Que la intuïció i la probabilitat estan renyides és un tema que, recurrentment, s'ha tractat en aquest blog. També podeu veure, sobre aquest tema, el vídeo de la comunicació Què passarà? Intuïció i probabilitat, de la Jornada d'Educació 2021 de l'APMCM. De vegades, la manca d'intuïció està relacionada amb la poca familiaritat o experiència amb les situacions plantejades. Avui aquesta proposta ens convida a pensar sobre una situació ben coneguda, el mètode de tria de "la canyeta més curta". El joc funciona així:
- Tenim un grapat de canyetes (o de cordills, o d'herbes, o pals de gelat...). Tantes com persones intervenen el joc. Les canyetes poden tenir diferents longituds o ser iguals totes, menys una que serà més curta.
- Qui organitza el joc les agafa barrejades amb la mà de forma que, per la part superior, es mostri per a totes una longitud igual. La part inferior acostuma a quedar amagada, però si són, per exemple, cordes desiguals no és estrictament necessari.
- Els jugadors agafen ordenadament una canyeta cadascun.
- Perd (o s'elimina) qui ha triat la més curta.
- És millor ser l'últim perquè així és més probable que una altra persona l'hagi agafat abans.
- És millor ser dels primers perquè tens més canyetes per a triar. Si et vas esperant cada vegada en queden menys i la probabilitat de triar la curta augmenta.
- És millor ser dels del mig per si algú l'agafa abans, però sense esperar que quedin poquetes.
Estudiem el joc?
Imaginem que alguna persona ens fa el següent raonament sobre un joc amb cinc persones:
Al principi tinc un 80 % de probabilitat de no agafar la canyeta curta (4 casos favorables entre 5). Si soc el 2n en triar només tindré un 75 % de probabilitats (3/4) i, així anirà baixant: 66,66 % si soc el tercer (2/3), etc. Millor ser el primer.
Un altre li podria contestar.
Bé... m'estimo més ere l'últim. Tindre un 80 % de possibilitat de que un altre agafi la canyeta més curt abans que jo i només un 75 % si soc el penúltim.
Podríem intuir que si el joc ha perdurat tant en el temps és perquè és equiprobable. Però aquesta idea no ens serveix com a argument: potser ha perdurat perquè no requereix grans preparatius, és fàcil de dur a la pràctica. Pensem si no en les cançons de tria prèvies a molts jocs que, encara que ho semblin, no tenen res d'aleatòries. Al web Càlculus podeu trobar una activitat, Comptar cantant, relacionada amb aquest tema (a l'apartat Comptar-Activitats).
Hem dit moltes vegades que, en probabilitat, convé una experimentació molt i molt i molt llarga. Els applets ens són de gran ajuda en aquests casos. A continuació en teniu un, també fet amb Snap.
Si fem aquesta experimentació llarga, veurem que és indiferent l'ordre: amb cinc canyetes la probabilitat de perdre és sempre pròxima al 20 %.
 |
| Experiment amb 36 000 casos |
El primer argument en pro de l'equiprobabilitat és que és indiferent si s'agafen per torns les canyetes o si tothom les agafa a la vegada. En cas que dues persones volguessin la mateixa canyeta, bé que s'hauran de posar d'acord.
El segon argument és el càlcul. És evident que els que hem insinuat abans eren erronis, perquè no es tenia en compte la condició de que els que havien agafat la primera canyeta (o la segona, etc.) s'havien salvat. De fet al primer dels raonaments, el que deia que la probabilitat de guanyar s'anava reduïnt, se li podria contrargumentar que, seguint el càlcul, s'arribaria a la conclusió que el 5è jugador perdia sempre segur.
Mirem-ho cas a cas i, de nou, amb cinc canyetes. La primera persona té 4 opcions sobre 5 de salvar-se (un 80%) i 1 sobre 5 de perdre (20%). Perquè la segona persona agafi la canyeta curta és indispensable que la primera no l'hagi agafat. És un cas de probabilitat condicionada: 4/5 que el primer no hagi perdut i una opció entre quatre de perdre per al segon. Si fem el càlcul veurem que la probabilitat de perdre per al segon continua sent una entre cinc (un 20 %).
| Jugador | |||||||||||||||||||||||||
| 1r | A | A | A | A | A | A | B | B | B | B | B | B | C | C | C | C | C | C | X | X | X | X | X | X | 6/24 |
| 2 | B | C | B | C | X | X | A | C | A | C | X | X | A | B | A | B | X | X | B | C | B | C | A | A | 6/24 |
| 3r | C | B | X | X | B | C | C | A | X | X | A | C | B | A | X | X | A | B | C | B | A | A | B | C | 6/24 |
| 4t | X | X | C | B | C | B | X | X | C | A | C | A | X | X | B | A | B | A | A | A | C | B | C | B | 6/24 |
- I a l'aula?
- Planteig de la situació i formulació de conjectures per part de l'alumnat. Pot ser interessant destacar els aspectes més plausibles de cadascuna encara que sapiguem que no siguin les respostes que s'ajustin a la realitat. És una manera de destacar que cal experimentar i estudiar la situació i no quedar-nos només amb les conjectures més raonables.
- Experimentació: real per parelles i recollint després els resultats globals del grup. Després podrem deixar l'aplicatiu en marxa per a fer més casos.
- Estudiar la probabilitat teòrica. Segons l'edat miraren si el que convé més és presentar tots els casos possibles (per diagrama en arbre, taula, llista...) o fer els càlculs de proporcionalitat condicionada.
- Pot ser interessant, també, atendre els aspectes psicològics. Per exemple, encara que sapiguem que el joc és equiprobable, ens estimem ser primers per no allargar el "patiment" de perdre?
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada