Els problemes de Vito Mangiamele

Encara que als nostres dies ja no impressioni tant, antigament els "calculistes prodigiosos" van ser francament admirats. Alguns, a més, eren matemàtics. Diuen que el primer de tots va ser Nicòmac de Gèrasa, al segle I, però posteriorment Wallis, Euler o Gauss també van gaudir d'aquesta fama. En alguns casos van freqüentar i treballar en el món matemàtic de la seva època. I en d'altres es van limitar únicament a l'exhibició de les seves facultats. En aquest article parlarem d'un calculista que va visitar, amb gran èxit i repercussió pública, la Barcelona de mitjan segle XIX: Vito Mangiamele. La seva història l'he coneguda pel llibre Calculadoras humanas de Vicente Meavilla.

Vito Mangiamele, litografia d'Achille Devéria

Vito Mangiamele va néixer a la localitat siciliana de Sortino l'any 1827 i era fill d'un senzill pastor. De ben petit van descobrir les seves habilitats aritmètiques i als set o vuit anys el seu pare va cedir la seva custòdia a un home florentí, de cognom Camparoto, que es va convertir en el seu preceptor i mànager, ja que aviat el va portar a fer exhibicions de càlcul. La seva gran fita va ser que l'examinessin, quan tenia deu anys, a l'Acadèmia de les Ciències de París. Un dels seus examinadors va ser el matemàtic i astrònom rossellonès François Arago, uns dels científics que va participar, en terres mallorquines, en la continuació de la mesura del meridià per a determinar la longitud del metre. Les sessions de l'Acadèmia van ser sonades i recollides no només a gran part dels diaris de França, sinó també de tot el món, tant a Europa com a Amèrica. Cal dir, però, que les notícies no sempre volaven, ja que l'hem trobada recollida a diaris dels anys 1937 i 1938. L'èxit de la seva intervenció a l'Acadèmia va facilitar que estudiés a la Sorbonne de París i acabés com a docent de la mateixa universitat.

A continuació tenim un retall de la Gaceta de Madrid del 23 de juliol de 1839, on encara es feia ressò de la sessió de l'Acadèmia, incloent-hi alguns dels problemes plantejats, i anunciava una nova exhibició (s'entén que al Casino de Bordeus). No té pèrdua l'últim paràgraf. Al mateix número del diari, a continuació d'aquesta primera notícia, s'informava del resultat de la sessió anunciada.

Enllaç a la notícia completa

A Barcelona va venir l'any 1841 i podem seguir la seva visita gràcies al Diario de Barcelona (12, 15 i 26 de maig), als articles escrits per Onofre Jaume Novellas al Boletín de la Academia de las Artes y las Ciencias de Barcelona (n. 14 i 15) i a alguns escrits privats recollits a un article de Francesc X. Barca. Gràcies a aquests escrits podrem recollir alguns dels problemes que se li van proposar. A l'article del Diario del 12 de maig, Mangiamele parla de si mateix amb aquestes paraules:

Vito Mangiamele va fer exhibicions privades i públiques i va ser admès a la Real Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona (RACAB) com a acadèmic. El preu de l'entrada d'algunes de les exhibicions era de 10 reals que, actualment seria un valor d'uns 18 € (segons el càlcul la pàgina Measuring Worth)

Al web Niños prodigio es recull un poema que li va dedicar algun poeta igualadí i que comença així: «¡Salve, Vito Mangiamele! / Dime: qué numen te inspira, / cuando el mundo absorto admira, / ese tu ingenio inmortal?». Al mateix web s'explica que la RACAB té un retrat del calculista, a divuit anys, a la seva sala de juntes.

Mangiamele va morir, amb cinquanta anys, a la ciutat de Tolosa.

Passem ja, però, a la part que ens interessa matemàticament: quina mena de problemes li proposaven? Quins podríem plantejar a les nostres aules?

Vols conèixer els problemes "barcelonins" de Vito Mangiamele

No perdem el compàs

És ben conegut que, a l'antiga Grècia, els problemes geomètrics s'havien de resoldre amb una restricció: les úniques eines disponibles eren el regle i el compàs. No s'especifica sempre, però, que el regle era sense graduar i el compàs col·lapsable, és a dir, que en aixecar-lo del paper es tancava automàticament. Això implicava que, al no queda obert, el compàs no servia per a transportar longituds. Treballar amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable, és equivalent a treballar només amb rectes i circumferències: les línies oberta i tancada més simples. Amb aquestes restriccions es conservava l'essència de puresa intel·lectual de les matemàtiques i es donava més valor a l'exactitud teòrica d'una construcció geomètrica "pensada", deduïda i demostrada lògicament, que a qualsevol mètode pràctic real, amb altres instruments, que estarà ple d'inexactituds. S'atribueix a Plató el comentari de què l'ús d'altres instruments "degradaven i feien malbé el més excel·lent de la geometria traslladant-la de l'incorpori i intel·lectual a allò que és sensible i emprar-la en els cossos que són objecte d'oficis toscos i manuals".

Però que no es tanqui el compàs, poder transportar un segment, una longitud, és una eina bàsica per a fer construccions geomètriques còmodament. Per tant, si trobem una manera de traslladar un segment rectilini de forma que comenci en un altre punt extern al mateix segment, podrem admetre que, a partir d'aquell moment el nostre compàs no es col·lapsi. A més, que no es tanqui el compàs i ens permeti transportar longituds, fa prescindible també la graduació del regle. Per a Euclides el tema era prou important perquè a la seva segona proposició del primer llibre dels seus Elements, resolgués aquest problema. I, com veurem més tard, ho aconsegueix només amb rectes, circumferències i una construcció intermèdia que resol amb la proposició anterior, la primera. Al clàssic llibre Leyendo a Euclides, del matemàtic Beppo Levi, l'autor afirma: «Euclides, per a combatre l'empirista que deia "mesurem", o a l'altre que deia "estenem una corda" devia resoldre la qüestió mitjançant una construcció estàtica, una figura permanent que assegurés tota l'operació, encara que només fos en la imaginació».

Resumint, plantegem aquesta construcció: donat un segment rectilini (AB) el volem transportar a un altre lloc del pla i que un dels extrems sigui un punt exterior al segment (C).

Nosaltres serem més generosos. Us proposem resoldre el problema amb GeoGebra, però disposant d'algunes eines més que les dues bàsiques per a les rectes i les circumferències (donats centre i punt per on passa). Euclides ja ens va proporcionar altres eines constructives:

• Construcció del triangle equilàter (proposició 1)
• Construcció de la bisectriu d'un angle (p. 9)
• Trobar el punt mitjà d'un segment (p. 10)
• Construcció de la recta perpendicular (p. 11 i 12)
• Transportar un angle (p. 23)
• Construcció d'una paral·lela (p. 31)
• Caracterització del paral·lelogram (p. 33)

Us deixem algunes eines extres (punt mitjà, mediatriu, bisectriu, perpendicular, paral·lela, simetria axial i simetria central). Aquestes eines no serien difícils d'aconseguir partint de les dues primeres si féssim un joc similar a Euclidea, en què, a mesura que resolem problemes, anem aconseguint progressivament més eines de dibuix. Fent un símil amb GeoGebra, l'objectiu seria aconseguir l'eina "Circumferència: centre i radi".

Enllaç a la construcció

Veiem algunes solucions?

Contra la paret

Rellegint, una mica per casualitat, el magnífic llibre Problema con pautas y números del Shell Centre for Mathematical Education, m'he retrobat amb una gran sèrie d'activitats que molts vam utilitzar durant anys a l'aula. El llibre és del 1984 i es va publicar en castellà el 1993. Des del web del Shell Centre es pot descarregar gratuïtament la versió anglesa en format pdf. Algunes de les propostes estan basades en jocs d'estratègia. Avui en presentem un que titulen com "Contra la paret", però que sovint s'ha presentat com "Acorralat". Recuperar "contra la paret" és un homenatge a un llibre que ha fet un gran servei.

L'ús dels jocs d'estratègia a l'aula de matemàtiques està plenament justificat per la seva íntima relació amb les estratègies de resolució de problemes. I, entre els jocs, va molt bé disposar d'una col·lecció dels que no són especialment llargs d'analitzar, que es puguin resoldre en, pràcticament, una sola sessió. Aquest n'és un, amb el valor afegit que les estratègies de "particularitzar" i "simplificar el problema" ens seran de gran ajuda.

És un joc per a dos jugadors que, com a material, només necessita un senzill tauler i unes quantes fitxes de dos colors.

Cada jugador, alternativament, pot fer avançar a o retrocedir una de les seves fitxes al llarg de la columna en què està situada. Perd el jugador que no pot moure cap fitxa. Aquesta situació es produeix quan totes les fitxes d'un d'ells queden "acorralades contra la paret".

Final de partida. Guanyen blaves

La quantitat de files pot variar en diferents presentacions del joc. Donat que la "simplificació del problema" és una de les estratègies per analitzar-lo, recomanem que a l'aula ja es presenti directament reduït amb només dues columnes. Encara farem simplificacions sobre aquesta simplificació. Però és un inici abastable.

Tauler per a l'aula

Podeu provar de fer algunes partides. Aquest applet no és automàtic: equival a un tauler i unes fitxes de debò que heu de moure vosaltres.

https://scratch.mit.edu/projects/1104430853

A la segona part de l'article analitzarem, de forma més ràpida, altres variants del joc.

T'animes a analitzar-los i trobar les estratègies guanyadores?

"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar

De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està a saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre La matemática elgante (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat sobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "Patrons a les taules de multiplicar". Comencem.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula

Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.

Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?

• Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal

A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals

Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.

• Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)

Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?

• Suma dels nombres de les diagonals consecutives

Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?

Us animeu a continuar investigant aquests patrons?

Sextines i nombres de Queneuau

Sovint, encara que sembli contradictori, posar restriccions estimula la creativitat. Pensem, per exemple, en els grans descobriments de la geometria grega nascuts de la restricció de l'ús exclusiu del regle i el compàs. I, en un terreny ben diferent, en la imaginació posada en cinema, escriptura o música per esquiva la fèrria censura durant l'època franquista o de la primera transició. En aquest article parlarem d'una forma de poesia, basada en un joc combinatori i que, convenientment adaptat, ens pot servir per a preparar alguna activitat a l'aula que connectin llengua i matemàtiques. Ens pot servir, per exemple, per a una proposta per a Sant Jordi. La forma de poema més convencional, dels poemes que estudiarem. És la sextina, però que podrem convertir, en tercina, cinquina... o el que ens convingui.

• La sextina

Segons moltes fonts, l'inventor de la sextina és el trobador occità del segle XII Arnaut Daniel. Aquesta forma poètica ha arribat fins als nostres dies perquè l'han adoptat altres poetes antics, com Dante, Petrarca, Camões o Fernando de Herrera, i més recents com Kipling, Ezra Pound, Gil de Biedma... A Catalunya s'hi van dedicar, especialment, Joan Brossa i Maria Mercè Marçal, que van escriure llibres sencers amb aquesta forma.

Una sextina estricta és un poema de 36 o 39 versos i, normalment, d'onze síl·labes. Els 36 primers versos s'organitzen en sis estrofes de sis versos cadascuna. Opcionalment, es pot afegir una tornada de tres versos finals (que farien els 39). L'interès matemàtic està les regles combinatòries que s'utilitzen en la seva construcció.

Mirem un exemple: La primera estrofa de la Sextina reivindicativa, de Maria Mercè Marçal ("Terra de mai" dins de "La germana, l'estrangera"), on marquem en negreta les paraules que seran la clau del poema: les "paraules-rima":

Amor, ja que m'has dit que et digui què

vull, t'ho diré ben clar: contra l'horari,

el meu desig reivindica el lleure

total, i tu i el teu desig per paga,

pujar parets d'amor pet tot ofici

i pintar de diumenge la setmana.

Aquestes paraules-rima tornen a aparèixer a la segona estrofa, però en un altre ordre:

Ja ho sé! Tot no pot ser caps de setmana
 i postes de sol. Sí, ja ho sé. I què!
 Deixa'm clamar, adolescent d'ofici,
 per la mort violenta de l'horari
 per mà d'amor. El meu desig, cap paga
 no vol, si posa duanes al lleure.

A la resta d'estrofes tornaran a repetir-se, però de forma que no cauran mai al mateix vers. Per exemple, lleure la trobem al 3r vers, a la 1a estrofa, i al 6è, a la segona. En les següents estrofes sortirà en el 1r, el 2n, el 4t i el 5è vers.

El poema es tanca amb una tornada en què les paraules-rima s'ordenen com a la primera estrofa, posant-ne dos per vers.

amor, per què ens escapça el vol l'horari,
 confina el lleure i, per ben poca paga,
 amo d'ofici, ens roba la setmana?

Podeu llegir tota la sextina, i tres més, en aquest enllaç.

L'esquema general de distribució de les paraules-rima és la següent:

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6
2a	6	1	5	2	4	3
3a	3	6	4	1	2	5
4a	5	3	2	6	1	4
5a	4	5	1	3	6	2
6a	2	4	6	5	3	1

 Podem observar un perfecte quadrat llatí, en què no es repeteix cap paraula a cap fila ni a cap columna.

Hem aplicat a les paraules-rima un mètode de permutació que fa que cada mot vagi a parar a un vers diferent cada vegada. Però, si l'estudiem, veurem, a més, que per la seva forma de construcció, en una permutació més tornaria a l'ordre original. Podem descriure cada permutació com llegir les paraules-rima ordenadament sobre una espiral. La següent animació ens permet veure el model de permutació.

És l'única forma de permutació que, en un cicle de sis moviments, les sis paraules tornen a quedar com al principi? Evidentment que no. Però l'estètica d'aquesta, basada en els desplaçaments sobre una espiral, és prou interessant. Per exemple, ens podem demanar si hi ha altres nombres, a banda del 6, amb n elements i que en n permutacions completi un cicle que el deixi com al principi?

Ho estudiem?

El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"

Al llibre Problemas aritméticos escolares, de Luis Puig i Fernando Cerdán (1988), es proposen dos mètodes de resolució de problemes que podem utilitzar amb força efectivitat en molts d'aquells, més o menys, "escolarment tradicionals".

• Mètode d'anàlisi: partir de la pregunta i retrocedir cap a les dades (quines dades em calen per contestar la pregunta? Les tinc? Si no les tinc que em cal per descobrir-les?...).
• Mètode de síntesi: partir de les dades i avançar cap a la pregunta (què puc saber amb les dades que tinc? És el que em demanen? Si no és així, què podria esbrinar amb el que tinc?...)

Al llibre s'incorporen dos esquemes que il·lustren clarament els dos mètodes.

Mètode d'anàlisi: de la incògnita a les dades

Mètode de síntesi: de les dades a la incògnita

Habitualment, tenim més tendència a pensar d'una manera o de l'altra. És clar que en problemes d'investigació, dels que acostumem (o ens hauríem d'acostumar) a proposar l'aula, aquest esquema és massa rígid. Però, com he comentat, en problemes més tradicionals, tipus "llibre de text", ens poden ser útils. Si més no, per poder pensar preguntes orientadores per a fer al nostre alumnat.

No entrarem ara a posar exemples de resolució d'un mateix problema per cada mètode. Però sí que comentarem un curiós repte que Édouard Lucas planteja al llibre L’arithmétique amusante (1895) i que també trobem al 4t volum de les seves Récréations mathématiques. Aquest problema, com veurem, s'ajusta molt bé a una resolució pel mètode de síntesi.

"El testament del Nabab. Un nabab deixa als seus fills un certa quantitat de diamants d'igual valor, en les següents condicions: El primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat de diamants i la de fills"

 Al llarg de l'article, tot evitant inicialment un plantejament algebraic, comentarem la resolució aritmètica per síntesi. Però també estudiarem la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i descobrirem una connexió una mica inesperada. A més, mostrarem la resolució que proposa Lucas i una d'algebraica.

Però, abans d'entrar en matèria, cal esmentar que Lucas subtitula el repte com "Un problema d'aritmètica índia" i, fins i tot, relaciona la seva resolució amb mètodes proposats pel matemàtic indi, del segle V, Aryabhata. No sabem si és cert o no. En tot cas, els problemes de repartiments, i entre ells els d'herències, són un clàssic en els llibres matemàtics antics.

Comencem a resoldre el problema?

"Camins de glòria" i matemàtiques

 Camins de glòria és el títol català de la pel·lícula d'Stanley Kubrick Paths of Glory. En castellà la vam conèixer com a Senderos de gloria. Es va estrenar l'any 1957, però a Espanya no la vam poder veure als cines fins a l'any 1986, onze anys després de la mort del dictador. Una "transició" lenta. A França, però, també van haver d'esperar fins al 1975. Un film sens dubte perillós perquè fa pensar, i molt. Menys coneguda que la pel·lícula és la novel·la en què es basa, escrita per Humphrey Cobb i publicada el 1935, abans de la 2a Guerra Mundial. Cobb havia lluitat al front durant la Gran Guerra i sabia de què parlava. Tant el film com la novel·la són dos grans al·legats antibel·licistes i antimilitaristes. 

Estem en un d'aquells casos en què la pel·lícula supera en molts aspectes a la novel·la. Però aquesta també és molt interessant de llegir. Vaig tenir a les mans una edició publicada durant el franquisme. No recordo si als anys 50 o 60. Era molt curiós llegir el pròleg en què, tot i criticar els aspectes antimilitaristes i defensar l'exèrcit francès, es donaven un seguit d'arguments per a defensar la publicació de l'obra. Imagino que era una argúcia editorial per convèncer a la censura  Actualment tenim una nova traducció castellana (en català no em consta que n'hi hagi cap) feta per Ricardo García Pérez. Aquesta és l'edició de la qual transcriurem els fragments relacionats amb les matemàtiques i, molt especialment, amb la probabilitat. Els presentarem per ordre d'aparició... i sense fer espòilers, que cal visitar i revisitar aquesta història. Per altra banda, els fragments triats de la novel·la no apareixen a la pel·lícula.

Veurem que poden ser un bon punt de partida per a parlar a l'aula de certes creences que tenim en el camp de la probabilitat.

T'animes a llegir-los?

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".

Cada casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.

Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.

Però en aquesta altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que finalitza amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:

• quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
• és indiferent com estan distribuïdes?
• observant una disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?

Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Continuem l'exploració del problema?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: per descomptat, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor a l'autor Walter Penney que el va publicar l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant, jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:

• Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix a passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.

• La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?

Mirem com podem portar el problema a l'aula?

D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el pròxim, problemes per portar a l'aula.

Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix a plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort

Un teorema ocellaire

Un dels protagonistes de la història del Màgic d'Oz (L. Frank Baum, 1900) és l'espantaocells. La seva aspiració és aconseguir un cervell, i per això s'uneix a la protagonista, Dorothy, que vol tornar "al seu món", a Kansas, i no sap com. Han d'anar a la ciutat Maragda on el gran màgic d'Oz els podrà concedir els seus desitjos. Més endavant el grup s'ampliarà amb l'home de llauna, que vol un cor, i el lleó covard, que vol coratge. Després d'unes quantes aventures el màgic, tot i ser un farsant, és capaç d'acontentar als tres acompanyants de la Dorothy.  Concretament a l'espantaocells li omple el cap amb segó i agulles (les agulles, segons el lleó proven que s'ha tornat "molt agut"). A la pel·lícula El màgic d'Oz (Víctor Fleming, 1939) resolen millor aquesta situació, ja que el pseudomag regala a l'espantaocells un diploma. I aquí entren les matemàtiques en aquesta història. Només rebre el diploma l'espantaocells declama, per provar la seva intel·ligència un enunciat que recorda al teorema de Pitàgores.

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

És interessant llegir l'article de José M. Sorando a la revista Suma (n. 67.juny 2011) on explica com a la sèrie dels Simpson van recuperar aquesta frase de l'espantaocells i ens fa la comparació entre l'original anglès i els doblatges al castellà i al castellà-llatí. En tot cas aquí enllacem amb la continuació que explica Simon Singh al llibre Los Simpson y las matemáticas. Ens hi narra com tres matemàtics de la Universitat Estatal d'Augusta es van plantejar demostrar la proposició contrària a la de l'espantaocells, i que van anomenar la "conjectura de l'ocell".

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles MAI és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

La frase de l'espantaocells no fa referència a si la suma es refereix a la dels costats iguals o no. Per tant. si anomenem a a la mesura dels costats iguals del triangle isòsceles i b a la del costal desigual tenim dues desigualtats a demostrar.

És una conjectura que no és gens difícil de demostrar i us convidem a portar-la a l'aula (a partir de 3r d'ESO).  La demostració relaciona aspectes algebraics amb la seva interpretació geomètrica propiciant una bonica connexió. Així i tot, a continuació, afegim la demostració.

Un problema de pals que no és un pal de problema

Hi ha problemes que, a primer cop d'ull, no tenen cap gràcia especial, però quan t'hi poses comences a descobrir sorpreses: perquè el repte és més interessant del que inicialment semblava, perquè la solució té aspectes que van contra la teva intuïció o perquè aquesta té algun tret de bellesa, perquè et planteja relacions amb altres problemes coneguts o et deriva a problemes nous, perquè et convida a establir relacions entre diferents àmbits matemàtics com l'àlgebra i la geometria... El problema que presentem ara té totes aquestes virtuts. Apareix al llibre hindú del segle IX Ganita Sara Sangraha del matemàtic jainista Mahavira. També està recollit al Līlāvatī (problemes 157 i 158) de Bhaskara II (segle XII). Jo l'he trobat al llibre Gimnasia mental 2 de Jordi Deulofeu (amic, mestre de mestres i un dels nostres Gardners particulars).

Llegim l'enunciat:

---

Tenim dos pals rectes de 6 i 4 metres d'alçada, respectivament, i que estan clavats perpendicularment al terra. Col·loquem dos cables perfectament tensats que van des de la base de cadascun dels pals fins a la part superior de l'altre. A quina alçada es creuen els dos cables?

---

En primera instància sembla que desconèixer la distància entre els pals ens impossibilita el problema, però la realitat és que amb les dades que se'ns donen en tenim prou.

Us animem a resoldre el problema i després continuar llegint, perquè darrere de la solució hi ha tot un camí a seguir.

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobretot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dos dels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel mateix autor.

Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.

   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".

(../..)

   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?

Un llibre amb problemes històrics: "Expediciones matemáticas"

El subtítol d'aquest llibre de Frank J. Swetz, publicat per La esfera de los libros, diu "L'aventura dels problemes matemàtics a través de la història". Hauríem d'aclarir que la majoria dels 500 problemes que recull són el que l'autor anomena problemes descriptius, que, per entendre'ns, serien de l'estil dels problemes d'aplicació que trobem encara actualment a molts llibres de text. La lectura d'aquests problemes fa venir una certa esgarrifança quan ens fa pensar que els manuals matemàtics no han canviat gaire des de les tauletes babilòniques de fa cinc mil anys. Mirem, si no, un exemple que el llibre qualifica com "el més antic dels problemes descriptius conegut":

Un graner de civada. Un home rep 7 sila de gra. Quants eren els homes?
(1 graner =  2 400 gur; 1 gur = 480 sila)

La diferència democràtica és que els manuals (en la forma que siguin: tauletes, papirs, rotllos, llibres manuscrits, impresos...) de l'antiga Mesopotàmia, Egipte, Grècia... provinents de la cultura xinesa, hindú... estaven adreçats a la preparació d'especialistes que gaudirien de grans o petits privilegis, mentre que als llibres de text l'objectiu és que eduquin al conjunt de la població. Un altre tema és pensar que aquests tipus de problemes són els que han de centralitzar l'educació matemàtica dels nostres infants.

Hasta el infinito y más allá

Clara Grima, amb la col·laboració en les il·lustracions de Raquel Garcia Ulldemolins, és una activa i experimentada "bloggera" de la divulgació matemàtica. Els seus matecontes els podem trobar a Mati y sus mateaventuras i Mati, una profesora muy particular. En ells trobarem a la Mati, els nens Sal i Ven i al gos Gauss. I matemàtiques, moltes matemàtiques. Ara algunes d'aquestes mateaventures s'han recollit en forma de llibre. Benvingut sia.

Vols saber més sobre el llibre?

El contable hindú + El problema de les particions

L'escriptor estatunidenc David Leavitt va escriure al 2007 aquesta novel·la on recrea, entre altres temes, la relació entre els matemàtics Godfred Harold Hardy i Srinivasa Ramanujan, el comptable hindú del títol. No ha estat fins el 2011 que hem disposat d'una traducció al castellà. A l'hora de la veritat el títol és lleugerament enganyós ja que no és Ramanujan l'autèntic protagonista del llibre, la personalitat del qual queda força desdibuixada, sinó que qui focalitzen la narració són Hardy, l'ambient del Trinity College de Cambridge i, en certa manera, la Gran Guerra. Però aquest "petit engany" no treu interès a la novel·la. Si el personatge de Ramanujan queda difús és perquè, fonamentalment, el veiem des de la perspectiva de Hardy, que, amb un caràcter força egocentrista, no està especialment dotat per relacionar-se o comprendre als altres.

És bastant coneguda la història d'aquests dos matemàtics però recordem-la breument. Hardy era un matemàtic amb un cert renom que treballava sovint en col·laboració amb John E. Littlewood. L'any 1913 va rebre una carta d'una dotzena de pàgines plena de fórmules inusuals signada per un desconegut matemàtic, comptable del Port Trust Office de Madràs i que es declarava autodidacta. Hardy i Littlewood van saber valorar el treball que se'ls hi presentava i van fer gestions perquè Ramanujan anés a Anglaterra, cosa que van aconseguir. Ramanujan va fer una estada d'uns cinc anys a la Gran Bretanya, just coincidint amb el període de la Primera Guerra Mundial. Va emmalaltir i moria poc després de retornar a l'Índia.

Hardy i Ramanujan

Tenint en compte que parlem de novel·la i no d'història o biografia, la recreació que es fa de l'època i dels seus personatges, dels seus dilemes, de les seves contradiccions és interessant.

I les matemàtiques tenen una presència, no només inevitable, sinó intencionadament clara. I un dels problemes que del que es parla de forma més reiterada és el de les particions, un problema encara no resolt de forma completa i que té un plantejament que es pot explorar perfectíssimament des de l'educació primària.

Vols conèixer el problema a de les particions?

Soldats amb un gos a mitjanit

La novel·la El curiós incident del gos a mitjanit de Mark Haddon ens explica, en primera persona, la història d'un noi de 15 anys, Cristopher Boone, que té síndrome d'Asperger.

En Cristopher té un gran interès per les matemàtiques i al llibre van apareixent petites reflexions sobre els nombres així com els problemes que el seu protagonista va resolent. Un d'ells és el del Soldats de Conway, problema inventat per John Conway al 1982. Aquest problema es resol amb fitxes sobre un tauler de cel·les il·limitades.

T'animes a conèixer-lo i a jugar-hi?

Llibres d'ocasió i Dudeney

Des del 21 de setembre al 7 d'octubre a Barcelona tenim la 61a Fira del Llibre d'ocasió. Una bona excusa per passejar, remenar i, probablement, tornar a casa amb algun llibre a la butxaca. Fàcilment trobarem antics manuals de matemàtiques, la majoria sense gaire interès. Però també podem sorprendre'ns amb petites joies. Una altra possibilitat és la de trobar d'oferta llibres de col·leccions ja desaparegudes. Enguany estan a bon preu alguns dels volums de la Biblioteca de Desafíos matemáticos que fa uns cinc anys va publicar RBA. Llibres de Martin Gardner, Édouard Lucas, Perelman, Brian Bolt, Pickover... No està la col·lecció completa però déu-n'hi-do. Jo he tornat amb tres recull de Henry E. Dudeney, un dels grans creadors de problemes que va treballar a cavall entre els segles XIX i XX. Un dels seus trencaclosques més és el que transforma un triangle equilàter en un quadrat.

Mirem un parell de problemes?

"La conjetura de Fermat" de Jean d'Aillon

Voici un títol que porta a engany. Si el que us interessa és com fer jugar les matemàtiques en una intriga novel·lesca no us molesteu en llegir aquest llibre. Fermat i la seva conjectura juguen un paper molt tangencial en aquesta obra ambientada a la França del segle XVII, quan els tres mosqueters corrien les seves darreres aventures (Porthos també és un personatge convidat a l'obra). Al llibre hi apareixen els matemàtics Mersenne i Pascal que deleguen en Fermat la invenció d'un codi secret inviolable. Aquest nou codi s'ha de fer arribar al criptòleg del govern del Cardenal Mazarino.