Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general

(A punt de publicar aquesta sèrie d'articles ens ha deixat en Claudi Alsina, entre moltes altres coses, gran divulgador de les matemàtiques. M'agradaria que fossin un petit homenatge al seu afany popularitzador d'aquesta ciència)

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

En un instrument de corda fregada, com un violoncel, només d'una sola corda podem extreure infinits sons. Si més no, de forma teòrica. El so d'aquesta es produeix pel fregament de l'arc que la farà vibrar. Però el to en què sonarà, el marcarà la seva longitud i aquesta la podem escurçar pressionant-la contra el batedor de l'instrument en qualsevol punt. Si hi ha infinits punts teòrics per fer-ho, també n'hi haurà infinits sons. Malgrat haver-hi infinits sons hi ha uns límits, el so més greu de la corda lliure i el més agut que aconseguim pressionant al punt final del batedor. Però, per augmentar els tons possibles i obtenir de més greus i de més aguts, disposem de quatre cordes diferents. En canvi, un piano, instrument de corda percudida, o una arpa, de corda pinçada, té uns sons marcats, fixes i que anomenem "notes musicals". Un piano té, exactament, 88 sons. Sense trucs no podem extreure'n uns altres fora d'aquests 88. Per què aquests precisament i no uns diferents? La resposta és clara: perquè s'ha pactat quins han de ser. L'escala musical és un acord cultural. I els violoncels, la majoria de vegades, s'hauran d'ajustar també a aquesta quantitat limitada de sons acordats. I així tots dos instruments podran sonar conjuntament de forma més harmònica.

Entre aquesta petita sèrie d'articles que iniciem ara, intentarem explicar com s'ha arribat a aquest acord i el paper que les matemàtiques han jugat per aconseguir-ho. 

La música, el temps i la memòria

Si contemplem un quadre ens podem fer ràpidament una composició general de l'obra. Després podem atendre els seus detalls. Però en un sol l'instant haurem rebut un primer impacte visual.

Antoni Tàpies - Sense títol (1952)

Amb la música no ens passa el mateix. La música es mou en el temps. No tenim percepció instantània sinó estesa en una successió d'instants. Per tant, necessitem una certa ajuda per a la memòria. Tothom ha tingut l'experiència de sentir una peça musical que li ha agradat més a partir d'una segona audició. Una de les raons és que hi ha un cert reconeixement dels motius musicals. La repetició de fragments, idèntics o lleugerament modificats, és una de les constants de la majoria d'obres i una ajuda de pes a la seva escolta. Una altra ajuda és l'experiència que ens porta la identificació de ritmes i línies melòdiques de diferents estils. Fem un "aprenentatge melòdic" que, fins i tot, de vegades ens porta a una certa predictibilitat de la continuació de les melodies: ens anticipem lleugerament al que sonarà. Hi ha una educació de l'oïda. Per a aconseguir això encara tenim una tercera ajuda: l'ús d'una sèrie, no massa llarga, de notes concretes en la composició musical. Per tant, és clau la tria d'aquestes notes. Han de servir per construir melodies (seqüències de notes) i harmonies (notes que sonen conjuntament), per a encadenar-se i per a ser consonants. El problema de la construcció de l'escala és aquest: triar les notes que compliran aquestes condicions.

Però, abans de posar-nos-hi, començarem  amb una breu introducció sobre la física del so i altres conceptes que ens posaran un marc de sortida i ens proporcionaran les eines per a la construcció de l'escala.

El so: una ona amb una freqüència

Segons la Viquipèdia "el so és una successió de canvis de pressió (compressions i dilatacions) en un medi (sòlid, líquid o gas), provocats per una vibració que s'hi transmet en forma d'ones sonores."

Font Viquipèdia

Una de les característiques d'una ona és la seva freqüència. Aquesta, també segons la mateixa font, és "el nombre d'oscil·lacions/períodes que es produeixen per unitat de temps. Es mesura en cicles/segon, unitat anomenada hertz". Quan la freqüència és baixa el so ens sembla més greu, i quan és alta, més agut. Però hi ha freqüències que no sentim. En general, els humans percevem sons entre 20 Hz i 20000 Hz. Per sota del 20 parlaríem dels infrasons i, per sobre dels 20000, dels ultrasons. Però el cert és que no tots sentim igual i que clarament, amb l'edat, anem perdent la percepció de les freqüències més altes. Podeu experimentar qui rang de freqüències sentiu amb aquest vídeo.

Si continues llegint coneixeràs les següents peces d'aquest marc harmònic que estem construint.

Els harmònics

Sentim els instants finals de la peça Water Color Scalor. 2. Intermezzo A, de Takashi Yoshimatsu, i fixem-nos-hi en la forma de fer sonar les cordes de la guitarra.

La corda fa un so més apagat perquè no s'escurça la seva longitud prement-la contra el batedor de la guitarra. Només es posa el tou del dit en uns punts determinats i es deixa que la corda vibri sobre ells, de forma esmorteïda. Es diu "tocar un harmònic". Hi ha molts punts per treure els harmònics. Al cello, tornen a ser pràcticament infinits. A la guitarra són més limitats. Els més fàcils de tocar estan a la meitat de la corda, als punts en què la corda es divideix en terços, en quarts... És curiós que als dos punts que la corda es divideix en terços l'harmònic sona igual. L'explicació la tenim en el fet que, quan una corda vibra,  té una vibració sonora principal i unes quantes més de secundàries. Si posem el dit en el node de l'ona sonarà l'harmònic corresponent.

Font: Viquipèdia

Els harmònics, entesos ara com a ones secundàries, són importants perquè cada instrument té els seus propis. La suma d'harmònics és el que caracteritza el seu timbre i fa diferenciar a l'oïda un piano d'una trompeta. En tot cas, pel nostre problema de la construcció de l'escala musical, el que ens interessa és veure que aquests harmònics es produeixen amb denominadors senzills: 2, 3, 4, 5...

Sons consonants

Ara us convidem a fer un experiment: Escolteu quatre parelles de sons (A-B-C-D). Un cop sentides les quatre parelles ordeneu-les tenint en compte com us semblen de disonants. La primera serà la que us sembli més dissonant. La quarta, la formada pels dos sons que trobeu que fan una parella més consonant, més harmònica. 

Si heu fet l'experiment, probablement, heu triat com a parelles més dissonants la D i l'A. Les més consonants seran la B i la C. El físic irlandès del segle XIX, John Tyndall, va dir que: "Com més senzilla és la relació de les freqüències de dos sons, més consonant serà l'interval que formen". Podem comprovar aquesta afirmació comparant les relacions entre les freqüències de les nostres quatre parelles de sons.

Si ordenem les fraccions anteriors per ordre de "senzillesa" veurem que es correspon també amb l'ordenació per consonància sonora, que ara presentem de més a menys.

La consonància absoluta seria la proporció 1/1: una parella de sons d'idèntica freqüència. Entre els nostres exemples, cal comentar de forma especial la proporció 2/1 de la parella B. A la majoria de cultures, de forma natural, s'ha acordat que tots dos sons representen una mateixa nota musical en dues tonalitats diferents: més aguda (2) i més greu (1). De fet, són tan consonants que, de vegades, podem tenir la sensació que una nota tapa l'altra.

Per altra banda, la proporció 3/2, de la parella C, també és interessant, ja que se la denomina "primer harmònic": és la consonància principal després de la 2/1. El següent harmònic, a moltes cultures, ja des de la mesopotàmica o la grega antiga, és 4/3, una relació també força "senzilla".

Longituds de corda i freqüències

Les sis cordes d'una guitarra clàssica són igual de llargues. Si el seu so és més greu o és més agut depèn bàsicament del seu gruix i del material que estan fetes. Però podem experimentar amb una d'elles. Per exemple amb la sisena, la superior i que té el so més greu. Si la mesurem veurem que fa, entre els dos ponts (els extrems on es recolza), uns 64,7 cm. Si amb un sensor mesurem la freqüència del so que genera quan la pincem de forma lliure veurem que, aproximadament, és d'uns 82,6 Hz,

Si ara repetim les mesures amb el 12 trast, veurem que la longitud és de 32,35 cm i la freqüència del so és d'uns 166,5 Hz. És a dir, la longitud de la corda és la meitat de la d'abans, però la freqüència, aproximadament, s'ha doblat.

Repetim l'experiment amb el 19è trast, l'últim del batedor. La longitud de la corda es redueix a 1/3 i la freqüència es triplica.

El que observem és que hi ha una relació inversa que ens indica que si reduïm la corda a la meitat, la freqüència es duplica i si la reduïm a la cinquena part la freqüència es quintuplicarà. A efectes pràctics generals: si escurcem la corda el so es torna més agut en la mateixa proporció, si l'allarguem més greu.

 Podem veure aquesta proporcionalitat inversa en aquesta imatge amb la hipèrbola relacionada.

Situem el problema de la construcció de l'escala musical

Recordem ara el problema que ens hem plantejat d'inici sobre la construcció de l'escala: triar un conjunt de sons, no massa gran, que siguin alhora melòdics i harmònics, que sonin ve seguida i conjuntament. Aquests sons han d'estar situats entre dos d'iguals, però en diferent to, que fan d'extrems de la sèrie. La nota final de l'escala ha de tenir, per tant, el doble de freqüència que la d'entrada. Podríem dir que hem de situar les nostres notes entre 1 i 2.

Al pròxim article veurem una manera aritmètica de fer-ho.

Índex d'articles

1. Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general
2. Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica
3. Construïm l'escala musical (III): Analitzem l'escala diatònica i coneguem la Pitagòrica
4. Construïm l'escala musical (IV): Amb 7 notes no n'hi ha prou
5. Construïm l'escala musical (V): Altres escales