No perdem el compàs

És ben conegut que, a l'antiga Grècia, els problemes geomètrics s'havien de resoldre amb una restricció: les úniques eines disponibles eren el regle i el compàs. No s'especifica sempre, però, que el regle era sense graduar i el compàs col·lapsable, és a dir, que en aixecar-lo del paper es tancava automàticament. Això implicava que, al no queda obert, el compàs no servia per a transportar longituds. Treballar amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable, és equivalent a treballar només amb rectes i circumferències: les línies oberta i tancada més simples. Amb aquestes restriccions es conservava l'essència de puresa intel·lectual de les matemàtiques i es donava més valor a l'exactitud teòrica d'una construcció geomètrica "pensada", deduïda i demostrada lògicament, que a qualsevol mètode pràctic real, amb altres instruments, que estarà ple d'inexactituds. S'atribueix a Plató el comentari de què l'ús d'altres instruments "degradaven i feien malbé el més excel·lent de la geometria traslladant-la de l'incorpori i intel·lectual a allò que és sensible i emprar-la en els cossos que són objecte d'oficis toscos i manuals".

Però que no es tanqui el compàs, poder transportar un segment, una longitud, és una eina bàsica per a fer construccions geomètriques còmodament. Per tant, si trobem una manera de traslladar un segment rectilini de forma que comenci en un altre punt extern al mateix segment, podrem admetre que, a partir d'aquell moment el nostre compàs no es col·lapsi. A més, que no es tanqui el compàs i ens permeti transportar longituds, fa prescindible també la graduació del regle. Per a Euclides el tema era prou important perquè a la seva segona proposició del primer llibre dels seus Elements, resolgués aquest problema. I, com veurem més tard, ho aconsegueix només amb rectes, circumferències i una construcció intermèdia que resol amb la proposició anterior, la primera. Al clàssic llibre Leyendo a Euclides, del matemàtic Beppo Levi, l'autor afirma: «Euclides, per a combatre l'empirista que deia "mesurem", o a l'altre que deia "estenem una corda" devia resoldre la qüestió mitjançant una construcció estàtica, una figura permanent que assegurés tota l'operació, encara que només fos en la imaginació».

Resumint, plantegem aquesta construcció: donat un segment rectilini (AB) el volem transportar a un altre lloc del pla i que un dels extrems sigui un punt exterior al segment (C).

Nosaltres serem més generosos. Us proposem resoldre el problema amb GeoGebra, però disposant d'algunes eines més que les dues bàsiques per a les rectes i les circumferències (donats centre i punt per on passa). Euclides ja ens va proporcionar altres eines constructives:

• Construcció del triangle equilàter (proposició 1)
• Construcció de la bisectriu d'un angle (p. 9)
• Trobar el punt mitjà d'un segment (p. 10)
• Construcció de la recta perpendicular (p. 11 i 12)
• Transportar un angle (p. 23)
• Construcció d'una paral·lela (p. 31)
• Caracterització del paral·lelogram (p. 33)

Us deixem algunes eines extres (punt mitjà, mediatriu, bisectriu, perpendicular, paral·lela, simetria axial i simetria central). Aquestes eines no serien difícils d'aconseguir partint de les dues primeres si féssim un joc similar a Euclidea, en què, a mesura que resolem problemes, anem aconseguint progressivament més eines de dibuix. Fent un símil amb GeoGebra, l'objectiu seria aconseguir l'eina "Circumferència: centre i radi".

Enllaç a la construcció

Veiem algunes solucions?

• 1a solució: l'euclidiana.

Als Elements, tal com hem dit, es planteja i resol a la segona proposició del llibre primer. Es planteja així: "D'un punt donat, tirar una recta igual a una altra donada". Per "recta" hem d'entendre "segment rectilini". A la primera proposició ens ha explicat com construir amb regle i compàs (rectes i circumferències) un triangle equilàter i és la figura auxiliar per a la seva solució. Movent el punt lliscant podreu veure la resolució pas a pas.

Enllaç a la construcció

A continuació teniu la demostració de la construcció amb l'adaptació visual que Oliver Byrne va fer, al 1847, dels Elements. Si seguiu l'enllaç al web hi ha una mica d'interactivitat per a seguir les passes de la construcció i la demostració.

https://www.c82.net/euclid/es/book1/

• 2a solució: amb simetria axial.

Als Elements no se'n parla explícitament de simetria. Però aquesta ens pot ser útil per a resoldre el nostre problema. Ara us proporcionarem una solució que es basa a trobar un eix de simetria entre un dels extrems i el punt extern al segment. Després aplicarem una simetria axial per a trobar el quart punt. Ho farem una mica a l'estil d'Euclides, sense utilitzar les eines de GeoGebra de la mediatriu ni les de simetria.

Enllaç a la construcció

La simetria fa força evident per què la construcció és correcta.

• 3a solució: amb simetria central.

Encara que amb GeoGebra tenim les eines "Punt mitjà" i "Simetria central" que economitzen molt la construcció tornarem a ser una mica "euclidians" i evitarem l'ús d'aquestes eines.

Enllaç a la construcció

• 4a solució: fer un paral·lelogram.

Potser és una de les primeres solucions que pot haver vingut al cap. Però abans de mostrar la construcció ens permetem unes certes elucubracions "elementals". Euclides ens "ensenya" abans a transportar angles (proposició 23) que a traçar paral·leles (proposició 31).  Pel mig tenim la clau. El teorema de la proposició 27 en què ens diu que quan una recta talla altres dues i els angles alterns són iguals, aquestes dues últimes seran paral·leles. 

https://www.c82.net/euclid/es/book1/

A la proposició 34 ens demostra que els costats oposats d'un paral·lelogram són iguals.

Per tant, per a construir el paral·lelogram, segons l'ordre euclidià, el mètode es basarà a crear un segment auxiliar que uneixi un extrem del de partida amb el punt a on volem traslladar la longitud. Aquests dos segments formaran un angle que ens caldrà transportar dues vegades per a construir el paral·lelogram.

Cal transportar l'angle CBA dues vegades

On està el problema? Que per transportar l'angle, segons com ens ensenya Euclides a fer-ho, cal utilitzar la proposició 2, que és la que volem descobrir ara. És a dir, hem de disposar d'un compàs que ja no sigui col·lapsable. Per tant, ens caldrà pensar un altre mètode per a construir paral·leles. Si, mitjançant la mediatriu, ja sabem construir perpendiculars, ho tenim resolt, perquè la perpendicular a la perpendicular d'una recta és paral·lela a la primera.

Ara sí que podem fer la construcció. La mostrem resumida a continuació.

Enllaç a la construcció

I a l'aula?

• Conèixer com es van estructurar els Elements d'Euclides és conèixer com són les matemàtiques. A l'aula no s'ha de perdre l'ocasió per comentar l'obra, la seva organització i la importància del seu llegat. El problema presentat és una bona proposta per a contextualitzar-los.
  
  
• L'ús de GeoGebra se'ns mostra fonamental. Primer per diferenciar "dibuix" de "construcció" La possibilitat de veure què passa amb les figures quan movem un punt, si l'estructura aparentment correcta es deforma (dibuix) o es manté (construcció) ens fa la diferència ben clara.
  
  

  

  Dibuix i construcció d'un rectangle

  
  

Per altre banda, la possibilitat de triar i limitar les eines disponibles per a fer les construccions geomètriques, ens permet proposar de forma més ajustada el problema.

• Una possible idea és plantejar el problema amb diferents versions i, un cop resolt i comparades les solucions, veure que són problemes equivalents. Traslladar una longitud implica, com ja hem vist, que el compàs col·lapsable dels grecs deixi de tancar-se i aconseguim un compàs com els nostres tradicionals. Hi ha tota una col·lecció de plantejaments possibles, sempre utilitzant eines limitades (circumferència amb centre i punt, recta... i les que considerem afegir (perpendicular, paral·lela, etc.)

1. La "canònica": dibuixar un segment de la mateixa longitud que un donat (AB) que comenci en un punt C a altre lloc del pla.
2. Dibuixar una circumferència amb centre en un punt C que tingui com a radi la longitud d'un segment donat AB.
3. Dibuixar una circumferència, amb centre en un punt (A), igual a una altra que tenim donada amb centre en un altre punt (B).
4. Dibuixar un segment igual a un altre, però sobre una recta diferent.

• Segons les eines utilitzades es poden plantejar altres problemes "en retrocés" per deixar més evident l'estructura dels Elements. Per exemple, si s'ha utilitzat l'eina "perpendicular" podem proposar com construir perpendiculars amb rectes i circumferències. El mateix amb les paral·leles o les construccions simètriques.

Notes

• Hi ha moltes versions en línia dels Elements. Per la seva bellesa ja hem destacat diverses vegades la d'Oliver Byrne que, tot i tractar només els sis primers llibres, es pot trobar en castellà, i en una versió amb una certa interactivitat, en aquest enllaç. Es pot trobar fàcilment també en format de llibre editat per Taschen. Si es volen versions escrites més usuals tenim altres possibilitats.
• A Wikisource  trobarem una versió que ens permetrà navegar i "copiar i enganxar" de forma fàcil, ja que és un text en html. També podrem traduir al català des del navegador. Cal dir que no hem trobat cap versió digitalitzada en català. 
• La Wikimedia Commons té una versió castellana en pdf dels sis primers llibres de l'any 1774.
• A Archive.org podem trobar diferents versions. Hi ha una del 1689, una altra manuscrita de 1751 o les clàssiques de l'editorial Gredos dels anys 90.
• Hi ha lectures interessants específiques sobre Euclides i els Elements. Per no carregar molt destacarem només dues:
• Euclides. La fuerza del razonamiento matemático d'Ana Millán Gasca, editat per Nivola. Cal dir, però, que l'editorial ja fa uns anys que va tancar.
• Los Elementos de Euclides. Biblia de la geometría griega, de Pedro Miguel González Urbaneja, editat per la FESPM.

• I una observació final. El comentari atribuït a Plató a l'inici de l'article sobre l'ús dels instruments està extret de les Vides paral·leles de Plutarco, en el llibre dedicat a Pelòpides i Marc Claudi Marcel III (paràgrafs 237 i 238)