El problema del testament del Nabab i la "resolució per síntesi"

 Al llibre Problemas aritméticos escolares, de Luis Puig i Fernando Cerdán (1988), es proposen dos mètodes de resolució de problemes que podem utilitzar amb força efectivitat en molts d'aquells, més o menys, "escolarment tradicionals".

• Mètode d'anàlisi: partir de la pregunta i retrocedir cap a les dades (quines dades em calen per contestar la pregunta? Les tinc? Si no les tinc que em cal per descobrir-les?...).
• Metode de síntesi: partir de les dades i avançar cap a la pregunta (què puc saber amb les dades que tinc? És el que em demanen? Si no és així, què podria esbrinar amb el que tinc?...)

Al llibre s'incorporen dos esquemes que il·lustren clarament els dos mètodes.

Mètode d'anàlisi: de la incògnita a les dades

Mètode de síntesi: de les dades a la incògnita

Habitualment, tenim més tendència a pensar d'una manera o de l'altra. És clar que en problemes d'investigació, dels que acostumem (o ens hauríem d'acostumar) a proposar l'aula, aquest esquema és massa rígid. Però, com he comentat, en problemes més tradicionals, tipus "llibre de text", ens poden ser útils. Si més no, per poder pensar preguntes orientadores per a fer al nostre alumnat.

No entrarem ara a posar exemples de resolució d'un mateix problema per cada mètode. Però sí que comentarem un curiós repte que Édouard Lucas planteja al llibre L’arithmétique amusante (1895) i que també trobem al 4t volum de les seves Récréations mathématiques. Aquest problema, com veurem, s'ajusta molt bé a una resolució pel mètode de síntesi.

"El testament del Nabab. Un nabab deixa als seus fills un certa quantitat de diamants d'igual valor, en les següents condicions: El primer agafa un diamant i 1/7 dels que queden; el segon agafa dos diamants i 1/7 dels que queden; el tercer agafa tres diamants i 1/7 del que queda, i així successivament. Després del repartiment de tots els diamants, totes les parts obtingudes són iguals. Es demana la quantitat de diamants i la de fills"

 Al llarg de l'article, tot evitant inicialment un platenjament algebraic, comentarem la resolució aritmètica per síntesi. Però també estudiarem la seva generalització per a diferents particions (en terços, quarts, etc.) i descobrirem una connexió una mica inesperada. A més, mostrarem la resolució que proposa Lucas i una d'algebraica.

Però, abans d'entrar en matèria, cal esmentar que Lucas subtitula el repte com "Un problema d'aritmètica índia" i, fins i tot, relaciona la seva resolució amb mètodes proposats pel matemàtic indi, del segle V, Aryabhata. No sabem si és cert o no. En tot cas, els problemes de repartiments, i entre ells els d'herències, són un clàssic en els llibres matemàtics antics.

Comencem a resoldre el problema?

Com hem dit, inicialment, defugirem l'utilització de l'àlgebra en la resolució del problema. Atacarem una resolució purament lògico-aritmètica.

Tal com està plantejat l'enunciat és difícil retrocedir de la pregunta a les dades (anàlisi). Per tant, mirem algunes coses que puguem saber a partir d'elles (síntesi). Comencem estudiant què podem esbrinar, ni que sigui de forma aproximada, observant que en el càlcul de les parts de cada fill s'han de fer setens en una de les seves fases.

• Què ens diuen els setens?

Del denominador de la fracció podem deduir una quantitat plausible de fills. També de tenir en compte que el primer només retira un diamant abans de fer la partició en setens i que tots acaben amb la mateixa quantitat de diamants, és a dir, que s'ha fet una partició exacta de la quantitat inicial. Una de les primeres coses que podem deduir és que no poden ser 8 germans o més, perquè si el primer es queda pràcticament un setè sencer ens faltarien diamants repartint-los en parts iguals entre vuit. Tampoc poden ser set germans exactament i per la mateixa raó: el primer es queda pràcticament un setè del total inicial, però no arriba. De fet, també podem veure que la fracció del total amb la que acaba cada germà ha de ser propera a 1/7, però sense arribar-hi. La facció més propera a 1/7 de la quantitat inicial serà 1/6. No és molt arriscat pensar, doncs, que la quantitat de fills és 6.

Una altra cosa que sabem, ja que els diamants no els partirem en trossets, és que un cop restat un de la quantitat total inicial tenim un múltiple de set. Si no el primer germà no podria agafar, ni deixar, una quantitat entera de diamants. Dit d'una altra manera, la quantitat inicial excedeix en un a un múltiple de 7. Poden ser nombres com 8, 15, 22, etc.

• Podem esbrinar més coses a partir de l'enunciat?

 La resposta és que sí. Per exemple, si tenim en compte que el primer dels fills segur que té un diamant (el que aparta abans de dividir per 7), que el segon en tindrà un mínim de dos, el tercer tres, etc., podem pensar una quantitat mínima de diamants. Continuem amb la hipòtesi de sis germans:

Quantitat mínima total: 1+2+3+4+5+6 = 21 diamants

Si ara busquem nombres, a partir de 21, de la forma 7n+1 trobarem 22, 29, 36, 43... 

No són massa nombres per fer proves.

• Primera resolució: per tempteig

Si provem amb el primer dels nombres, 22, veurem que no ens funciona a partir del segon germà, perquè ja no obtenim com a resultat un nombre natural.

• Fill 1: 22-1=21; 1/7=3; es queda 4 diamants (1+3) i en deixa 18 (22-4). 
• Fill 2: 18-2=16; 16/7=2,285...

 El 29 tampoc ens funcionarà. Però veurem que el 36 ens dona la solució del problema:

• Fill 1: 36-1=35; 35/7=5; es queda 6 diamants (1+5) i en deixa 30 (36-6). 
• Fill 2: 30-2=28; 28/7=4; se'n queda 6 diamants (2+4) i en deixa 24 (30-6).
• Fill 3: 24-3=21; 21/7=3; se'n queda 6 diamants (3+3) i en deixa 18 (24-6).
• Fill 4: 18-4=148; 14/7=2; se'n queda 6 diamants (4+2) i en deixa 12 (18-6).
• Fill 5: 12-5=7; 7/7=1; se'n queda 6 diamants (5+2) i en deixa 6 (12-6).
• Fill 6; 6-6=0: se'n queda els 6 que resten.
  
  
•  Primera revisió del problema: simpliquem el tempteig.

Sempre cal revisar la resolució d'un problema per si la podem millorar.  Per exemple, ens podem demanar si ens podríem haver evitat el tempteig. La resposta és que sí. Només observar que, si la quantitat de fills és sis, la quantitat total de diamants ha de ser un mútliple de 6. Per què? Perquè la part que els hi ha tocat del total (1/6) ha de ser també un nombre natural. Només haurem de trobar un nombre de la forma 7n+1 que també sigui múltiple de sis. El més petit que trobem és 36. 

Si provem amb nombres més grans que acompleixen també les dues propietats, com 78, 120, 162, etc. veurem que els repartiments no funcionen. Vol dir això que 36 és solució única? De moment, no ho podem saber.

•  Segona revisió del problema: i si les parts del testament són terços, quarts, cinquens...

Intentar generalitzar un problema és sempre interessant. No cal dir que no és difícil reproduir els raonaments fets per altres quantitats particions. Per exemple, si el testament manés repartir, després de les retirades prèvies de diamants per cada fill en el seu torn, en terços, veurem que una solució pot ser 4 diamants i 2 germans, o que per una divisió en quarts la resposta seria 9 diamants i 3 germans. No és difícil fer una conjectura de generalització.

La conjectura sembla plausible. Continuem amb el dubte de si aquestes solucions són úniques. Podem trobar una justificació no algebraica de les solucions?

• Una connexió interessant

Observem gràficament la solució obtinguda del nostre problema original.

A banda de veure que la quantitat total de diamants és un nombre quadrat, amb tants fills com diamants per fill, observem també dos nombres triangulars. El blau representa els diamants que reben per "ordre de fill" i els vermell els de les divisions en setens. Té sentit que la quantitat total hagi de ser un quadrat? Del tot. L'útltim dels fills ha d'agafar, amb la quantitat que li toqui, tots els diamants que queden, perquè si agafés 1/7 del que li queda sobrarien diamants. Se n'ha de trobar tants com el seu número s'ordre. Això força que la quantitat de fills i de quota de diamants siguin iguals.

Les quantitats donades a cada fill per norma, abans d'afegir el setè, són una sèrie progressiva creixent (1, 2, 3, 4...) i que formen un nombre triangular. Si tots han d'acabar amb la mateixa quantitat de diamants, per a cada fill anterior a l'últim hem de fer una sèrie regressiva, dels seus setens correponents, que compensi el que ha agafat "per ordre" i iguali amb el germà anterior. Així el penúltim afegirà un diamant amb el seu setè, l'antepenúltim dos, l'anterior 3... És a dir, entre tots els diamants que s'agafen "a setens", formaran el nombre triangular immediatament anterior al de la quantitat de fills. I recordem que la suma de dos nombres triangulars consecutius és sempre un nombre quadrat.

• Tercera revisió del problema: la solució és única.

Acabem de veure que la solució del total de diamants ha de ser un nombre quadrat i que, el costat d'aquest quadrat, ha de ser la quantitat de fills. També que aquest costat és una unitat inferior a la mida de la partició. Fer set parts a cada nou repartiment, implica que són sis fills. Les expressions generals que havíem obtingut a la taula són correctes. I, a més, ara ja podem afirmar que la solució és única per a cada cas.

L'observació de que la quantitat de diamants ha de ser la suma de dos nombres triangulars també la podíem haver intuït des del començament. Això significa que tenim una nova resolució "sintetitzada".

• La "resolució" d'en Lucas

Édouard Lucas proposa una visualització de la solució molt interessant i que us presentem en la següent animació.

Cal dir que Lucas fa una trampa. L'assenyala molt bé Italo Ghersi en el seu llibre Matematica dilettevole e curiosa, del 1913, i on recull altres problemes de Lucas. Ghersi diu "Aquest mètode, que podem anomenar gràfic, té el defecte de començar per la solució... en comptes d'acabar amb ella; es parteix d'un quadrat de 36 peces... perquè se sap que han de ser aquestes." És a dir, tenim més un visualització de la solució que una autèntica resolució. Lucas no explica d'on treu el 36.

• Anem a l'àlgebra

Podem resoldre el problema amb particions en setens molt fàcilment si hem fet els raonaments inicials per a deduir que la quantitat de fills, si més no plausiblement, és de 6. Només cal igualar la part que rep el primer fill (un més 1/7 del que queda) amb el que s'obté de dividir el total de diamants entre 6, ja que tots reben la mateixa quantitat final.

Però també el podem resoldre sense aquest supòsit; sense tenir en compte la quantitat total de germans. Només cal expressar algebraicament el que reben el 1r i el 2n germà i igualar les dues expressions, ja que sabem que al final tenen la mateixa quantitat. Aquesta idea ens pot servir també per qualsevol tipus de partició amb altres denominadors. Fent-ho així, tornarem a arribar a la conclusió de que la quantitat de fills ha de ser a-1 i el total de diamants (a-1)². Podeu veure el desenvolupament algebraic d'aquest problema en el següent document enllaçat.

I a l'aula?

Aquest és un problema que, segons com es vulgui atacar, és plantejable a tota la secundària. Fins i tot, amb versió "setens" o denominadors menors, al final de la primària.

• Una possibilitat és plantejar una situació inicial senzilla (amb quarts, cinquens...) i, després d'una investigació per tempteig pur o tempteig orientat, investigar la generalització "a la força bruta" i investigar el patró de la generalització utilitzant algun full de càlcul. En aquest enllaç en teniu un exemple de full de càlcul que permet canviar els denominadors i veure quan s'obté una solució amb tots els nombres naturals i iguals. No és, si més no del tot, "pensament computacional", però sí que fem servir eines tecnològiques. També és una situació que ens permet ensenyar a utilitzar les fórmules del full de càlcul.
• És important que tinguem pensades les preguntes que volem fer servir a l'aula per orientar les resolucions de problemes o les qüestions d'ampliació. El guió plantejat a l'explicació ens pot donar pistes sobre on dirigir l'atenció del nostre alumnat. En concret, les de la part incial de l'article, apunten a intentar esbrinar el que podem descobrir a partir de les informacions aportades per l'enunciat: quants fills han de ser, comparar fraccions...
• La connexió amb els nombres triangulars no és, inicialment, evident. Especialment si no es coneixen. És una oportunitat per treballar-los.
• Aquest problema ens pot servir de "carta de presentació" per altres problemes curiosos de repatiments i fer observar que sempre han estat una preocupació històrica. Un exemple el trobem, al llibre Summa de l'art d'Arismètica, de Francesc Santcliment i imprés al segle XV. Està considerat el primer llibre de matemàtica comercial en català, i un dels primers d'Europa. En ell hi ha tot una capítol dedicat als repartiments proporcionals titulat "Regles de companyies". L'autor hi diu "car per ço es diuen de companyies, que així es passen a risc de perdre com de guanyar i, guanyant, que cadascú n'haja tal part segons té o ha estat en la companyia, i perdent per lo semblant". Mirem un problerma del llibre:

"...han comprat lo càrrec d'una nau, i lo primer paga 1/2. I lo segon 1/3. I lo terç paga 1/4. I venent lo dit càrrec i trobent-se en guany 357 lliures. Vejam que té d'haver cadascú segons la part que cadascú ha pagat"

Pàgina de la Summa amb part de la resolució del problema

Un dels aspectes interessants del problema és que les parts aportades entre els tres comerciants suma més de la unitat. Si volem fer un repartiment apropiat amb el sistema monetari català de l'època, hem de tenir en compte que una lliura són 20 sous i un sou, 12 diners. 

També als Els nou capítols de les arts matemàtiques, llibre xinès del segle III a.n.e, en dedica un apartat: "Repartiments proporcionals segons el rang". Un exemple: 

 

"Tenim cinc oficials de rangs diferents entre els quals s'han de repartir 5 monedes segons el rang als quals corresponen, respectivament 5,4,3,2 i 1. Quina quantitat en rep cadascun?" (Nota: una moneda es pot fraccionar)