Un teorema ocellaire

Un dels protagonistes de la història del Màgic d'Oz (L. Frank Baum, 1900) és l'espantaocells. La seva aspiració és aconseguir un cervell i per això s'uneix a la protagonista, Dorothy, que vol tornar "al seu món", a Kansas, i no sap com. Han d'anar a la ciutat Maragda on el gran màgic d'Oz els podrà concedir els seus desitjos. Més endavant el grup s'ampliarà amb l'home de llauna, que vol un cor, i el lleó covard, que vol coratge. Després d'unes quantes aventures el màgic, tot i ser un farsant, és capaç d'acontentar als tres acompanyants de la Dorothy.  Concretament a l'espantaocells li omple el cap amb segó i agulles (les agulles, segon el lleó proven que s'ha tornat "molt agut"). A la pel·lícula El màgic d'Oz (Víctor Fleming, 1939) resolen millor aquesta situació ja que el pseudomag regala a l'espantaocells un diploma. I aquí entren les matemàtiques en aquesta història. Només rebre el diploma l'espantaocells declama, per provar la seva intel·ligència un enunciat que recorda al teorema de Pitàgores.

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

És interessant llegir l'article de José M. Sorando a la revista Suma (n. 67.juny 2011) on explica com a la sèrie dels Simpson van recuperar aquesta frase de l'espantaocells i ens fa la comparació entre l'original anglès i els doblatges al castellà i al castellà-llatí. En tot cas aquí enllacem amb la continuació que explica Simon Singh al llibre Los Simpson y las matemáticas. En ell ens narra com tres matemàtics de la Universitat Estatal d'Augusta es van plantejar demostrar la proposició contrària a la de l'espantaocells, i que van anomenar la "conjectura de l'ocell".

"La suma de les arrels quadrades de dos costats d'un triangle isòsceles MAI és igual a l'arrel quadrada de l'altre costat."

La frase de l'espantaocells no fa referència a si la suma es refereix a la dels costats iguals o no. Per tant. si anomenem a a la mesura dels costats iguals del triangle isòsceles i b a la del costal desigual tenim dues desigualtats a demostrar.

És una conjectura que no és gens difícil de demostrar i us convidem a portar-la a l'aula (a partir de 3r d'ESO).  La demostració relaciona aspectes algebraics amb la seva interpretació geomètrica propiciant una bonica connexió. Tot i així, a continuació, afegim la demostració.

Demostració

En principi la més fàcil de demostrar algebraicament és la segona de les desigualtats, ja que, clarament, si la considerem tal com la planteja l'espantaocells, ens porta a un absurd: és veu que només es pot acomplir si el costat desigual és zero, amb la qual cosa "no tenim triangle".

El primer cas sí que sembla tenir una solució particular, la qual cosa entraria en contradicció amb el que nosaltres volem demostrar: que "mai" s'acomplirà.

Fem primer una mica de treball algebraic:

Sembla que tenim una solució: quan el costat igual segui la quarta part del desigual. Però aquest cas, si no ens limitem únicament a mirar el resultat algebraic, també és clarament absurd. La suma dels costats desiguals ha de ser superior al desigual per poder construir el triangle. Si el cost desigual és una quarta part el triangle no es tanca.

La "conjectura de l'ocell" s'ha transformat en teorema.

Amb GeoGebra

Una altra possibilitat és fer una construcció amb GeoGebra que permeti observar que, de fet, la suma de les arrels dels costats iguals és sempre superior a l'arrel del costat desigual. L'única eina especial que cal saber és com construir, amb regle i compàs, l'arrel quadrada d'un nombre, cosa que fem allargant el segment del que volem fer l'arrel en una unitat i aplicant convenientment el teorema de l'altura.