12 de febrer de 2021

Dissenyem rosasses

El passat 6 de febrer de 2020, a la XIII Jornada de l'Associació Catalana de GeoGebra, al taller Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0 portat per Guillem Bonet (@willhek1), es va proposar un problema de tangències que em va recordar l'activitat que vam treballar alguns anys a l'INS Alella durant un crèdit de síntesi relacionat amb l'Edat Mitjana. L'activitat es relaciona amb el disseny de rosasses i, específicament, amb el de sèries de cercles tangents entre sí i que ho són també a la circumferència exterior de la rosassa.

Rosassa de la façana principal de la Catedral de Burgos (fotografia original de Javier Soto)

Real Monasterio de Santa María de Guadalupe Cáceres (fotografia original del Baúl del Arte)

Visualment ja es veu clarament el problema. Com dibuixar un cercle d'n circumferències tangents a l'exterior i entre les directament veïnes? A cadascuna d'aquestes cirecumferències els hi direm pètals a partir d'ara. Ja s'intueix que n ve determinat per un polígon regular inscrit a la circumferència exterior la mateixa quantitat de costats que la de pètals dessitjats. No tots els polígons regulars són construïbles amb regle i compàs de manera "pura". Gauss ja va descriure quines eren les condicions perquè un polígon fos dibuixable amb aquestes dues eines. Obviarem aquesta part de la construcció ja que podem dibuixar un polígon inscrit a partir del càlcul del seu angle central i plantejarem el problema concret de la construcció, ara sí, amb regle i compàs del "rosari de pètals".

El polígon de 7 costats no és construïble amb regle i compàs, però el podem dibuixar a partir d'un angle de 51,43º. El de 10 costats sí que és construïble, però també el podem dibuixar a partir d'un angle de 36º


L'objectiu de l'activitat serà construir rosasses com aquestes que podem veure fetes amb GeoGebra. Poden ser casos particulars de 3, 4, 5, 6... o més pètals. La primera part de l'activitat consistirà en buscar un mètode per a fer la construcció. La segona conèixer un mètode aparentment estrany d'aconseguir-ho. I la tercera demostrar que tots dos mètodes són equivalents. Per a fer aquesta demostració jugarem amb una mica de trigonometria, Pitàgores...


Abans de continuar llegit, però, us convidem a resoldre el problema per a un cas particular: 5 o 6 pètals. I a que ho feu amb GeoGebra.

Continuem?
Solucionem el problema

Treballarem en un cas particular tot dibuixant una rosassa de 5 pètals. El primer pas, com ja hem comentat és dibuixar un pentàgon inscrit en la circumferència. Saltem aquest pas (amb GeoGebra és ben fàcil) i el considerem dibuixat.


Quines propietats ha de tenir el primer pètal que busquem? Que ha de ser tangent a les dues semirectes dibuixades i a la circumferència exterior. És a dir, hem de trobar un punt que equidisti dels dos costats de l'angle dibuixat i el de la circumferència de la rosasssa. Pólya en el seu mètode de resolució de problemes ens proposava la següent pregunta en la fase de planificació: "Coneixes algun teorema (o propietat) que et pugui ser útil?".

Si repassem en el nostre bagul de coneixements potser recordarem que la bisectriu conté tots els punts que equidisten de dues rectes. Per tant, el centre del pètal que busquem haurà d'estar en aquesta recta.


Ja tenim una part resolta. Ara només ens queda cercar en quin lloc exacte de la bisectriu s'hi troba el centre del pètal. Haurem de recordar altres teoremes o propietats.

Una que pinta tenir molta utilitat és l'incentre d'un triangle (punt de coincidència de les bisectrius dels tres angles) ja que ens dona una triple tangència: la de la circumferència inscrita que toca els tres costats. Potser el punt de tangència que ens falta (el de la circumferència principal de la rosassa) el trobarem si afegim un tercer costat als dos que ja tenim formant l'angle interior. Podem pensar que una recta tangent a aquesta circumferència ens ajudarà a construir aquest triangle. La tangent ideal és la que toca la circumferència en el punt d'intersecció amb la bisectriu. Donat que la tangent és perpendicular al radi no és difícil construir-la.




Ara ja tenim el triangle al qual li hem de trobar l'incentre. Només cal afegir a la construcció una nova bisectriu: la d'una dels angles iguals del triangle obtingut.


Ara ja podem dibuixar el nostre primer pètal.


Dibuixar la resta de pètals es pot simplificar. Donat que els centres de tots els pètals estaran a la mateixa distància del centre de la rosassa podem construir un "cercle de centres de pètals" i anar situant cadascun fent simetries respecte als costats dels angles interiors del polígon base.


Independentment de que el polígon base de sortida tingui una quantitat diferent a cinc costats, ja tenim un mètode general de construcció. No hem donat tots els detalls precisos per a la construcció amb GeoGebra, però sí els més importants.

Hi ha un mètode basat en els mateixos principis que facilita una mica més la construcció del cercle de pètals. L'única diferència és que comencem fent les mediatrius d'un parell de costats consecutius del polígon base. La bisectriu de l'angle format vindrà donada per la línia que uneix el centre amb el vèrtex compartit. El triangle es construeix amb la tangent en aquest punt. Un cop trobat l'incentre podem dibuixar la circumferència dels centres dels pètals. L'avantatge és que un cops trobats els centres és més fàcil dibuixar els pètals ja que els altres punts que ens determinen els radis són els propis vèrtexs del polígon i podem reduir una mica les passes de construcció. En aquest applet, movent el punt lliscant, podeu veure les passes de la construcció.


Un altre mètode un pèl més ràpid

A l'article La motivación de la belleza (Elena, Inés i Tomàs Ortega i Cecilia Crespo - Unión, juny 2005) al mètode anterior se l'anomena "mètode de les tangències". Però s'explica un altre anomenat "mètode mètric de la proporció". El presentem pas a pas, tot construint una rosassa de sis pètals, en el següent applet. Es podrà veure que, un cop tenim els vèrtexs del polígon desitjat, el mètode és força ràpid d'aplicar.


Són equivalents els dos mètodes?

Si els dos mètodes donen el mateix resultat és que són equivalents. Però les construccions són molt diferents. Podem veure si obtenim el mateix resultat?

Per fer-ho ens podem centrar en una mesura clau: la del radi del cercle de pètals. Si ens hi fixem és la clau perquè ens dona el lloc i la mesura dels pètals. I aquesta mesura, com podem veure en aquest applet. depèn exclusivament del radi de la rosassa i de la quantitat de pètals, és a dir, de l'angle central del polígon regular associat.



Mostrem a continuació dues imatges amb els dos mètodes de construcció que poden servir de base per a la deducció del valor del radi del cercle de pètals (r).

Mètode de tangències


Mètode mètric de la proporció


Si ens hi fixem en aquests dos gràfics veurem que l'angle que hem triat és la meitat de l'angle interior del polígon base. Anomenant α a aquest angle i R al radi de la rosassa podem arribar a les següents expressions:


Si us interessa veure la demostració de l'equivalència dels dos mètodes, arribant a aquesta mateixa mesura a partir de cada construcció, ho podeu fer en aquest document.

I a l'aula?

D'alguna manera ja ho hem dit al principi. El primer problema a plantejar és que trobin un mètode de construcció per a algun cas particular: quatre, cinc o sis pètals. Ho poden intentar amb GeoGebra directament i, si volem, els hi podem donar un cercle de partida amb els vèrtexs marcats. Si no coneixen les propietats que hem fet servir (les de la recta bisectriu, la de l'incentre o la de la perpendicularitat de les tangents) les podem anar donant com a pistes. Si volem augmentar la dificultat podem donar algunes propietats que no siguin estrictament necessàries (com les de les mediatrius, l'ortocentre...). Però no ho aconsellaria en principi. 

El mètode mètric de la proporció es pot explicar i fer que l'apliquin en una construcció completa per veure si saben "seguir l'algoritme". Després podem obrir una discussió sobre els dos mètodes: quin els hi sembla més pràctic, per què, quin és més entenedor, per què...

Amb els més grans es pot intentar descobrir el valor del radi del cercle de pètals. I si ens animem que demostrin que els dos mètodes són equivalents.

Nota

Vull agrair a l'Anton Aubanell la petita empenta que em va donar en un moment d'encallament amb una de les resolucions del càlcul d'r. No és inusual durant la resolució d'un problema que tenim alguna cosa al davant que "és del tot evident" però que no la veiem. I ens il·luminem o algú altre ens ajuda veure-ho. Ser conscient de que ens passa també, ens pot ajudar a ser més humils amb les dificultats de l'alumnat quan tampoc "veuen les nostres evidències".

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada