Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).
En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:
"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"
T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?
Encara que no acostuma a ser la primera intuïció, no és difícil amb un regle, un llapis i un paper veure que la trajectòria és un quart d'el·lipse. Més fàcil encara és veure-ho amb GeoGebra.
De fet, els arquitectes feien servir un mètode semblant per dibuixar el·lipses amb paper i llapis. Dibuixaven un parell de perpendiculars i feien dues marques a un dels costats d'una targeta de visita.
Potser et serà interessant investigar algunes qüestions relacionades amb aquest tema, tot intentant descobrir coses com aquestes:
- De què depèn la longitud dels eixos de l'el·lipse?
- Quines condicions s'han de donar per obtenir una circumferència?
- Investiguem el "mètode dels arquitectes"? Per què funciona?
- Mirem altres mètodes semblants per a dibuixar el·lipses?
Les dues primeres preguntes són fàcils de respondre:
- Els semieixos de l'el·lipse són les distàncies que hi ha entre el punt i cadascun dels extrems del segment que representa l'escala.
- Si el punt està centrat obtenim una circumferència.
El mètode dels arquitectes
Aquesta equació la podem transformar en la següent, ja reconeixible com l'equació d'una el·lipse
Per què funciona aquest mètode de "la caiguda de l'escala", de la "targeta" o "dels arquitectes". Només ens cal col·locar el "segment escala" sobre uns eixos i mirar quines són les coordenades del punt a cada moment. La situació d'aquest punt depèn de les distàncies (a i b) als extrems del segment i de l'angle d'inclinació de l'escala. Amb una mica de trigonometria podem calcular l'abcisa i l'ordenada.
No és difícil reconèixer les equacions paramètriques d'una el·lipse.
Ho podem comprovar amb GeoGebra.
Tenim una altra manera de veure-ho amb l'ús combinat de dos dels teoremes més coneguts: el de Pitàgores i el de Tales. Ens podem basar en el mateix esquema d'abans.
Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle gran tenim que:
Però podem observar els dos triangles semblants al gran i establir proporcions:
Podem ara reescriure l'equació de l'el·lipse substituint les expressions anteriors per les noves obtingudes:
Altres mètodes propers per a dibuixar el·lipses
Mètode 1
Més que un mètode, pròpiament, és una bonica animació de com dibuixar sis el·lipses fent lliscar "una escala" amb el punt centrat.
The beauty of six ellipses. pic.twitter.com/rafAlN6W0m
— Math Lady Hazel 🇦🇷 (@mathladyhazel) June 10, 2024
Mètode 2
Aquest mètode s'atribueix a Proclo.
- Dibuixem els dos eixos de l'el·lipse.
- Sobre una tira de paper marquem la distància PA del semieix major.
- Després marquem la distància PB, el semieix menor, sobre la mateixa tira.
- Només cal col·locar A i B sobre els eixos, com si fos l'escala lliscant, i P ens anirà assenyalant els punts de l'el·lipse.
A continuació tens un vídeo on es mostra el mètode i un applet amb GeoGebra.
Mètode 3
Molt semblant és el dibuix d'el·lipses amb el "regle d'Arquimedes"
Aquest mètode és fàcilment mecanitzable.
Més mètodes
A la Viquipèdia hi podeu trobar un magnífic article dedicat als el·lipsògrafs on trobareu una gran quantitat de mecanismes. Molts estan replicats amb GeoGebra. Només cal fer una mica de cerca amb els noms corresponents. Les dues imatges anteriors estant tretes d'aquest article.
- El·lipsògraf de Delaunay (Construcció en GeoGebra de Paulo Porta)
- El·lipsògraf amb un antiparal·lelogram de van Schooten (GeoGebra de Guillermo Tinoco Ojeda)
- El·lipsògraf de Leonardo (GeoGebra de GeoGebra Fòrum)
- El·lipsògraf amb circumferència directriu de van Schooten (GeoGebra de Problemas dinámicos)
Dos mètodes que no poden faltar a l'aula
Si hi ha dos mètodes de traçar el·lipses que són imprescindibles a l'aula són el mètode del jardiner, el més clàssic, i el de fer una el·lipse plegant paper a base de tangents.
- Mètode del jardiner
Es basa en el fet que l'el·lipse és el lloc geomètric dels punts que tenen una suma de distàncies als focus constant.
Amb un parell de xinxetes, una corda i un llapis és perfectament reproduïble a l'aula.
També podem fer un mural amb aquesta idea: fer triangles isoperimètrics amb una base fixada i superposar-los sobre la base comuna. Els vèrtexs oposats a la base formaran una el·lipse. Els focus de l'el·lipse seran els vèrtexs de les bases dels triangles.
- Plegant paper
Cal retallar un cercle de paper o dibuixar-lo sobre un paper vegetal. Marquem un punt descentrat i anem fent plecs de manera que la circumferència toqui el punt marcat. A còpia de fer plecs, es van traçant les tangents d'una el·lipse que té com a focus el punt dibuixat i el centre de la circumferència.
Amb aquesta excel·lent construcció amb GeoGebra de Ramon Nolla podeu veure el mètode i el resultat.
Podeu trobar la justificació del mètode, amb altres aportacions interessants, al Blog del PuntMat.
... l'el·lipse és una de les corbes que veiem amb més freqüència. Sempre que observem un cercle de costat estem veient una el·lipse: una roda, un senyal de trànsit, la part superior d'un pot cilíndric... I, normalment, no els veiem centrats.
O quan bevem d'un got!
 |
| Fotografia de Chema Madoz |
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada