26 de maig), als articles escrits per Onofre Jaume Novellas al Boletín de la Academia de las Artes y las Ciencias de Barcelona (n. 14 i 15) i a alguns escrits privats recollits a un article de Francesc X. Barca. Gràcies a aquests escrits podrem recollir alguns dels problemes que se li van proposar. A l'article del Diario del 12 de maig, Mangiamele parla de si mateix amb aquestes paraules:

Vito Mangiamele va fer exhibicions privades i públiques i va ser admès a la Real Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona (RACAB) com a acadèmic. El preu de l'entrada d'algunes de les exhibicions era de 10 reals que, actualment seria un valor d'uns 18 € (segons el càlcul la pàgina Measuring Worth)

Al web Niños prodigio es recull un poema que li va dedicar algun poeta igualadí i que comença així: «¡Salve, Vito Mangiamele! / Dime: qué numen te inspira, / cuando el mundo absorto admira, / ese tu ingenio inmortal?». Al mateix web s'explica que la RACAB té un retrat del calculista, a divuit anys, a la seva sala de juntes.

Mangiamele va morir, amb cinquanta anys, a la ciutat de Tolosa.

Passem ja, però, a la part que ens interessa matemàticament: quina mena de problemes li proposaven? Quins podríem plantejar a les nostres aules?

Vols conèixer els problemes "barcelonins" de Vito Mangiamele

Descarregar el Blog en set quaderns

En 14 anys que fa que es publica aquest blog ja hi ha molt material acumulat. S'han recollit la gran majoria d'articles en set quaderns en format PDF. També teniu una taula on estan llistats els 161 articles escollits indicant si incorporen aspectes dels diferents sentits del currículum matemàtic actual: numèric, espai, mesura, algebraic i estocàstic. Quedaran fixats en una nova pàgina creada al blog i que trobareu a la pestanya de Descàrregues. Esperem que us sigui útil!

Llistat d'articles

• Enllaç al full de càlcul

Quaderns d'articles (PDF)

No perdem el compàs

És ben conegut que, a l'antiga Grècia, els problemes geomètrics s'havien de resoldre amb una restricció: les úniques eines disponibles eren el regle i el compàs. No s'especifica sempre, però, que el regle era sense graduar i el compàs col·lapsable, és a dir, que en aixecar-lo del paper es tancava automàticament. Això implicava que, al no queda obert, el compàs no servia per a transportar longituds. Treballar amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable, és equivalent a treballar només amb rectes i circumferències: les línies oberta i tancada més simples. Amb aquestes restriccions es conservava l'essència de puresa intel·lectual de les matemàtiques i es donava més valor a l'exactitud teòrica d'una construcció geomètrica "pensada", deduïda i demostrada lògicament, que a qualsevol mètode pràctic real, amb altres instruments, que estarà ple d'inexactituds. S'atribueix a Plató el comentari de què l'ús d'altres instruments "degradaven i feien malbé el més excel·lent de la geometria traslladant-la de l'incorpori i intel·lectual a allò que és sensible i emprar-la en els cossos que són objecte d'oficis toscos i manuals".

Però que no es tanqui el compàs, poder transportar un segment, una longitud, és una eina bàsica per a fer construccions geomètriques còmodament. Per tant, si trobem una manera de traslladar un segment rectilini de forma que comenci en un altre punt extern al mateix segment, podrem admetre que, a partir d'aquell moment el nostre compàs no es col·lapsi. A més, que no es tanqui el compàs i ens permeti transportar longituds, fa prescindible també la graduació del regle. Per a Euclides el tema era prou important perquè a la seva segona proposició del primer llibre dels seus Elements, resolgués aquest problema. I, com veurem més tard, ho aconsegueix només amb rectes, circumferències i una construcció intermèdia que resol amb la proposició anterior, la primera. Al clàssic llibre Leyendo a Euclides, del matemàtic Beppo Levi, l'autor afirma: «Euclides, per a combatre l'empirista que deia "mesurem", o a l'altre que deia "estenem una corda" devia resoldre la qüestió mitjançant una construcció estàtica, una figura permanent que assegurés tota l'operació, encara que només fos en la imaginació».

Resumint, plantegem aquesta construcció: donat un segment rectilini (AB) el volem transportar a un altre lloc del pla i que un dels extrems sigui un punt exterior al segment (C).

Nosaltres serem més generosos. Us proposem resoldre el problema amb GeoGebra, però disposant d'algunes eines més que les dues bàsiques per a les rectes i les circumferències (donats centre i punt per on passa). Euclides ja ens va proporcionar altres eines constructives:

• Construcció del triangle equilàter (proposició 1)
• Construcció de la bisectriu d'un angle (p. 9)
• Trobar el punt mitjà d'un segment (p. 10)
• Construcció de la recta perpendicular (p. 11 i 12)
• Transportar un angle (p. 23)
• Construcció d'una paral·lela (p. 31)
• Caracterització del paral·lelogram (p. 33)

Us deixem algunes eines extres (punt mitjà, mediatriu, bisectriu, perpendicular, paral·lela, simetria axial i simetria central). Aquestes eines no serien difícils d'aconseguir partint de les dues primeres si féssim un joc similar a Euclidea, en què, a mesura que resolem problemes, anem aconseguint progressivament més eines de dibuix. Fent un símil amb GeoGebra, l'objectiu seria aconseguir l'eina "Circumferència: centre i radi".

Enllaç a la construcció

Veiem algunes solucions?

Busquem premis a les caixes

Tenia una companya de matemàtiques a l'institut on treballava que, cada vegada que atacàvem problemes de probabilitats deia: "Entrem en terrenys pantanosos". Quanta raó tenia. El problema que comentarem avui me l'ha fet conèixer la Laura Morera i, durant uns dies, l'hem discutit amb la Cecilia Calvo i el Jordi Deulofeu. Ella el va conèixer pel divulgador Alex Bellos, que el va titular "El problema de les caixes que va desconcertar als científics". La versió original del problema és amb 15 caixes, però nosaltres començarem només amb sis i no amb les mateixes regles inicials. Progressivament anirem entrant "en matèria"

Imaginem que tenim sis caixes disposades formant un rectangle de 2x3. A una de les caixes amaguem una fitxa.

Després fem entrar a dos nens: l'Arnau i la Berta que faran un joc per trobar la fitxa. Tots dos aniran obrint les caixes de forma simultània i ordenadament, però l'ordre serà diferent per a cadascun. L'Arnau comptarà horitzontalment, d'esquerra a dreta i la Berta ho farà verticalment, de dalt a baix.

El joc funcionarà així:

• Abans de començar cada partida amagarem una fitxa a l'atzar en alguna de les caixes.
• Nosaltres comptarem en veu alta 1, 2, 3... fins que aparegui la fitxa amagada.
• Quan es digui un nombre tots dos obriran a la vegada la caixa que per a ells està numerada amb l'ordre que segueix cadascú. Es pot donar el cas (al principi i al final) que tots dos coincideixin a la mateixa caixa: aquella caixa serà "dels dos".
• Quan es troba la fitxa el joc s'acaba. Guanya el que l'ha trobat i es guardarà la fitxa.
• Si la troben a la vegada (a la mateixa caixa) no se la queda cap dels dos. La fitxa es retira i és un empat.
• Guanya qui, després de diverses partides, hagi recollit més fitxes, és a dir, hagi guanyat més partides.

Podeu veure un exemple del joc amb aquest aplicatiu.

Enllaç al programa

Si fem jugar un programa automàticament veurem que el joc és equilibrat. Del total de partides, aproximadament un terç seran empats, un altre terç seran victòries de l'Arnau i el terç final de victòries de la Berta.

Enllaç al programa

Aquesta experimentació es correspon amb el càlcul teòric. Només cal mirar qui guanya segons on hagi anat a parar la fitxa amagada: en dues caselles la trobaran a la vegada i hi haurà un empat, en dues la trobarà abans l'Arnau i en dues ho farà la Berta.

Fins ara tot força raonable i previsible. Fem ara, però, un petit canvi aparentment innocent en el joc: en comptes de guardar una sola fitxa, en posarem, també a l'atzar, dues fitxes. Com abans el joc s'aturarà quan es trobi la primera fitxa. Això ho hem de remarcar. No esperem a trobar-ne les dues. Qui troba la primera guanya. Els empats es produeixen quan les troben a la vegada, ja sigui perquè el dos obren la mateixa caixa o perquè n'obren diferents, però totes dues tenen fitxa. Experimentem ara i observem els resultats, comparant-los a una hipotètica equiprobabilitat com la del cas anterior.

Enllaç al programa

Podreu observar que els empats són més probables que les victòries de qualsevol dels jugadors. i que l'Arnau té un lleuger avantatge sobre la Berta. Ja hi som amb les sorpreses de la probabilitat. Intuïtivament, el joc hauria de continuar sent equiprobable, però no ho és. A continuació teniu una imatge amb els resultats després d'un milió de partides.

Estudiem aquest nou joc amb més detall?

Josephus, tenim un problema

En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.

Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:

"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se  tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"

Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.

GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC

 Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:

• Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
• Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
• Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.

A l'aplicació en GeoGebra que us hem enllaçat. Podeu experimentar amb diferents valors d'n i k.

Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos, sí que és  investigable a l'ESO.

A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.

Continuem?

Passejant amb la barca... i en el temps

Hi ha problemes de recreació matemàtica que són molt més antics del que ens pensem. Un és el clàssic problema del pastor, la col, la cabra i el llop. Aquest problema apareix escrit, per primera vegada, al llibre del segle IX d'Alcuí de York Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves). És el 18è problema del text i el seu enunciat original era aquest:

“Un home havia de portar a l'altra banda del riu un llop, una cabra i una col, però no va trobar cap altre vaixell que un que només podia portar-ne dos d'ells. I va ser dit, que totes aquestes coses arribaren a l'altra banda il·leses. Digui, qui pugui, com els van poder traslladar il·lesos a l'altre costat”

Es coneixen versions d'aquest problema a Europa, Àsia i Àfrica. Molt probablement, Alcuí el va recollir de la tradició oral. Si no l'heu resolt mai ho podeu fer interactivament en aquest enllaç.

Avui parlarem del problema anterior, el 17, i que té també un desenvolupament històric interessant. Diu així:

“Hi havia tres homes, cadascun amb una germana soltera, que havien de creuar un riu. Cada home desitjava la germana del seu amic. Arribant al riu, només van trobar una petita barca en què podien creuar dues persones cada vegada. Digui, qui pugui: Com van creuar el riu, de manera que cap de les germanes fos maculada pels homes?”

Dit més planer: les germanes podien estar soles amb les altres germanes, però si hi havia homes presents, un d'ells havia de ser el seu germà. En general, pel context narratiu de versions posteriors, se'l coneix com el problema dels "marits gelosos". El problema apareix a llibres ben clàssics: als Annales Stadenses d'Alberto di Stade (sobre el 1250), al De viribus quantitatis (Del poder dels nombres) de Luca Pacioli i al Libro dicto giuochi matematici de Pietro di Nicolao da Filicaia (tots dos manuscrits fets sobre el 1500),  i que ja comencen a parlar de la generalització del problema. També el trobem al General tratatto (1556) de Niccoló Tartaglia, que dona una solució errònia pel cas de quatre parelles, o als Problèmes plaisants et délectables qui se font par des nombres (1612) de Claude-Gaspar Bachet, que també aborda el cas general. La solució general completa la trobem al primer volum de les Récréations mathématiques (1891) d'Édouard Lucas.

En primer lloc, us animem a agafar unes cartes de la baralla i solucionar el problema.

Voleu saber més sobre la història, la generalització i altres variants d'aquest problema?

Ampolles, soldats, monges... Un mateix problema. Diferents versions

Al llibre "Problemas y Experimentos Recreativos" Iàkov Perelman (1882-1942) plantejava un problema sota el títol Els ardits de la guàrdia. A la presentació ja anunciava: "Aquest problema té moltes variants. En donem una". I, a continuació, explicava la següent història:

"La tenda de campanya del cap la custodiava una guàrdia allotjada a vuit tendes. Al principi a cadascuna d'aquestes tendes hi havia tres soldats. Després es va permetre que els soldats d'unes tendes poguessin anar a visitar als altres. I el cap de la guàrdia no imposava sancions quan en entrar a les tendes trobava en unes, més de tres soldats i en altres, menys. Es limitava a comprovar el nombre de soldats que hi havia a cada fila de tendes: si a les tres tendes de cada fila hi havia en total nou soldats, el cap de la guàrdia considerava que tots els soldats eren presents.

Els soldats se'n van adonar i van trobar la manera de burlar-se del cap. Una nit van marxar quatre soldats de la guàrdia i la seva absència no va ser notada. La nit següent se'n van anar sis, que tampoc van patir càstig. Més tard els soldats de la guàrdia fins i tot van començar a convidar els altres a visitar-los: en una ocasió en van convidar quatre, en una altra, vuit, i una tercera vegada, tota una dotzena. I totes aquestes astúcies van passar desapercebudes, ja que a les tres tendes de cada fila el cap de la guàrdia comptava en total nou soldats. Com se les componien els soldats per fer això?"

Resumint el problema: tenim un quadrat de 3x3 en què la casella central interior no compta.  Podem posar a cada casella tants soldats com vulguem mentre es puguin comptabilitzar nous soldats per banda. Inicialment hi ha 24 soldats: Com hem de distribuir els soldats perquè el cap de la guàrdia no s'adoni de res en dies què n'hi ha 20, 18, 28, 32 i 36 soldats?

La proposta per a investigar va una mica més enllà: quines són les quantitats mínima i màxima de soldats que podem tenir? Entre aquestes quantitats, es poden obtenir totes les altres? I si en comptes de 9 soldats per banda, són n? Quines seran les quantitats límit? Podem descriure algun patró o mètode per obtenir totes les solucions possibles?

A banda de la investigació us presentarem, a continuació, algunes variacions del problema: versions més antigues històricament o plantejades amb dos pisos.

Continuem?

Una caiguda problemàtica

Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).

En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:

"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"

T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?

Puc contestar aquestes preguntes?

Haig de confessar que m'agraden els llibres d'Adrián Paenza. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest enllaç. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols Grandes temas de la matemática (2015)

Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949)

En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 ¡Un matemático ahí, por favor!. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.

Mirem els tres enunciats (traduïts directament i una mica retallats, ja que Paenza sovint és un pèl retòric, sense que afectin la informació bàsica necessària):

• Problema 1: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:
• Ronaldo: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.
• Messi: Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.
• Ronaldo: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.
• Messi: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.
• Ronaldo: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.
Pregunta: quins números van triar? Fixeu-vos-hi que no es demana quina carta va triar cadascú, sinó que només importa saber quins números van aparèixer a dalt de la taula.

• Problema 2: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?

• Problema 3:  A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: x per quedar primera, y per quedar segona i z per quedar tercera. Els tres números (x, y, z) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: x > y > z. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?

La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.

• Pista pel problema 1: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?
• Pistes pel problema 2: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.
• Pistes pel problema 3. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?

I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.

Solucions

Tibant la corda

El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: Very Math Trip, de Manu Houdart i Le cercle des problemes incongrus d'Alex Bellos (Can you solve my problems?, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de futbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?

Enllaç a la construcció

Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.

Seguim?

"Assagem" amb el rugbi

Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.

Però també hi ha tot un arc, conegut com a arc capaç, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.

L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.

La situació en les que un equip obté més punts és amb l'assaig: 5 punts. Un assaig s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'assaig el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una transformació. Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'assaig posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, línia o recta de transformació. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.

En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la línia de transformació no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la construcció feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.

Enllaç a la construcció interactiva

Un cop plantejada la situació venen les preguntes:

• Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?
• Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?

Ho estudiem?

La tauleta babilònica IM 67118: geometria, àlgebra i una mica de "pensament computacional"

L'objectiu d'aquest article és donar a conèixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional de l'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de Tell edh-Dhiba'i . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.

Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia)

El problema que es planteja i resol és el següent:

Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).

No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal. 

Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.

Revers de la tauleta i esquema ampliat

Un aspecte que fa pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:

• perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...
• perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions (a+b)² i  (a-b)².
• perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el pensament computacional, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.

Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.

• Resolució amb un sistema d'equacions

No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.

• El mètode babilònic

El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest enllaç a la Viquipèdia. Aquí seguirem la traducció més alleugerida que apareix al llibre La cresta del pavo real de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.

Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?

T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?

Corones. D'un problema a un teorema

En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudit mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:

"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."

Sembla increïble, però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això sí, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R²-r²) i que aquesta expressió, R²-r², ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover El libro de las matemáticas. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Així i tot, qui me'l va redescobrir va ser el web de Gaussianos en un magnífic article que referenciaré al final.

Font de la imatge

Us animeu a continuar llegint?

Un problema porta a un altre... (Loop de loops)

 Al concurs del Fem Matemàtiques del 2020 un dels problemes estrella va ser el del Loop de loops que va aparèixer, amb diferents variants, a les tres categories principals. És un problema prou ric i sobre el que es poden fer diferents enfocaments. Posteriorment, al Banc de Recursos del Fem Matemàtiques li han dedicat dos articles d'anàlisi (1 i 2) amb exemples de solucions d'alumnat i propostes d'avaluació. Vegem un dels seus plantejaments i que es correspon amb el que es va proposar a 1r d'ESO:

• Agafem un dau i el tirem cinc vegades. Anotem ordenadament els resultats. Per exemple 2,4, 3, 2 i 5.
• Sobre una quadrícula fem un segment de tantes unitats com el primer resultat. Girem 90° a la dreta i fem un altre segment d'una longitud. Girem 90° a la dreta... i així fins a dibuixar els cinc segments.

• Des del punt on hem acabat girem 90° en el mateix sentit i repetim el procés.

• I continuem tantes vegades com siguin necessàries fins que tornem al punt d'inici i tanquem el loop. En el nostre exemple cal fer-ho dues vegades més.

La sèrie 1-4-5-3-3 (90°) necessita 4 iteracions per a tancar el loop

Ja podem imaginar que canviar les sèries, en nombres, en quantitat de nombres, en ordre dels nombres, en tipus... dona un joc increïble amb resultats molt sorprenents i estètics. I que també podem canviar els angles. Per exemple treballant en una trama isomètrica podrem fer girs de 60° o 120°. Fer un applet amb GeoGebra, amb Scratch o Snap ens pot permetre treballar amb qualsevol sèrie numèrica i qualsevol angle. En el fons, era un dels treballs típics que es feia antigament amb el Logo.

Descobrirem fàcilment que no totes les sèries de daus tanquen amb un angle determinat.

Abans d'entrar en la nostra proposta, pot ser interessant fer un incís i mirar-ne una altra, molt ajustada per a primària i principis de l'ESO, que vaig sentir a Marc Caelles (@caellesmarc) en una presentació d'Innovamat. Es tracta de reduir la sèrie de nombres a tres (no tenen per què ser les tirades d'un dau) i amb un angle de 90°. L'activitat es basa a fer diferents loops, classificar-los segons la forma i buscar la pauta numèrica que fa que s'obtingui un tipus de loop o un altre. A continuació teniu un enllaç a un applet de GeoGebra que us permetrà experimentar. La resposta a la investigació la trobareu a la xerrada d'en Marc (minut 52).

Enllaç a l'applet

Anem ara a centrar la nostra investigació en dues preguntes:

• Podem saber si un loop tancarà o no abans de dibuixar-lo?
• Afecten les mides dels segments al tancament?

Ens hi posem?

Dissenyem rosasses

El passat 6 de febrer de 2020, a la XIII Jornada de l'Associació Catalana de GeoGebra, al taller Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0 portat per Guillem Bonet (@willhek1), es va proposar un problema de tangències que em va recordar l'activitat que vam treballar alguns anys a l'INS Alella durant un crèdit de síntesi relacionat amb l'Edat Mitjana. L'activitat es relaciona amb el disseny de rosasses i, específicament, amb el de sèries de cercles tangents entre si i que ho són també a la circumferència exterior de la rosassa.

Rosassa de la façana principal de la Catedral de Burgos (fotografia original de Javier Soto)

Real Monasterio de Santa María de Guadalupe a Cáceres (fotografia original del Baúl del Arte)

Visualment ja es veu clarament el problema. Com dibuixar un cercle de n circumferències tangents a l'exterior i entre les directament veïnes? A cadascuna d'aquestes circumferències els hi direm pètals a partir d'ara. Ja s'intueix que n ve determinat per un polígon regular inscrit a la circumferència exterior la mateixa quantitat de costats que la de pètals desitjats. No tots els polígons regulars són construïbles amb regle i compàs de manera "pura". Gauss ja va descriure quines eren les condicions perquè un polígon fos dibuixable amb aquestes dues eines. Obviarem aquesta part de la construcció, ja que podem dibuixar un polígon inscrit a partir del càlcul del seu angle central i plantejarem el problema concret de la construcció, ara sí, amb regle i compàs del "rosari de pètals".

El polígon de 7 costats no és construïble amb regle i compàs, però el podem dibuixar a partir d'un angle de 51,43°. El de 10 costats sí que és construïble, però també el podem dibuixar a partir d'un angle de 36°

L'objectiu de l'activitat serà construir rosasses com aquestes que podem veure fetes amb GeoGebra. Poden ser casos particulars de 3, 4, 5, 6... o més pètals. La primera part de l'activitat consistirà a buscar un mètode per a fer la construcció. La segona conèixer un mètode aparentment estrany d'aconseguir-ho. I la tercera demostrar que tots dos mètodes són equivalents. Per a fer aquesta demostració jugarem amb una mica de trigonometria, Pitàgores...

https://www.geogebra.org/m/tcddynpe

Abans de continuar llegit, però, us convidem a resoldre el problema per a un cas particular: 5 o 6 pètals. I que ho feu amb GeoGebra.

Continuem?