El joc de "Tancar la caixa"

Segons el clàssic llibre Juegos de todo el mundo, de Frederic V. Grundfel, i que va publicar en castellà Edilan el 1978, el joc de "Tancar la caixa" era popular entre els mariners de Normandia i altres zones de la costa atlàntica francesa, tot i que es troben també variants conegudes a Zàmbia. Algunes fonts remunten els origens del joc fins al segle XII. El cas és que és fàcil de jugar, divertit i, en conseqüència , encara força popular..

Les versions comercialitzades acostumen a estar fetes en fusta, però es pot jugar molt fàcilment amb materials molt senzills. Sempre ens cladran dos daus, però els nombres els podem representar amb cartes o amb un paper amb els nombres de l'1 al 9 i unes fitxes per a tapar-los.

Versió clàssica en fusta

Versió amb paper i fitxes

Hi ha moltes variants del joc. Aquí hem triat una en concret, que convida a un estudi probabilístic que pot ser interessant a l'aula. Aquesta versió la trobem al llibre, també clàssic, 100 jeux de table, de Pierre Berloquin i editat per Flammarion l'any 1976. Hi apareix amb el nom de "Les douze cases" i d'ell hem reproduït el dibuix anterior. Pot ser un joc solitari o per a dos o més jugadors. Aquí l'expliquem per a dos.

Com es juga?

• Cada jugador, per torn, fa una "ronda", que consisteix a anar encadenant jugades fins a arribar a una situació de bloqueig. A l'inici de la ronda tots els nombres de l'1 al 9 estan "oberts" i poden ser triats.
• Per a realitzar una jugada es tiren els dos daus i se sumen els seus valors. El jugador que fa la ronda pot eliminar tots els nombres que, sols o sumats, donen el resultat de la tirada de daus. Així, si estan sense eliminar, treu un 5 i un 3 amb els daus (suma 8), pot anul·lar, "tancar", el 8, parelles de nombres com l'1 i el 7, el 2 i el 6 o el 3 i el 5, o ternes com l'1, el 2 i el 5, o l'1, el 3 i el 4. No es pot comptar amb els nombres ja eliminats.
• Si estan eliminats el 6, el 7 i el 8 es pot triar entre tirar un dau o els dos.
• Es van fent jugades fins que s'han eliminat tots els nombres (s'ha "tancat la caixa") o ens trobem en una situació en què no podem eliminar-ne cap. Per exemple. Si traiem un 3 amb la suma dels dos daus i no tenim "oberts" el 3 o l'1 i el 2, a la vegada, ja no podem continuar jugant i s'acaba la ronda.

Jugada de bloqueig. No podem aconseguir una suma de 3

• Abans que el següent jugador comenci la seva ronda es fa la suma dels punts que han quedat oberts  i se'ls anota. Al cas de l'exemple 1+6+7+9=23.
• El segon jugador fa la seva ronda fins a acabar-la.
• Per decidir qui ha guanyat podem fer-ho partida a partida o fins a aconseguir un total límit. Per exemple, si el segon jugador queda amb 15 punts s'anota la partida perquè 15 és més petit que 23. Si juguem amb un límit, per exemple 50 o 100 punts, perd el jugador que, en diferents rondes, els supera.

Podeu practicar el joc amb aquest applet fet amb Scratch.

https://scratch.mit.edu/projects/1246828255

Com es veu és un joc ben senzill i força entretingut. Amb els més petits ja és prou interessant només per a practicar les combinacions de sumes que sorgeixen durant una partida.

És un joc que depèn, en gran manera, de l'atzar. El que volem estudiar aquí si existeix alguna estratègia general per a optimitzar les puntuacions, és a dir, per a minimitzar-les. I, en especial, quan prendre la decisió per a passar a jugar amb un sol dau a partir dl moment que les regles ho permeten.

Analitzem el joc?

Avís per a navegants: per a donar-li un punt narratiu a l'anàlisi en alguns moments farem alguns raonaments erronis. Ja els anirem desvetllant després.

Primera idea: eliminar primer els nombres grans

La primera idea és força evident: si volem acabar amb pocs punts ens interessa tancar aviat els nombres més grans. Però podem reforçar l'argument pensant en les probabilitats de "tancar" cada nombre de l'1 al 9 a la primera tirada. Mirem alguns exemples, tot recordant que tenim 36 tirades diferents possibles amb dos daus (1-1,1-2, 2-1, 1-3, 3-1...).

• L'1 el podrem tancar sempre, menys en un cas: treure dos uns. És a dir tenim 35 casos favorables entre 36 (35/36 és un 97,22% dels casos)
• A l'altre extrem tenim el 9. Només en deu casos el podrem tancar a la primera tirada: directament amb 3-6 i 6-3, 4-5 i 5-4, combinat només amb l'1 si la suma és 10 (amb 4-6, 6-4 i 5-5), només amb el 2 si la suma dels daus és 11 (amb 5-6 i 6-5) i combinat amb el 3 o amb l'1 i el 2, amb la tirada 6-6, de suma 12. La probabilitat de tancar-lo és d'un 27,78%.

Podem veure les probabilitats d'eliminar cada nombre en la primera tirada.

Crida l'atenció el "clot" del 2, amb menys probabilitats inicials que l'1 o el 3. Això és degut a les tirades que sumen 4 (1-2, 2-1 i 2-2) en què no es pot tancar. Al 3 li passa com a l'1: només no es pot tancar amb la tirada 1-1.

En tot cas, es fa ben visible, que els nombres amb més baixa probabilitat, de bon inici, són els grans: 7, 8 i 9. Si tenim l'oportunitat, millor eliminar-los aviat.

El panorama empitjora a mesura que avancem en el joc. Imaginem que hem tancat tots els nombres menys el 3, el 4, el 6 i el 9. Les probabilitats per a cada nombre, sobre 36 possibles resultats dels daus, són les següents:

El 9 només el podem eliminar si la suma dels daus és 9 (3-6, 6-3, 4-5, 5-4)  o 12 (6-6)

Continua sent més interessant, si es pot, eliminar un número difícil com el 9.

En conclusió: si podem eliminar els nombres més grans, fem-ho.

Segona idea: pensar en el paper dels nombres petits

D'entrada cal dir que abans hem deixat induir una mirada fal·laç sobre el problema a l'hora de decidir la tirada. Ens hem fixat en el "present" i hem insinuat que, si tenim en compte les probabilitats en una situació de joc (ho hem fet amb la inicial) millor triar la jugada que tenia la probabilitat més baixa en aquell moment. És com si diguéssim... "Per si de cas no tenim tanta sort després".  La veritat és que cal mirar cap al "futur": cap a la continuïtat del joc. És el que farem ara per estudiar què ens convé fer amb els nombres més petits.

Per poc que juguem veurem que l'1, el 2, el 3... donen "molta vida". Per què? Perquè intervenen en moltes combinacions. Un exemple: imaginem que tenim tancats el 2 i el 8. El 3 només deixarà de jugar si la suma dels daus és 2, 5 o 6. En la resta de casos encara pot ser eliminable: 26 de 36 casos, un 72,22% de probabilitats.

El 3 es pot eliminar amb qualsevol suma de daus menys 2, 5 o 6

Això planteja una pregunta interessant: és millor no eliminar els nombres petits? La resposta és sí i no. Cal conservar-los només si no combinen amb nombres grans. Per exemple, per eliminar el 9 hem d'obtenir sumes de daus 9, 10, 11 o 12.

• si la suma és 9 perfecte: no cal eliminar nombres més petits
• si la suma és 10 haurem d'eliminar també l'1
• si és 11 també haurem de tancar el 2
• si és 12 podem optar entre eliminar a més el 3 o l'1 i el 2. Si deixem l'1 i el 2 oberts tindrem més possibilitats de combinació després. Millor tancat el 9 i el 3 només.

Observacions d'aquest estil ens donen dues idees d'estratègia més que conserven al màxim els nombres petits, però fent prevaldre la norma d'eliminar els més grans:

• millor eliminar un sol nombre, que coincideixi amb la suma directa dels daus, que eliminar-ne combinacions de nombres.

Millor tancar el 7 que qualsevol combinació com 1-6, 2-5 o 3-4

• si no pot ser, millor eliminar combinacions de dos nombres que de tres i, de les possibles combinacions, la que impliqui el nombre més gran i, en conseqüència, el més petit.

Millor tancar 8 i 3 que és la combinació de dos nombres que implica al nombre més gran disponible: el 8

Comprovem aquestes primeres idees

Podem comparar els resultats de jugar a l'atzar amb els de l'aplicació d'aquestes estratègies bàsiques. Per fer-ho hem dissenyat dos programes, fets amb Snap, que té més rapidesa de càlcul que Scratch. Totes dues passen a jugar amb un sol dau quan el 7, el 8 i el 9 estan tancats. La primera tria a l'atzar entre les possibles jugades a fer per a cada tirada de daus d'una ronda. La segona juga amb les prioritats que hem establert abans i que es poden resumir en una sola frase: elimina sempre el nombre més alt que puguis i amb la jugada que impliqui menys nombres. Després de 10 000 partides els resultats han estat els recollits en aquest parell de gràfics.

La mitjana de puntuació és de 20,24 punts i les puntuacions més freqüents 17, 22, 20, 23 i 24.

La mitjana de puntuació ha estat de 12,42 punts i les puntuacions més freqüents 11, 9, 12, 13 i 14

Clarament és millor jugar amb una certa estratègia. Les puntuacions fan una campana desplaçada cap a l'esquerra, a puntuacions més baixes, que és el que buscàvem. També veiem en unes 500 partides hem aconseguit "tancar la caixa" i fer zero punts. A l'atzar eren poc més de 200.

Ataquem ara una altra part de l'estudi: quan decidir jugar amb un o dos daus.

Juguem sempre amb dos daus?

Recordem que quan estaven eliminats el 7, el 8 i el 9 podíem optar entre jugar amb un sol dau o jugar amb els dos. Estudiem una situació de joc cap al final de la partida. Imaginem que ens queden oberts només el 2 i el 4.

Quines probabilitats tenim de "tancar la caixa" amb un sol dau? És una probabilitat condicionada: dos casos favorables de sis per a la primera tirada i un entre sis per a la segona:

I jugant amb dos daus? Ara hem de treure un sis com a suma dels dos daus i tenim cinc casos favorables entre 36: 1-5, 2-4. 3-3, 4-2 i 5-1. Clarament 5/36 és més gran que 2/36.

Si ho mirem cas a cas, quan queden dos nombres, observarem que l'únic en què és indiferent, per a tancar la caixa, és quan ens queden oberts l'1 i el 2 en què la probabilitat és la mateixa. En tots els altres casos sempre és millor jugar amb dos daus.

Podríem fer un raonament similar per al cas que quedin tres nombres oberts. Per exemple, si queden el 2, el 3 i el 4 la possibilitat de tancar-los en tres tirades d'un dau és d'1/36 (1/2·1/3·1/6). En canvi, la de fer-ho en una sola tirada és de 4/36. I no tenim en compte les de sumar les de fer-ho en dues tirades.

Sí que serà més interessant jugar amb un sol dau quan queda un sol nombre. El cas més favorable és que ens quedi el 6. Amb dos daus tenim una probabilitat de 5/36, que és menot que la d'1/6.

Podem preparar dos programes informàtics que juguin sols amb cadascuna de les estratègies. Tots dos aplicaran les descobertes que hem fet anteriorment, però un jugarà sempre amb un dau quan hagin estat eliminats el 7, el 8 i el 9 i l'altre sempre amb dos daus, excepte quan quedi un sol nombre per eliminar. Ara jugaran 100 000 partides.

Puntuació mitjana 12,46. Puntuacions més freqüents 11, 13, 9, 0 i 14

Puntuació mitjana 11,77. Puntuacions més freqüents 0, 9, 11, 8 i 12

Hem millorat la puntuació mitjana rebaixant-la en gairebé set dècimes i la "campana" es desplaça una mica a l'esquerra. Però el més espectacular és que hem millorat en gairebé 800 casos el fet d'haver tancat la caixa. Per tant, sembla que, de moment, és jugar sempre amb dos daus, fins que queda un sol nombre per eliminar. Però no podem arrodonir l'estratègia investigant una mica més?

Podem precisar més quan hem de passar a jugar amb un dau?

Recordem que a l'inici de l'article hem dit que, en pro de la narració, faríem algun raonament erroni. A l'apartat anterior hem fet aquest joc. Hem mirat les probabilitats per tancar la caixa quan quedaven dos nombres. Però aquest és un objectiu fals. L'objectiu és "fer la menor puntuació possible". Per tant, la mirada no l'hem d'enfocar a "tancar la caixa", sinó a "continuar jugant". Així, podem investigar amb més detall què passa quan queden un, dos, tres... nombres aixecats.

• Quan sol queda un nombre. 

No hi ha dubte: jugar amb un sol dau. Ja hem vist abans que el cas  òptim per a jugar amb dos daus és que ens quedés només el 6 que té cinc sumes associades (1-5, 2-4, 3-3, 4-2 i 5-1). Però 5/36 és menor que 1/6. Millor tirar un sol dau.

• Quan queden dos nombres

Mirem un cas particular. Imaginem que ens queden el 2 i el 5. La probabilitat de continuar jugant, amb un sol dau, és d'1/3 (2 casos favorables de 6). Amb dos daus tenim una mica més de feina per a calcular-ho. Hem de mirar amb quines sumes de daus seguim jugant i les probabilitats de cadascuna. Fem una llista:

• Suma 2 → Baixarem el 2 → Probabilitat 1/36
• Suma 5 → Baixarem el 5 → Probabilitat 4/36
• Suma 7 → Baixarem el 2 i el 5 → Probabilitat 6/36

Podem veure que la probabilitat total de continuar jugant és d'11/36 que és lleugerament menor que 1/3 (12/36).

Si ho estudiem per a tots els casos en què queden dos nombres veurem que la probabilitat és sempre inferior a 1/6. Molt més baixa quan els nombres oberts són més petits.

La línia vermella indica la probabilitat de continuar jugant amb un sol dau 1/3=12/36

És a dir: quan quedin dos nombres és millor jugar sempre amb un sol dau.

• Quan queden tres nombres

Si juguem amb un sol dau la probabilitat de continuar és força gran: 1/2 (tres casos favorables de 6). Estudiem, com a exemple, un cas particular: quan ens quedin el 3, el 4 i el 6. Comptarem, com abans, les sumes de daus favorables, les que ens permeten continuar, i les probabilitats de cadascuna per, al final, sumar-les.

• Suma 3 → Baixarem el 3 → Probabilitat 2/36
• Suma 4 → Baixarem el 4 → Probabilitat 3/36
• Suma 6 → Baixarem el 6 → Probabilitat 5/36
• Suma 7 → Baixarem el 3 i el 4 → Probabilitat 6/36
• Suma 9 → Baixarem el 3 i el 6 → Probabilitat 4/36
• Suma 10 → Baixarem el 4 i el 6 → Probabilitat 3/36

Sumant les probabilitats tenim 23 possibilitats entre 36 de continuar, que és molt clarament superior a la que teníem per a un sol dau: 1/2 (18/36).

Per a totes les combinacions possibles tenim aquests resultats.

La línia vermella indica la probabilitat de continuar jugant amb un sol dau 1/2=18/36

Només hi ha un cas en què és millor jugar amb un sol dau: la combinació 1-2-3. La conclusió és que, en general, jugarem amb dos daus quan tinguem tres nombres per eliminar, excepte si són l'1, el 2 i el 3.

Posem a prova l'estratègia final

Resumim l'estratègia general:

• eliminar sempre, si és possible, la suma directa dels dos daus.
• si no és possible eliminar la combinació de dos nombres que inclogui el més gran de tots els eliminables.
• si no és possible eliminar la combinació de tres nombres.
• un cop eliminats el 7, el 8 i el 9, mentre quedin tres nombres per eliminar, jugarem amb dos daus (excepte si són l'1, el 2 i el 3). Si queden dos o un, jugarem amb un sol dau.

Ara cal fer jugar les màquines: la que juga sempre amb dos daus (excepte si només li queda un sol nombre per eliminar) i la que trian quan jugar amb un dau o dos. Els hi hem fet fer 300 000 partides amb els resultats següents.

Mitjana "un dau quan queda un nombre": 11,73
Mitjana amb "un dau quan queden dos nombres": 11,42

La mitjana de punt millora només una mica, poc més de tres dècimes. El que si puja en una mica més d'un 1,6%, aproximadament, és la quantitat de vegades que "tanquem la caixa". Curiosament, hi ha puntuacions com 5, 6, 12 o 13 que s'obtenen menys vegades. De fet, si mirem el gràfic intuirem que la mitjana baixa perquè es tanca moltes més vegades la caixa, però, en general, a partir de 5 punts la quantitat de vegades que s'obtenen les puntuacions és una mica menys freqüent. És com si una cosa compensés l'altra.

Bé, en tot cas, sembla que tenim una estratègia no massa dolenta per al joc.

I a l'aula?

• El joc és prou fàcil i entretingut per jugar-lo a qualsevol edat. Ja hem comentat que, amb els més petits, només per l'estudi de combinacions de sumes ja és prou interessant. A la idea que convé baixar els nombres petits segurament arribaran fàcilment, només que pensin que l'objectiu és fer els menys punts possibles.
• Estudiar les probabilitats per eliminar cada nombre a la jugada inicial també té interès. Ho podem arrodonir analitzant, per comparar, qualsevol situació intermèdia del joc.
• Segurament la part més interessant d'analitzar és sobre la decisió de quan jugar amb dos daus o amb un de sol, a partir de que es doni la situació d'haver anul·lat el 7, el 8 i el 9.
• Hi ha altres aspectes a considerar. Per exemple la durada d'una ronda. En una simulació de 10000 partides, amb l'estratègia triada a la part final de l'article, la durada mitjana d'una ronda ha estat de 5,8133 jugades. La mediana i la moda han estat de 6. La ronda més llarga ha estat de 10 tirades i la més curta de 2.
• El punt anterior dona una idea de treball més senzilla: buscar exemples de ronda llarga i ronda curta i veure qui aconsegueix trobar els casos extrems. També podem buscar rondes curtes i llargues pel cas particular de "tancar la caixa". Per exemple, si trec dues tirades seguides de dos uns la ronda durarà una jugada: eliminaré el 2 a la primera i a la següent no podré eliminar-ne cap.
• Com en molts problemes de probabilitat tenim una oportunitat per a fer un treball de programació per construir els simuladors que juguin sols grans quantitats de partides.

Per si voleu revisar els programes

Gran part de l'estudi l'hem basat en simulacions informàtiques. És evident que aquestes poden contenir petites errades. Les que hem fet estan programades amb Snap Blocks. Per si les voleu revisar posem els enllaços:

• Jugar a l'atzar.
• Jugar amb estratègia i sempre amb un dau des de que és possible.
• Jugar amb estratègia i sempre amb dos daus (excepte si queda un sol nombre per eliminar)
• Jugar amb estratègia i sempre amb un dau des de que és possible i queden només sos nombres.

També podeu veure en aquest document les dades detallades dels resultats de les diferents experimentacions fetes.