Tibant la corda

El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: Very Math Trip, de Manu Houdart i Le cercle des problemes incongrus d'Alex Bellos (Can you solve my problems?, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de fulbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?

Enllaç a la construcció

Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.

Seguim?

• Primera qüestió: des d'on hem d'estirar?

L'enunciat deixa oberta aquesta qüestió. Podem experimentar una mica, per exemple amb GeoGebra i observarem que, com segurament ens haurà dictat la intuïció, que el punt de màxima alçada s'obté estirant pel mig.

Enllaç a la construcció

És interessant justificar per què. Ràpidament en veurem dues explicacions.

1. La corda forma, amb la línia del terra un triangle. Independentment d'on estirem els triangles tindran el mateix perímetre, ja que la base és sempre de 100 m i la suma dels dos altres costats és 101 m. L'altura màxima s'obtindrà quan el triangle tingui també l'àrea màxima: quan sigui isòsceles, és a dir, quan l'altura estigui al mig de la base.
2. Hem vist que els triangles formats per la corda i el terra són isoperimètrics i de base fixa. Si estirem la corda per diferents punts aquests aniran traçant una el·lipse. La màxima alçada l'obtenim en el punt perpendicular al seu eix horitzontal. L'altura serà el semieix vertical.

• Segona qüestió: quina alçada obtindrem?

Un cop decidit quin és el punt on obtenim la màxima alçada, esbrinar-la no té més dificultat que aplicar el Teorema de Pitàgores a un dels dos triangles rectangles en què queda dividit, per l'altura, el triangle fet sota de la corda. I, amb sorpresa, veurem que, afegint només un metre de corda, podria passar folgadament, una girafa. Fins i tot amb un petit mico al cap. Les girafes no acostumen a passar dels sis metres...

• La versió de Bellos: engalanant el carrer.

En la versió de Bellos es demana, directament quina mida tindrà un pal que haurà d'aguantar una garlanda de 101 m, tenint en compte que el carrer de banda a banda fa 100 m, que està lligada a terra i que el pal es posa al mig de la garlanda. Podem variar el problema i fer una investigació més completa.

Probablement, haureu penjat alguna vegada algun objecte d'una corda que va de banda a banda de la paret. I aquest objecte sempre, indefectiblement, queda més baix del que havíem previst. Podem investigar el model. Per exemple, podem començar amb una idealització, sense tenir en compte que la corda és flexible i que el pes de l'objecte no importa. En aquest model, si tenim dues parets a una distància n i una corda un 1% més llarga (1,01n) quant baixa (h) un objecte penjant del punt mitjà? Quina mena de relació hi ha entre n i h? Lineal? Quadràtica? 

Si volem fer un treball més interdisciplinar podem passar a experimentacions reals i estudiar com influeix l'elasticitat de la corda, el pes de l'objecte, etc.

Passem per un problema conegut: la corda envoltant la Terra.

El problema que segueix és, potser, un dels més bonics i sorprenents de la matemàtica recreativa. El donarem per conegut i només el repassarem una mica per sobre.

Envoltem amb una corda tot l'Equador de la Terra (posem 40 000 km). A aquesta corda li afegim un metre i la tornem a posar al voltant de la Terra, però ara, en ser més gran que l'Equador, ens quedarà flotant (com un anell de Saturn, per fer-nos una idea). La pregunta és quant se separarà de la línia de terra, quant s'aixecarà. Sovint també se'ns demana quins animals d'una llista poden passar per sota.

Si no l'heu fet mai, us recomanem aturar-vos i resoldre'l. Abans, però, feu una estimació tenint en compte que afegim un sol metre a una corda de 40 000 km.

El problema té dues sorpreses: la corda se separa gairebé 16 centímetres (hi passaria un conill per sota) i, a més, aquesta separació és independent de la mesura de la corda inicial: si afegim un metre a la corda sempre la distància serà d'uns 16 cm, sigui sobre una pilota de golf, de bàsquet, la Terra, Júpiter o el Sol.

Una visualització de per què no depèn de la circumferència inicial es pot inferir si plantegem el mateix problema sobre diferents polígons regulars. Per exemple, un quadrat. Veurem que el metre afegit es distribueix igualment pels vèrtexs, independentment de la mida del quadrat original. Si és un metre cada la separació serà de 100 cm entre 8 trossos: 12,5 cm.

Encara en tenim una altra visualització. No és difícil demostrar, amb l'ús de la propietat distributiva, que si omplim el diàmetre d'una circumferència amb tota una filera de circumferències tangents entre elles, i les dels extrems a la circumferència externa, la suma dels seus perímetres és igual al de la circumferència gran.

En el nostre cas tenim que, si dibuixem, dues circumferències, una amb 1 m més de perímetre que l'altra, només hem de fer les dues circumferències tangents interiors i encabir una altra que completi el diàmetre de la gran. El radi serà la separació. Donat que sempre augmentem 1 m, sigui quina sigui la circumferència inicial (la Terra, una pilota de ping-pong...), sempre haurem d'encabir-hi una circumferència d'1 m de perímetre i que tindrà també sempre el mateix radi (que indicarà la separació si les posem concèntriques).

Tornem a tibar la corda

La pregunta ara és: si tenim aquesta corda, que té un metre més que el perímetre de la Terra, i estirem verticalment cap a dalt, tensant-la al màxim, a quina altura arribarem? Una cosa, més o menys, com es veu a la imatge.

Font de la imatge

Ara el problema és una mica més complicat i hem de recórrer a Pitàgores i a la trigonometria. Anomenem r al radi de la Terra i h a l'altura que busquem. Observem un primer esquema de plantejament del problema i, especialment el triangle assenyalat. Veurem que, per lleis de tangència, OBA és un triangle rectangle.

La longitud de la corda, en el tros enlairat AB, no el coneixem. Anomenem-lo t. Pel teorema de Pitàgores podem obtenir una primera equació per trobar el valor de t.

Afegim anotacions a l'esquema. Sabem que t fa mig metre més que l'arc c (el metre de més es reparteix la meitat a cada costa del punt des d'on estirem). Podem observar l'angle AOB (α)  i, per trigonometria esbrinar el seu valor. Un cop esbrinat (consell: en radians) plantegem una nova equació que ens doni el valor de c.

Ja pràcticament ho tenim. Recordem que t val mig metre més que c.

Si igualem els dos valors de t obtinguts tenim l'equació base que ens resoldrà el problema.

Bé... Tot i que coneixem el valor d'r, no és una equació fàcil de resoldre, L'Anton Aubanell, entre altres mètodes, em va suggerir de representar la funció amb GeoGebra i fer una gran "zoom", per veure on talla l'eix d'abcises. La funció té un petit ajustament per treballar en quilòmetres. Es veu clarament que la solució, sorprenentment, ens dona una sorprenent altura de 121 m.

Per a fer-nos una idea de l'alçada que representa podem pensar que l'edifici de l'Hotel Portal Fira de l'Hospitalet de Llobregat, força reconeixible a una de les entrades de Barcelona, té 113 m d'alçada. Li podríem afegir la girafa del primer problema.

Hotel Portal Fira (Arq. Toyo Ito)

A diferència del problema original, aquí l'altura a què es pot aixecar la corda depèn, a més del tros afegit, del radi de la circumferència original.

En el llibre de Bellos, on apareix aquest problema, dona una simplificació de l'equació que permet obtenir un resultat aproximat. No em puc estar de traduir la frase amb què la presenta:

"Aquests equacions [ell presenta la resolució amb un grup de tres equacions]es poden reorganitzar i simplicar -sí, sí, creiue-me- per a donar: "

I a l'aula?

• El primer problema és perfectament assequible un cop es coneix el Teorema de Pitàgores. És interessant pel resultat poc intuïtiu (cal demanar estimacions a l'alumnat abans de resoldre'l), i per les seves connexions amb l'el·lipse. És important discutir l'argumentari de per què s'ha de triar el punt mitjà per a obtenir la màxima altura. També potser interessant fer la investigació de "l'objecte penjant". Un altre tema a investigar és el de les dilatacions lineals. Com un petit augment de longitud pot provocar una gran deformació. Per exemple, un raïl de tren.
  
  
• Ja hem dit que el problema "clàssic" d'envoltar la Terra amb una corda un metre més gran que l'Equador és un dels més bonics de la història de la matemàtica recreativa. Sobretot per la seva doble sorpresa: la grandària del resultat i la independència de la mesura de la circumferència original. Hi ha una altra variant interessant.
  
  "Al Petit Príncep, li agradava, quan acabava de netejar els seus volcans, donar voltes al seu planeta, l'asteroide B-612, i anar veient contínues postes de Sol. Sabent que el seu planeta feia uns 3 m de diàmetre i que ell tenia, aproximadament, una alçada d'1,25 m, quants metres de més li feia el cap, a cada volta, que els peus?"
  
  
  
  

  Veurem que, en aquesta versió, la distància de més tampoc depèn del "planeta", sinó exclusivament de l'alçada de la persona. És indiferent que faci una volta al seu asteroide o al planeta Terra. En els dos casos seran uns 7,85 m (2πh).
  
  
• El plantejament del tercer problema, estirar la corda anterior a la Terra, és una mica més complicat de treballar a l'aula. En tot cas arribar a les equacions, amb coneixements de trigonometria, no és especialment difícil. Resoldre-les és un altre tema. L'opció de representar la funció amb GeoGebra, però, és perfectament aplicable. Amb un punt lliscant per a determinar r, podem estudiar com varia la funció segons el radi.