Contra la paret

Rellegint, una mica per casualitat, el magnífic llibre Problema con pautas y números del Shell Centre for Mathematical Education, m'he retrobat amb una gran sèrie d'activitats que molts vam utilitzar durant anys a l'aula. El llibre és del 1984 i es va publicar en castellà el 1993. Des del web del Shell Centre es pot descarregar gratuïtament la versió anglesa en format pdf. Algunes de les propostes estan basades en jocs d'estratègia. Avui en presentem un que titulen com "Contra la paret", però que sovint s'ha presentat com "Acorralat". Recuperar "contra la paret" és un homenatge a un llibre que ha fet un gran servei.

L'ús dels jocs d'estratègia a l'aula de matemàtiques està plenament justificat per la seva íntima relació amb les estratègies de resolució de problemes. I, entre els jocs, va molt bé disposar d'una col·lecció dels que no són especialment llargs d'analitzar, que es puguin resoldre en, pràcticament, una sola sessió. Aquest n'és un, amb el valor afegit que les estratègies de "particularitzar" i "simplificar el problema" ens seran de gran ajuda.

És un joc per a dos jugadors que, com a material, només necessita un senzill tauler i unes quantes fitxes de dos colors.

Cada jugador, alternativament, pot fer avançar a o retrocedir una de les seves fitxes al llarg de la columna en què està situada. Perd el jugador que no pot moure cap fitxa. Aquesta situació es produeix quan totes les fitxes d'un d'ells queden "acorralades contra la paret".

Final de partida. Guanyen blaves

La quantitat de files pot variar en diferents presentacions del joc. Donat que la "simplificació del rpoblema" és una de les estratègies per analitzar-lo, recomanem que a l'aula ja es presenti directament reduït amb només dues columnes. Encara farem simplificacions sobre aquesta simplificació. Però és un inici abastable.

Tauler per a l'aula

Podeu provar de fer algunes partides. Aquest applet no és automàtic: equival a un tauler i unes fitxes de debò que heu de moure vosaltres.

A la segona part de l'article analitzarem, de forma més ràpida, altres variants del joc.

T'animes a analitzar-los i trobar les estratègies guanyadores?

Recordem, abans de començar, que una estratègia guanyadora per a un dels dos jugadors, és un camí que porta indefectiblement a guanyar o a "no perdre" (fer taules). Això implica tenir una resposta per a cada jugada del contrari, per a cada situació del joc. Si l'estratègia és per al 1r jugador, qui comença, a més haurem de tenir alguna o algunes jugades inicials definides.

En aquesta anàlisi farem que comencin sempre les fitxes vermelles.

Primera simplificació del joc: una sola columna

Si només hi ha una columna i dues fitxes la partida no té cap gràcia: guanya qui comença perquè pot posar contra la paret al contrari al primer moviment.

Segona simplificació del joc: dues columnes i tres files

En aquest cas guanyarà el 2n gairebé sense pensar-hi, donat que els tres primers moviments són obligats. Només s'haurà de decidir el quart. Ho veiem?

• La primera jugada de vermelles és obligada: moure a la segona fila d'una de les dues columnes (A o B).
• La resposta de blaves també serà obligada; moure a la segona fila a l'altra columna (B o A, segons el moviment del 1r).
• Vermelles hauran de retrocedir
• Blava avança la fitxa de la mateixa columna i tanca al contrari.

Tercera simplificació: dues columnes i quatre files

Si descartem, per simetria, estudiar les sortides de la columna B, tenim dos possibles inicis: A2 i A3. Els estudiarem per separat.

• Sortida A3

Guanyaran blaves, com hem vist en el tauler 2x3. Només ha de bloquejar la vermella de l'altra columna (moure a B2). A partir d'aquí, si les blaves la van empaitant, vermelles aniran reculant fins a quedar tancades .

• Sortida A2

Aquesta jugada dona tres possibles respostes a blaves: A3, B2 i B3 que també haurem d'estudiar per separat:

• Resposta A3: no és una bona idea. Vermelles bloquejaran a l'altra columna i blaves hauran de recular, quedant tancades a la següent jugada.

Si blaves mouen a A3, vermelles guanyaran jugant a B3

• Resposta B2: tampoc és bona idea. Vermelles bloquejaran a l'altra columna i, fent recular a les blaves, les acabaran tancant. 

Si blaves mouen a B2, vermelles guanyaran jugant a A3

• Resposta B3: Si blaves juguen aquí hi ha tres respostes de vermelles (A1, A3, B2). També toca fer-les una a una, però veurem que ara l'avantatge és sempre per a blaves.

• Si vermelles tornen a A1, blaves avancen la seva fitxa de la mateixa columna. Si observem la situació creada veurem que vermelles avançaran després una casella de forma obligada. La resposta blava posterior és bloquejar la fitxa de l'altra columna i fer recular vermelles fins a tancar-les.

Si vermelles mouen a A1, blaves ho fan a A3

• Si opten per A3, la resposta de blaves és tancar les vermelles a l'altra columna i empaitar per a fer recular després la vermella de la columna A.

Si vermelles mouen a A3, blaves ho fan a B2

• Si trien jugar a B2, blaves respondran a A2, vermelles recularan obligades i blaves les tancaran.

Si vermelles mouen a B2, blaves ho fan a A2

Recapitulem: vermelles, prescindint de simetries entre les columnes A i B, tenen dues sortides possibles. Per a les dues, blaves tenen respostes que li portaran a la victòria. El joc és guanyador per al segon jugador. Podríem fer un diagrama en arbre com aquest (que no està completat fins al final), però si l'observem no és de gran ajuda per a recordar l'estratègia.

Ens anirà molt millor observar què tenen en comú les posicions guanyadores per a blaves. Incloem la posició inicial, ja que sabem que guanyaran blaves, el segon jugador. També una situació que no ens ha sortit a les partides anteriors, però que es podria donar en alguna situació de joc.

Les vuit situacions guanyadores per a blaves si li toca jugar a vermelles

Hi ha un patró en aquestes situacions? Descobrirem la resposta si mirem les separacions entre les fitxes de cada columna: sempre són iguals.

Ara ens queda clara l'estratègia per al 2n jugador. La situació inicial té les separacions equilibrades. A cada jugada el primer jugador, amb vermelles, desparellarà les distàncies i, a continuació, el 2n jugador les tornarà a equilibrar. I així fins al final.

També podem descriure els moviments guanyadors per al segon jugador d'una altra manera:

• Si vermelles avancen una determinada quantitat de caselles, blaves avancen la mateixa quantitat a l'altra columna.
• Si vermelles retrocedeixen una determinada quantitat de caselles, blaves avancen la mateixa quantitat i a la mateixa columna.

Tornem a dues columnes i cinc files, i sis files, i set files...

Només cal que juguem unes poques partides i veurem que l'estratègia anterior és vàlida independentment de la quantitat de files que tingui el tauler. Equilibrant les distàncies de separació de les dues columnes, el segon jugador sempre guanyarà. Pots veure l'estratègia aplicada en aquest joc de 2x5 en el què sempre comença l'ordinador.

Files resoltes. Ampliem columnes

Com serà el joc amb tres columnes? Guanyarà el primer. Només cal que bloquegi la fitxa contrària d'una columna. El joc queda reduït ara a dues columnes. A partir d'aquí,blaves només han d'aplicar l'estratègia per al segon jugador explicada abans.

I amb quatre? Guanyarà el segon. Aquesta vegada es tracta de dividir el tauler en dos parells de columnes i aplicar a cada parell l'estratègia general vista abans d'"igualar distàncies".

Ara ja ho tenim pel nostre joc inicial de 5 columnes: l'estratègia torna a ser per al primer: bloqueja una columna i aplica l'estratègia ja coneguda als dos parells de columnes restants.

El llibre explica l'estratègia de forma simplificada tot fent referència a "jugar amb la simetria". La concreta amb el moviment inicial a la columna central per a poder aplicar aquesta simetria, però ja hem vist que podem començar bloquejant a qualsevol columna.

"Aquest joc hauria d'acabar amb una victòria per al jugador que mou primer. Si les blanques mouen la peça central tan lluny com sigui possible, després qualsevol moviment de les peces negres a un costat d'aquesta columna, pot ser imitat per les blanques a l'altra banda. (per exemple, si negres mouen a X, llavors blanques l'han d'imitar movent a Y). Aquest tipus de joc simètric garantirà que les blanques facin l'últim moviment i, per tant, guanyin."

Imatge del llibre.
Comencen blanques i guanyen

Modifiquem el joc

Quan ja es té l'estratègia guanyadora d'un joc, el matem. Una bona idea és modificar les regles.

1a variació: Una proposta del llibre és col·locar les fitxes aleatòriament, sempre amb les blaves per sota de les vermelles, i continuar el joc a partir d'aquesta situació. Proposa un cas com el següent:

Si comencen blaves, que ja té una vermella bloquejada, només han de moure a A4 per a equilibrar distàncies. Però, si comencen vermelles... que passarà?

2a variació: Una altra proposta podria ser que les fitxes puguin avançar o retrocedir només una quantitat limitada de caselles. Per exemple una o dues. Per a estudiar-ho podem reduir columnes:

• Amb una columna i cinc files guanyen blaves. Si vermelles avancen una casella, blaves avancen dues. I si vermelles n'avancen dues, blaves avancen una. És una mena de NIM on la distància separadora de "tres caselles" és clau.

• Amb una columna i més files hem de tenir en compte aquesta distància separadora de tres o els seus múltiples:
• amb 6 files la separació inicial és 4; guanya el 1r posant-se a tres de distància.
• amb 7 files guanya també el primer; la separació inicial és 5 i es pot posar a tres avançant-ne dues caselles.
• amb 8 files la separació inicial és de 6, múltiple de 3; facin el que facin vermelles, les blaves podran reduir la distància a 3.
• etc.

Una columna: 6, 7 i 8 files

• Què passarà amb dues columnes? I amb tres? I amb 4?... Bé, aquí les files compten. Si la separació és un múltiple de tres guanya el segon jugador jugant columna a columna. Si no és múltiple de tres dependrà de si la quantitat de columnes és parell o senar. Si és parell també guanya el segon i si és senar el primer. Us ho deixem estudiar.

I a l'aula?

• Com hem comentat a l'inici, aquest joc i les seves variants, són una bona proposta per a treballar aspectes de la resolució de problemes com la seva simplificació, aplicar simetries, etc. També per a treballar altres processos, ja que toca aspectes com les conjectures, la cerca de patrons, les argumentacions, l'anotació i representació del joc, o les connexions amb altres jocs (com el cas del NIM). Algunes de les reduccions del joc són "de sostre baix" i, després, es pot anar ampliant la dificultat.
• La descripció feta a l'article pot servir de guia per a la transferència a l'aula.
• I recomanem mirar el llibre: no us acabareu les activitats. I, malgrat els anys, moltes de les orientacions són perfectament vàlides en l'actualitat.