"Assagem" amb el rugbi

Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.

Però també hi ha tot un arc, conegut com a arc capaç, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.

L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.

La situació en les que un equip obté més punts és amb l'assaig: 5 punts. Un assaig s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'assaig el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una transformació. Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'assaig posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, línia o recta de transformació. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.

En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la línia de transformació no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la construcció feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.

Enllaç a la construcció interactiva

Un cop plantejada la situació venen les preguntes:

• Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?
• Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?

Ho estudiem?

On posar la pilota?

Primer cal fer algunes consideracions prèvies

• Els dos pals i el lloc on plantarem la pilota formaran un triangle circumscrit en una circumferència que tindrà el seu centre en algun punt de la mediatriu que passa entre els dos pals.
• Com hem vist abans, tots els punts situats sobre aquesta circumferència i en l'arc que està al mateix costat del segment format pels dos pals, tindran la mateixa mesura.
• Les solucions vàlides estaran en un o dos punts de la circumferència que toquin o tallin la línia de transformació.

No és difícil observar que, a mesura que el radi de la circumferència va augmentant, l'angle de tir va disminuint. Si la circumferència no toca la de la recta de transformació no tenim solucions. Quan la talla veiem que hi apareixen dues, amb angles iguals, però que també van fent-se més petits.

Enllaç a la construcció amb GeoGebra

Quan tindrem la solució òptima? Sembla lògic: quan la circumferència només toqui la recta, no quan la talli. És a dir: en el punt de tangència. A partir d'aquí l'angle començarà a minvar.

L'angle màxim, que talla la recta, s'obté en el punt de tangència: 36,31º
Enllaç a la construcció dinàmica per a comparar solucions

Com es distribueixen els punts òptims?

Si anem movent la recta perpendicular al punt d'assaig, la recta de transformació, on s'aniran col·locant els punts òptims de xut? Quina línia formaran?

Abans de continuar llegint potser que feu una conjectura. I després de fer-la proveu amb aquesta construcció que té la traça del punt activada.

Enllaç a la construcció dinàmica

Observem que és una corba, però no podem veure exactament de quin tipus és. GeoGebra ens permet trobar el lloc geomètric i veure més clarament la línia.

Veure-li dos braços comença a fer sospitar de quina mena de corba es pot tractar. Potser que ara tirem una mica d'analítica. Intentarem buscar quina és la funció de la línia.

• L'origen de coordenades serà el punt mitjà entre els dos pals. L'eix d'abcises serà, en conseqüència la línia d'assaig.
• La x ens vindrà donada per la intersecció de la recta de transformació amb la d'assaig.
• La y, que haurem de calcular, ens indicarà la segona coordenada de la posició de tir.

Un gràfic ens ajudarà a calcular el valor de l'ordenada.

La clau està en el triangle rectangle vermell:

• La y és un dels catets. Té la mateixa distància que hi ha del punt A (intersecció de la línia de transformació amb la d'assaig) al punt P (que està en la paral·lela a línia d'assaig).
• L'a, l'altre catet, és la meitat de la distància entre els pals.
• El radi de la circumferència, la línia OB, és la hipotenusa. Per construcció té la mateixa longitud que CA i OP, que és la x de la nostra funció.

Si apliquem el teorema de Pitàgores i aïllem la y, tindrem la funció buscada i que es correspon, exactament, amb el lloc geomètric trobat anteriorment.

Si no hem reconegut la corba encara podem posar la fórmula en formes més "canòniques" i veure que es correspon a la d'una hipèrbola.

A partir de la fórmula de la funció no és massa complicat veure que les asímptotes formen 45º amb els eixos de coordenades.

A l'enllaç teniu una construcció amb GeoGebra que us permetrà experimentar amb tot el que s'ha explicat a l'article.

Construcció amb GeoGebra

I a l'aula?

• Aquesta situació ens proporciona un bon context per treballar l'angle inscrit sobre una circumferència i les seves propietats. Tal com hem plantejat l'activitat no juga un paper important en l'activitat, però també el podem relacionar amb l'angle central.

• Per trobar les condicions en què s'ha de donar l'angle màxim pot ser una bona pista mostrar en GeoGebra la circumferència circumscrita a l'angle sobre la línia de transformació.

• Com s'ha vist en l'estudi del problema, aquesta situació permet diferents nivells d'aprofundiment. Podem arribar fins on els coneixements i l'edat de l'alumnat ens ho aconsellin. Però podem aprofitar l'eina de GeoGebra per parlar del que significa l'expressió lloc geomètric i, sense demostrar-ho que ho és, comentar que és una hipèrbola. Ja la podrem recuperar en un altre moment quan l'estudiem amb més calma.