Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon
Imaginem que hem de cantar una cançó com "El gegant de(l) π", que disposem de la seva partitura i aquesta comença en la nota Mi.
No és difícil notar que la nota 7 no funciona bé i trenca la melodia. És com si ens faltés una nota intermèdia entre la 6 i la 7, entre el La i el Si. Mirem com sona si afegim aquesta "nota fantasma".
La culpa està en el repartiment de tons i semitons que, en el transport, queden desajustats. Entre les notes 3 i 4 (Mi i Fa) hi ha un semitò. Entre la 6 i la 7 abans teníem un interval d'un sol to. Ara necessitem una nota a un semitò de la 6. A aquestes notes intermèdies se les anomena sostinguts, simbolitzades amb el signe ♯ o bemolls, simbolitzades amb el signe ♭. En el nostre cas, a la partitura cal assenyalar que tots els Si de la partitura seran en realitat Si bemoll. Per anotar-ho posem el signe de "bemoll" a l'inici de la partitura i a l'altura del pentagrama corresponent al Si. Pel fet d'estar al principi de la partitura sabem que aquesta alteració afecta a tots els Si que ens trobem a l'interpretar-la.
Investiguem ara quantes notes alterades necessitem. Per fer-ho fem un cercle amb una roda interior on estan representades les nostres notes, amb separacions diferents segons l'interval sigui d'un to o un semitò. També les representem a l'exterior d'aquest. Si a continuació fem girar la roda interior, fent coincidir el Do amb el Re de l'exterior veurem que hi ha notes que es transporten directament a unes altres, però també que tindrem dos espais buits per a poder transportar el Si i el Mi i que haurem d'omplir amb notes noves. A aquests nous sons els anomenem, en la majoria de casos, igual que la nota anterior, afegint el signe ♯ i parlarem de "Do sostingut" i "Fa sostingut".
Continuem fent girar la roda?
Si fem girar la roda interior fins a fer coincidir el Do interior amb el Mi exterior, tornarem a trobar dos espais a omplir, també corresponents com abans al Si i al Mi. Els omplirem amb el Sol♯ i, seguint la nomenclatura musical, el Mi♭. Si el "sostingut" indicava el semitò posterior a una nota, el "bemoll" (♭) ens assenyala el semitò anterior. Si bé en algunes escales seria equivalent, per exemple, un Do♯ i un Re♭, no sempre és així. Pot haver-hi mínimes diferències segons l'afinació. També passa amb els instruments: per a un piano són absolutament equivalents, un cello podria diferenciar les dues afinacions. Nosaltres les considerarem idèntiques, però les anomenarem com es fa tradicionalment en la música.
Quan fem girar la roda un pas més, fins al Fa, trobem un altre forat que omplirem amb el Si♭.
Si afegim les noves notes al cercle interior veurem que ara, totes tenen una correspondència a l'exterior. En total hem hagut d'afegir cinc notes noves: Do♯, Fa♯, Sol♯, Mi♭ i Si♭. Ho podíem haver deduït també observant que, en realitat, el que es tractava era de posar un semitò entre els cinc intervals de to que teníem.
Sabem ara que necessitem 12 notes i totes amb un pas de semitò. Però, quines freqüències sonores els hi adjudiquem?
Calculem l'escala de 12 notes
Hi ha diferents formes de trobar les freqüències que correspondrien a les noves notes. Però podem canviar el paradigma. Donat que l'interval entre dues notes ha de ser sempre d'un semitò, per què no fem que tots siguin iguals? Recordem que, si coneixem l'interval numèric entre dues notes, la seva proporció de freqüències, podem passar d'una a l'altra multiplicant la freqüència de la primera per l'interval corresponent. Ho vam mirar amb l'escala de Zarlino.
Aquí els dos intervals que tenim de semitò són de 16/15 (1,0666...). Cada nota serà una potència d'aquesta fracció, amb exponents des de 0 (la nota de sortida és 1) fins a 11. Veurem que no funciona massa bé perquè, quan acabem l'octava i calculem la següent potència, la d'exponent 12, no obtenim exactament 2, el doble de la freqüència de sortida i que sonaria com la primera nota però una octava més alta. La nostra escala ha d'estar exactament entre 1 i 2 i l'interval entre el Si i el Do1 no seria igual que els altres si posem directament un 2. L'últim resultat seria 2,1694252129... i l'error per excés seria d'un 8,471%. Massa gran.
Vincenzo Galilei, al segle XVI va proposar un pas de 18/17 (1,0588...) que queda més a prop de 2 en la dotzena potància. Dona 1,985559952 que és un 0,72% menor que 2. És una afinació que es va utilitzar molt en el seu temps
El matemàtic francés Marin de Mersenne, va proposar un pas de semitò diferent:
El resultat ara, al final de l'octava és 2,006115296, que suposa un error menor que l'anterior, amb un excés d'un 0,305%.
Per què no calcular exactament com aconseguir el 2 amb una dotzena potència? El nombre que, elevat a la 12 dona 2 és l'arrel dotzena de 2. Aquest serà el nostre pas de semitò.
Hem obtingut un interval constant que té com a valor l'arrel dotzena de 2. Calculem els nombres que representen cada nota:
Com vam fer en el segon article de la sèrie, donarem a la unitat el valor d'una freqüència concreta, la del Do (261,63), i calcularem la corresponent a cada nota per sentir la nostra escala. Donat que no estem avesats a sentir la "melodia" de les 12 notes seguides, també podreu sentir només les notes principals, les "blanques" del piano, sense els sostinguts i bemolls, les "negres".
Aquesta escala la coneixem com a "escala cromàtica".
Analitzem l'escala cromàtica
Igual que vam fer amb l'escala natural o diatònica podem analitzar l'escala cromàtica. Ara l'hem construïda directament amb un interval fix de l'arrel dotzena de 2 entre tots els semitons. Donat que per passar d'una nota a la següent multipliquem la freqüència per l'interval el creixement gràfic, exponencial, és el següent. Podem veure que és molt més regulars que els que havíem aconseguit anteriorment, amb la de Zarlino i la pitagòrica.
Podem comparar les freqüències obtingudes amb l'escala natural, la primera que vam calcular al segon article, la de Zarlino. Veurem que les notes són molt coincidents. Les diferències són pràcticament imperceptibles a l'oïda.
Sembla que tenim tancat el tema de la construcció de l'escala. Però estem parlant de l'escala que fem servir en la música occidental en la nostra època. Hi ha algunes escales diferents. Les mirarem en el pròxim article.
Índex d'articles
- Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general
- Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica
- Construïm l'escala musical (III): Analitzem l'escala diatònica i coneguem la Pitagòrica
- Construïm l'escala musical (IV): Amb 7 notes no n'hi ha prou
- Construïm l'escala musical (V): Altres escales
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada