Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica

Els continguts d'aquest article són fruit

del treball conjunt amb Francina Turon

Recordem breument algunes idees de l'article anterior "Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general":

• Volem aconseguir una col·lecció de sons que, com a característica, permetin compondre bones melodies (sons en seqüència) i que conjuntament sonin harmònics (sons consonants).
• La longitud d'una corda determina la freqüència del so que produeix en fregar-la (com al violoncel), en pinçar-la (com a la guitarra) o en percudir-la (com al piano). És una relació de proporcionalitat inversa. Si, per exemple, la corda mesura una quarta part de l'original, el so obtingut tindrà una freqüència quàdruple.
• La consonància està relacionada amb proporcions senzilles. La proporció 2/1 (doblar la freqüència o reduir la corda a la meitat) produeix la mateixa nota, però més aguda. La proporció 3/2 es coneix com el "primer harmònic". Altres harmònics es troben en dividir la corda en tres, quatre, cinc... parts iguals.

Amb aquestes premisses podem intentar construir aritmèticament la nostra escala musical, una col·lecció prou harmònica de sons.

Partirem d'una corda unitat i en farem quatre de noves amb les longituds resultants de dividir-la en 2, 3, 4 i 5 parts. Tindrem les cinc primeres notes de la nostra escala. Totes cinc consonants amb la primera.

Però podem considerar que cinc sons són pocs. Recordant que 2/3 de la llargada de la corda sona força consonat amb la corda unitat podem agafar una altra amb aquesta mesura i, a continuació, fer-ne quatre més en dividir-la també en 2, 3, 4 i 5 parts. Encara tindrem més sons si agafem una corda més llarga de la unitat, en proporció 3/2, i obtenim quatre més amb el mateix mètode. Així tindrem una mena de lira de quinze cordes.

Passem ara a calcular les freqüències dels sons que obtenim amb aquesta lira.

Vols veure els càlculs?

Recordant la relació inversa entre longituds de corda i freqüències dels sons, en comptes de dividir la corda unitat en 2, 3, 4 o cinc parts, multiplicarem la seva freqüència, també unitat, per 2, 3 4 i 5. La freqüència de la corda 2/3, serà 3/2, i les freqüències de les quatre cordes derivades, les obtindrem també de multiplicar aquesta freqüència per 2, 3, 4 i 5. Farem el mateix amb la corda de longitud 3/2 i, per tant, freqüència 2/3. Amb tots aquests càlculs podem obtenir una taula. 

Podem observar que no hem obtingut 15 sons diferents sinó 13, perquè les freqüències 2 i 3 estan repetides.

El següent pas serà ordenar aquestes freqüències de menor a major, és a dir, de sons més greus a més aguts.

Ja tenim les freqüències de la nostra "lira". Però, com sona? Podem adjudicar a la unitat una freqüència arbitrària i calcular la resta a partir d'aquesta. Per provar-la agafarem una freqüència oficial que ens sigui coneguda. La nota La central té una freqüència acordada de 440 Hz, però donat que les escales que reconeixem millor comencen pel Do central, triarem la freqüència corresponent a aquesta nota: 261,63 Hz.

Utilitzant un programa d'edició de so, com per exemple Audacity, podem escoltar el resultat dels nostres càlculs i valorar si, tal com preveiem, la nostra escala és prou melòdica i harmònica.

Sembla que el resultat inicial no és prou satisfactori. Però és que hem deixat de tenir en compte un aspecte important: la primera i la darrera nota havien de ser la mateixa però amb la freqüència doblada. L'escala havia d'estar entre 1 i 2, i la nostra està entre 1 i 15/2 (7,5). De fet, tenim les notes molt mal repartides, molt separades entre si. Només dues estan entre l'1 i el 2. Però les nostres notes són teòricament harmòniques entre sí. Confiem-hi. Com ho podem arreglar? Portant totes les freqüències a l'espai entre l'1 i el 2.

Transportem les freqüències

Ara ens cal fer memòria d'un altre detall important del qual vam parlar més extensament a l'article anterior: quan doblem una freqüència, o fem la seva meitat, la nota no canvia. Serà la mateixa, respectivament, més aguda (el que diem "una octava més alta") o més greu ("una octava més baixa"). I és un procés que podem fer tantes vegades com vulguem. És a dir: si multipliquem o dividim una freqüència determinada per una potència de dos (2, 4, 8...) no canviem la nota, només la tonalitat. 

Si tenim això clar, ara només hem de decidir, per a cadascun dels nostres nombres, quina operació li hem d'aplicar per a situar-la entre 1 i 2: multiplicar-lo o dividir-lo per una potència de 2. Per exemple. 9/2 (4,5) l'haurem de dividir entre 4 perquè el resultat sigui més gran que 1 i més petit que dos: 9/2 entre 4 dona 9/8 (1,125). Amb cada "so" haurem de decidir què fem. Podem veure les operacions i resultats a la següent taula.

En aquest transport perdem notes perquè hi ha noves repeticions. Per exemple 4/3, que ja teníem, apareix de nou tres vegades i 3/2, que també teníem, el tornem a obtenir dues vegades més. Ens quedem amb una llista de vuit sons que, com abans, hem d'ordenar:

Ara també, com hem fet anteriorment, calculem, respecte al Do, quina freqüència correspondrà cada nota.

Ja podem escoltar la nostra nova lira de vuit notes.

Ara sí que reconeixem aquesta escala. s'anomena escala diatònica. A un piano seria la que correspondria a tocar seguides les tecles blanques d'una octava, començant pel Do.

També podem veure per què, en llenguatge musical, quan diem que passem d'una nota a tocar la mateixa, però més alta, diem que "pugem una octava", ja que la vuitena nota és repetida, però més aguda. "Baixar una octava" serà anar a la vuitena nota anterior, més greu. Al primer harmònic (3/2 - Sol) li diem "una quinta" perquè ocupa el cinquè lloc de la llista. La "tercera major" del Do, com veiem també en l'ordenació obtinguda, serà el Mi.

Escala de Zarlino

Dintre del conjunt d'escales diatòniques, la que té l'afinació com la que hem aconseguit se'n diu Escala de Zarlino, que va ser el músic que la va crear. El joc aritmètic de Zarlino va ser diferent que el nostre. Va anar més directe. El seu objectiu era aconseguir "una tercera" millor afinada que, per exemple, la de l'escala pitagòrica, que veurem en el pròxim article. La nota fonamental, la tercera major i la quinta justa, formen l'acord major que convé que soni ben ajustat.

Mirem breument el càlcul de Zarlino:

• Tenim la nota 1 (unitat)
• El primer harmònic és 3/2, la quinta.
• La "tercera", que forma part també de l'acord principal, és 5/4,
• Hem de construir tota l'escala amb aquestes dues fraccions: 3/2 i 5/4, tot fent els transports necessaris després per portar les freqüències entre 1 i 2.

A la primera fase, jugant amb 3/2 (dues multiplicacions i una divisió) tenim la nota principal (Do) i tres noves més (Fa, Sol i Re).

A la segona fase obtindrem "la tercera" de tres d'aquestes notes multiplicant per 5/4 (i transportant entre 1 i 2). Obtenim el La, el Mi i el Si.

En el següent article analitzarem amb una mica més de detall aquesta escala, per poder esbrinar què són els tons i els semitons, així com alguns modes musicals, com l'escala major i la menor, per, finalment, parlar de l'escala pitagòrica.

Índex d'articles

1. Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general
2. Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica
3. Construïm l'escala musical (III): Analitzem l'escala diatònica i coneguem la Pitagòrica
4. Construïm l'escala musical (IV): Amb 7 notes no n'hi ha prou
5. Construïm l'escala musical (V): Altres escales