Haig de confessar que m'agraden els llibres d'Adrián Paenza. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest enllaç. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols Grandes temas de la matemática (2015)
 |
| Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949) |
En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 ¡Un matemático ahí, por favor!. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.
- Problema 1: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:
- Ronaldo: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.
- Messi: ¡Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.
- Ronaldo: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.
- Messi: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.
- Ronaldo: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.
- Problema 2: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?
- Problema 3: A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: x per quedar primera, y per quedar segona i z per quedar tercera. Els tres números (x, y, z) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: x > y > z. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?
La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.
- Pista pel problema 1: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?
- Pistes pel problema 2: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.
- Pistes pel problema 3. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?
I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.
Solucions
Problema 1
- 1r raonament sobre Messi
No és difícil fer una llista dels possibles resultats que ha rebut Messi sobre la suma dels dos nombres.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1+1 | 1+2 |
1+3 2+2 |
1+4 2+3 |
2+4 3+3 |
2+5 3+4 |
3+5 4+4 |
4+5 | 5+5 |
Si li haguessin dit com a resultat de la suma 2, 3, 9 o 10 hauria pogut contestar, ja que és una descomposició additiva única. Si no ha contestat, li han dit 4, 5, 6, 7 o 8.
- 1r raonament sobre Ronaldo
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 20 | 25 |
| 1·1 | 1·2 | 1·3 | 1·4 2·2 |
1·5 | 2·3 | 2·4 | 3·3 | 2·5 | 2·4 | 3·5 | 4·4 | 4·5 | 5·5 |
Aquest clar és flagrant: només en un cas pot dubtar: si li han dit 4 com a resultat del producte.
- 2n raonament sobre Messi
- 2n raonament sobre Ronaldo
Ronaldo tenia dos resultats possibles: 1 i 4, per un costat, i 2 i 2 per l'altre. Sabent que la suma que li han donat a Messi és més gran que que el producte que li han dit a Ronaldo, ja pot declarar que també els sap. I nosaltres també! Els nombres eren 1 i 4. A Messi li havien dit 5 i a Ronaldo 4. En l'altre cas, 2 i 2, la suma i el producte haurien estat el mateix,
Aquest problema és una versió reduïda i abastable a l'aula del conegut "problema impossible" al qual ja vam dedicar un article en aquest blog: Jo sé que tu saps que jo sé... el "problema impossible" i el "problema viral de Singapur.
No sé si els protagonistes d'aquest problema són els ideals per a fer aquesta mena de raonaments. Però són els que ha triat Paenza, que un temps va ser comentarista esportiu. De fet, sí que té una certa amistat amb Pep Guardiola, que, potser, sí sembla més capaç de resoldre'l.
Problema 2
En aquest problema el més sorprenent és la pregunta. Veiem com la podem contestar. Ho farem a partir d'algunes preguntes clau.
- Quants partits es van jugar? Si sumem els partits que van jugar entre els tres obtenim 42 (10+15+17). La quantitat de partits reals serà justament la meitat, 21, ja que cada partit l'hem comptat dues vegades.
- Quin és el mínim de partits que pot haver jugat un d'ells? Imaginem que el jugador A, que és el que ha jugat menys, juga la primera partida i la perd: no jugarà la 2 i entrarà a la 3. També perd la 3, surt i entra a la 5... Si seguim aquest raonament, imaginant que perd totes les partides, hauria perdut les 11 partides senars que hi ha entre 1 i 21 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 i 21). Però tenim que A ha jugat una partida menys: 10. Això només és possible si A ha jugat i perdut totes les partides parells: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i 20.
- Resposta: ja ho tenim: A ha perdut la segona partida.
Problema 3
Comencem per recordar el que sabem i constatem també les deduccions més immediates que es poden fer a partir de l'enunciat.
- Sabem que B ha guanyat una de les competicions i té un total de 9 punts.
- Si sumem les puntuacions de les tres competidores obtenim 40 punts (22+9+9). La quantitat de competicions (n) multiplicada pels punts obtinguts en total per cadascuna (x+y+z) de les tres atletes ha de donar 40: n·(x+y+z)=40.
- Si les puntuacions de cada prova per a 1a, 2a i 3a han de ser diferents i nombres naturals, la puntuació mínima en total és 6 (3+2+1).
| Competicions | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 | 20 |
| Suma de punts | 20 | 10 | 8 | 5 | 4 | 2 |
Veiem que hi ha tres resultats que es poden descartar (els tres en vermell), perquè la puntuació total és inferior a 6 punts.
- Estudiem el cas 2 competicions repartint 20 punts
- Estudiem el cas de 4 competicions repartint 10 punts
| 4 competicions 10 punts totals |
7+2+1 | Es pot descartar directament. La mínima puntuació possible per a B, quedant 1a a una competició i 3a a les altres tres, seria 10 punts, superior a 9: 7+1+1+1>9 |
| 6+3+1 | S'ha d'estudiar. Seria possible per a B el cas 6+1+1+1=9 | |
| 5+4+1 | Es pot descartar directament. B podria obtenir 5+1+1+1=8<9 (inferior a 9) o 5+4+1+1=11>9 (superior a 9) | |
| 5+3+2 | Es pot descartar directament. El mínim per possible per a B és superior a 9: 5+2+2+2=11>9 |
Mirem l'únic cas teòricament possible: que les puntuacions fossin 6, 3 i 1. Sabem que A té 22 punts i que, com a molt ha guanyat 3 competicions de les 4 (la 4a ha estat per a B). Tres competicions guanyades són 18 punts (3·6). Si queda segona als 100 metres llisos tindria una puntuació màxima de 21 punts (18+3, 1a-1a-1a-2a). Li en falta un per als 22 que ha obtingut.
Tampoc pot ser aquest el cas. Només ens en queda un.
- Estudiem el cas de 5 competicions repartint 8 punts
La segona (4+3+1) es pot descartar. Guanyant les cinc competicions s'obtenen 20 punts com a molt. I A en té 22.
Estudiem 5+2+1 que és l'única possibilitat que ens queda. Podem intentar distribuir els punts per a cada atleta en una taula.
| Competició | A | B | C |
| 1 | 5 | ||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| Total | 22 | 9 | 9 |
Si B ha guanyat una competició, per a obtenir un total de 9 punts no queda una altra opció de que hagi quedat 3a a les quatre restants.
| Competició | A | B | C |
| 1 | 5 | ||
| 2 | 1 | ||
| 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | ||
| Total | 22 | 9 | 9 |
Estudiem ara el cas d'A amb 22 punts. L'única combinació possible és que hagi guanyat 4 competicions (les que no ha guanyat B) i hagi quedat 2a a l'altra.
| Competició | A | B | C |
| 1 | 2 | 5 | |
| 2 | 5 | 1 | |
| 3 | 5 | 1 | |
| 4 | 5 | 1 | |
| 5 | 5 | 1 | |
| Total | 22 | 9 | 9 |
Ens queda mirar si les posicions que queden per a C ens donen els 9 punts que ens demana l'enunciat. Com veiem a la taula tot quadra.
| Competició | A | B | C |
| 1 | 2 | 5 | 1 |
| 2 | 5 | 1 | 2 |
| 3 | 5 | 1 | 2 |
| 4 | 5 | 1 | 2 |
| 5 | 5 | 1 | 2 |
| Total | 22 | 9 | 9 |
Ara ja podem contestar la pregunta inicial: "Qui ha quedat segona al salt d'alçada?". Sabem que la competició guanyada per B són els 100 metres llisos. En aquella competició A ha quedat segona. Però la resta les ha guanyat, B ha quedat 3a i C ha quedat 2a. Per tant la resposta és que la Carme ha quedat la segona en aquesta prova.
Una mica de treball de pic i pala per a resoldre el problema, però no tanta feina si agafem algunes de les dreceres que ens pot indicar la lògica.
I a l'aula?
- Hi ha problemes de recreació matemàtica que són sorprenents pel seu resultat antiintuïtiu. A priori no semblen interessants, però després ho són molt. En aquest blog podem trobar exemples a l'article Tibant la corda o Estirem el problema dels pastors i els pans. L'interès dels problemes presentats ara, rau en l'aparent manca d'informació per contestar el que se'ns demana. Fins i tot, en dos dels problemes, el que desconcerta és la mateixa pregunta. No són fàcils inicialment, però amb una mica d'ajuda no són tan inassolibles. Tenen una altra virtut. Sovint està mal vist el tempteig com a estratègia de resolució de problemes. És un error didàctic important. L'assaig i millora és una gran estratègia que, fins i tot, ens ajuda a entendre millor el que se'ns demana a partir del que sabem. Ens familiaritza amb el problema. Però en aquests problemes, pràcticament no tenim altra alternativa que la provatura de casos per resoldre'ls. Eleva de categoria aquesta estratègia.
- Fer-se preguntes és una de les competències relacionades amb la resolució de problemes. Per què no formular altres preguntes, per aquests tres problemes, que no puguem contestar? O que sí que puguem esbrinar.
- De l'estil del problema 1, en què "no saber" o "dubtar" és una informació essencial per resoldre'l, hi ha un gran clàssic que no podem deixar de recordar. Ta,bé afegirem una variant una mica més complexa.
- "Dos amics que fa molts anys que no es veuen es retroben i comencen a xerrar. Un li diu a l'altre "Tinc tres filles. El producte de les seves edats és 36 i la suma és el número de carrer on tu vius". L'altre li diu "No tinc prou dades" i el primer li contesta "Tens raó, quina casualitat. Te la donaré: la més gran toca el piano".
- Una variant una mica més llarga és la següent: "A la casa dels nous veïns d'en Manel Quatrecomptes s'estava sentint un gran xivarri de canalla. En Manel va anar ràpidament no fos que li haguessin muntat una guarderia al costat i el veí li va contestar que tenien una festa d'aniversari. -"Hi els fills dels Armengol, els dels Boronat, els dels Coromines i els meus, els Dalmau. Els Armengol tenen més fills que els Boronat, els Boronat més que els Coromines i nosaltres, els Dalmau som els que tenim menys. La suma de tots els fills no arriba a 18 i el seu producte és el número de la casa on vivim". En Manel, fent honor al seu nom va fer quatre comptes, i va demanar: "No en tinc prou informació. Que vosaltres els Dalmau teniu més d'un fill?". El veí va somriure i li va contestar que efectivament, tenien més d'un fill. Immediatament en Manel va poder dir quants fills tenia cada família. Pots dir-ho tu també?
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada