21 de març de 2021

Estirem el "problema dels pastors i els pans"

 Si se'm demanés fer una antologia dels deu millors problemes de recreació matemàtica el problema "dels pastors i els pans" ocuparia un lloc d'honor. Crec que el vaig conèixer al llibre de l'Home que calculava de Malba Tahan (pseudònim del professor brasiler Julio César de Mello i Souza) amb el calculista Beremiz com a protagonista. És el nus del quart capítol on ens parla de "les tres divisions de Beremiz: la divisió senzilla, la divisió correcta i la divisió perfecta". Però apareix a moltíssims altres llibres, normalment en la seva versió amb dos pastors i un caçador com a protagonistes. No he pogut trobar la història d'aquest problema. Però en alguna pàgina web es diu que aquest ja se li va plantejar al califa Ali-Ibn-Abi Talib (segle VII). També trobem una variant al Liber abaci de Fibonacci (i de la que parlarem més tard).

L'enunciat és el següent:

Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 8 monedes. Com se les han de repartir?


A l'aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin a parts iguals (que seria la "divisió perfecta" de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la "divisió senzilla" de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi si tots dos pastors es posen d'acord qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir "just". Podem conduir el debat a investigar, si més no, que vol dir "matemàticament just" o "proporcionalment just". I a parlar de "repartiment proporcional" que, com veurem i d'aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la "divisió correcta" de Beremiz.

Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos color diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per a representar les monedes poden ser suficients.

El problema representat amb polígons encaixables

En aquest article abordarem en primer lloc la resolució del problema. Però després intentarem analitzar-lo amb diferents distribucions inicials de pans entre els pastors (1 i 7, 2 i 6...), diferents quantitats totals de pans o de monedes. I intentarem veure quines característiques comuns tenen les solucions trobades. També farem alguna petita incursió històrica en aquesta mena de problemes.

Continuem?

Començarem mirant com fer un repartiment proporcional real de les monedes. La majoria de gent pensa inicialment que el repartiment de 5 i 3 monedes ja ho és perquè es correspon amb la quantitat de pans que tenia cada pastor. Però el repartiment no s'ha de fer en funció del pa que tenien sinó en relació al pa que cadascun ha donat al pastor. Mirem-ho.

Inicialment a cadascun dels protagonistes protagonistes li toquen dos pans. Però en sobre altres dos que haurem de dividir en trossos.

A les imatges tenim els pators (en Pedro i La Heidi) als laterals, i el caçador al mig



Si dividim cada pa en tres trossos veurem que cadascun té 2+2/3 o 8/3 o "dos pans i dos trossos", o "vuit trossos"... La terminologia s'ha d'adaptar a nivell en el què estem treballant el problema.


Si ara col·loquem les vuit monedes sobre els vuit trossos de pa del caçador veurem, amb l'ajuda dels colors, que al pastor que tenia 5 pans li corresponen 7 monedes i al que en tenia 3 només li en correspon només una.


Si el problema "dels pastors i els pans" ocupa un lloc especial a la meva llista de preferits de recreació matemàtica, no és pel seu plantejament, molt semblant a altres problemes de repartiments proporcionals, sinó per la sorpresa que produeix el seu resultat: el contrast entre el repartiment intuïtiu (5 i 3) amb el "correcte" (7 i 1).

Evidentment, a aquest mateix resultat es pot arribar per moltes vies. Sovint he utilitzat a l'aula una taula com la següent.

La clau en qualsevol que sigui el mètode de resolució, està en tenir en compte que els pastors també mengen pa i que el repartiment de monedes depèn del pa que li en dona cadascú al caçador.

Es pot crear un debat interessant a l'aula si intentem representar la taula anterior amb fraccions. Té sentit perquè fem trossos dels pans i perquè hem de representar també proporcions amb els diners. Si preguntem quina és la part de pa, en fraccions, que ha menjat cadascun del protagonistes hi haurà alumnes que diran que 8/24, posant al denominador la quantitat total de trossos, en comptes de 8/3, posant al denominador la mida del tros. No és un tema menor.


La versió de Fibonacci

Al Liber abaci (1202) de Leonardo da Pisa (conegut com a Fibonacci) trobem una altra versió del problema: "De duobus hominibus habentibus panes"

"Un dia dos homes tenien un tres pans i l'altre dos. Van anar a passejar prop d'una font. Quan van arribar a aquest lloc, es van asseure a menjar. Va passar un soldat. El van convidar. Es va asseure  i va menjar amb ells, tenint cada convidat part igual. Quan es van menjar tots els pans, el soldat se'n va anar, deixant-los cinc monedes pel preu del menjar. D'aquests diners, el primer va agafar 3 monedes, com ell va portar tres pans; l'altre, per la seva banda, va agafar les 2 monedes que quedaven pel preu dels seus dos pans. Demanem si s'ha compartit bé. Alguns ignorants han afirmat que aquesta divisió era correcta, ja que cadascun dels dos homes havia rebut una moneda per un pa. Però això és fals. De fet, van menjar tots tres pans. D'allà se'n desprèn que cadascun ha tingut un pa i dos terços; el soldat va menjar un pa i un terç, és a dir quatre terços, dels pans del que tenia tres pans. Pans de l'altre, no va menjar més d'un terç de pa. Per això haurien de ser quatre peces al primer dels dos homes i només una al segon."

Primera "estirada" al problema: mirem altres distribucions de pans

Tornem al nostre enunciat original. Hi ha un aspecte inicial a considerar en aquest problema. El preu del pa el marca el caçador. El fet de que reparteixi vuit monedes, i que aquesta quantitat coincideixi amb la de pans, és el que porta a l'equívoc habitual de fer coincidir el repartiment amb la distribució de pans inicials. Si el caçador hagués donat cinc monedes segurament ens hauríem posat a calcular de seguida i no hauríem fet la "divisió senzilla", tal com l'anomenava Beremiz. Sobre aquest tema tornarem més tard.

Ara imaginarem que la quantitat de pans totals continua sent vuit i que les monedes que dona el caçador són també vuit. Però que la distribució inicial de pans és diferent. Per exemple, que un pastor té 7 pans i l'altra un. Com s'haurien de repartir els diners? Mirem-ho amb un taula similar a la primera que hem fet. Però ara apareixeran uns nombres negatius que hem d'interpretar.


Què significa que el 2n pastor dona -5 trossos? El que vol dir és que n'ha rebut cinc del primer. I el -5 de la fila de les monedes? Que hauria de pagar cinc monedes al primer pastor. Però, perquè el 1r pastor ara ha de rebre 13 monedes en comptes de 8? Perquè el caçador ha fixat un preu sobre el que ha rebut: cada terç de pa val una moneda. El segon pastor li hauria de donar 5 monedes també pel pa que s'ha menjat de l'altre. Segurament el 1r pastor es quedarà les vuit monedes i perdonarà al 2n pastor. Però això ja és terreny de la ficció sobre la ficció.

Podem fer una taula que reculli totes les distribucions possibles. Potser que ens ajudem d'un full de càlcul. Els pans que posen ens indiquen les monedes que han de rebre (o a pagar si el resultat és negatiu).

Com veiem, si no tenim en compte simetries, hi ha dues distribucions amb tots dos resultats positius : 3-5 pans (1-7 monedes) i 4-4 pans (4-4) monedes.

Segona "estirada" al problema: canviem la quantitat de pans

Una altra pregunta que ens podem fer és què passa si canviem la quantitat de pans i estudiem diferents distribucions, però mantenint que la quantitat de monedes que el caçador paga coincideix amb el total de pans inicials. Amb l'ús d'un full de càlcul tampoc és massa complicat omplir una taula. També podem distribuir entre petits grups d'alumnes l'estudi de diferents quantitats de pans per a començar. A la imatge teniu la taula per a 17 pans inicials i 17 monedes. Com abans, els pans posats ens indiquen les monedes a rebre.
 

Les solucions que ens interessen més, per a fer diferents versions del problema, són aquelles en les què no hi ha pagament extres entre pastors. És a dir, aquells casos en que els dos resultats de la repartició de monedes són més grans o iguals que zero. Per a la taula anterior, descartant els casos simètrics, són:

6-11 (1-16 monedes). 7-10 (4-13 monedes) i 8-9 (7-10 monedes)

El cas més interessant, per al format del problema, és el més exagerat en la diferència del que cobren. Aquí és el primer: que un tingui 6 pans i l'altre 11. El primer cobraria una moneda contra les 16 de l'altre.

Fem una llista de casos extrems? A l'aula la podem obtenir de les investigacions parcials que hem pogut encarregar. A continuació tenim una taula amb els càlculs des de 3 a 25 pans i anotant els casos en els que la diferència de pagament és més exagerada.


És interessant buscar la pauta d'aquests resultats. Els casos en què un dels pastors no cobra, amb un zero a la quantitat de monedes, ens donen una pista molt clara:
  • la quantitat inferior de pans és igual o més que 1/3 del total de pans.
  • la quantitat superior de pans no passa mai dels 2/3 del total de pans.
Un repte interessant, amb alumnat és gran, és intentar demostrar algebraicament que els pagaments positius (o iguals a zero) es mouen entre aquests límits.

El que hem observat ens permet calcular ràpidament quina és la millor versió de l'enunciat per a una quantitat n de pans.

Trobar la pauta dels pagaments corresponents també és fàcil, perquè observem un cicle 0-2-1. Si dividim la quantitat de pans per 3 el residu ens dirà les monedes del que cobra menys.



Tercera "estirada" al problema: canviem el pagament

Ja hem dit al començament que el problema no tindria cap gràcia si la quantitat de monedes fos diferent a la de pans. No hi hauria sorpresa per la contradicció entre la primera solució que ve al cap i la real. Si les quantitats de monedes i de pans són diferents tindríem un "gairebé" típic problema dels que ja van aparèixer a les primeres aritmètiques impreses. Per exemple. a la Summa de l'art de l'Aritmètica (1482) de Francesc Santcliment, la primera aritmètica impresa en català i una de les primeres d'Europa, té el nové capítol dedicat a la "Regla de companyies", que parla d'aquests tipus de repartiments de guanys en funció de la inversió. Curiosament el separa del capítol dedicat a la regla de tres perquè

"la diferència que és entre les companyies i la regla de tres no és sinó per quant en les companyies se troben moltes vegades moltes parts, per ésser molts en companyia, i en la regla de tres no hi ve sinó comunament tres parts. I aquesta és la diferència entre les dites regles."

El primer problema d'exemple, al que li falta un petit tros de l'enunciat i que he completat de forma inventada, és el següent.

[Tres mercaders] "han comprat lo càrrec d'una nau, i lo primer paga del dit càrrec l'1/2. I lo segon, l'1/3. I lo terç paga l'1/4. I venen lo dit càrrec i troben-se en guany 357 lliures. Vejam que té d'haver cadascú segons la part que cadascú ha pagat."

Es pot observar que les parts no sumen la unitat i és interessant veure com es resol el tema al llibre. Però ara no hi entrarem més enllà del que veieu a la imatge.

Pàgina de la Summa amb la resolució del problema


A un llibre més antic, el Compendi de l'art del càlcul (segle II), atribuït a Ibn as-Samh, al capítol setè, també trobem un problema de repartiments i que es resol, en part, pel mètode de la falsa posició.

"Com es reparteixen 100 dírhams  entre quatre homes, amb la condició de que la porció del primer sigui un mig de la proció del segon, la porció del segon un mig de la porció del tercer i la porció del tercer un mig de la porció del quart? Sabem que si el capital fora de quinze dírhams, la porció del primer seria un dírham, llavors agafa un terç d'un cinquè de cent i aquesta és la porció del primer"

En tot cas si plantegem el nostre problema inicial de la manera següent veiem que no té cap atractiu especial:

Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 5 monedes. Com se les han de repartir?

Però si hem treballat a l'aula algun dels "estiraments" anteriors potser sí que estem en una situació de repte que el faci interessant per a l'alumnat. Hem fet tot un camí i les noves preguntes han d'anar sorgint. L'ideal és que l'estirada cap a canviar la quantitat de monedes sorgeixi de la pròpia aula. Però si no surt de manera natural podem fer la pregunta directament.

He dit abans que el problema era "gairebé" semblant a un problema com el de la "Regla de companyies". Aquest té la petita dificultat afegida, com hem destacat diverses vegades, que el que aporta cadascú és el que dona de menjar al caçador, que no està escrit a l'enunciat, i que el preu del pa el marca la quantitat de monedes que aquest deixa. Per tant, abans de fer el repartiment, hem de calcular dues coses:
  • la part de pa que dona cadascú
  • el preu del pa en funció del pa repartit i de les monedes deixades.
Podem convidar a trobar fórmules generals per a cadascuna de les dades que necessitem:


Ara ja podem fer els càlcul per a 8 pans (5 i 3) i 5 monedes.


Amb aquestes fórmules i mètodes no és difícil preparar un full de càlcul o un petit programa amb scratch o snap que ens digui com s'han de repartir els diners en funció dels pans de cada pastor i de les monedes pagades.

Enllaç al programa

I a l'aula?

Crec que les possibles seqüències a l'aula s'han anat explicant al llarg de l'activitat. En tot cas destacaria algunes de les idees que han aparegut.

  • El problema no convida al repte per l'enunciat. Però podem augmentar la curiositat inicial amb la discussió sobre la "justícia" dels possibles repartiments ens pot ajudar a presentar la idea de repartiment proporcional. El repartiment de 5 i 3 monedes és més "proporcionat" que el de 4 i 4. Potser algun alumne/a apunta al de 6 i 2. La sorpresa (i l'efectivitat) del problema rau en que el repartiment justament proporcional sigui de 7 i 1.
  • Podem aprofitar aquest problema per anar-lo estirant en una seqüència més o menys semblant a la proposada: variar la distribució de pans, variar la quantitat de pans, variar la quantitat de monedes. Arribem així a un "problema tipus" que presentat en primera instància no hauria tingut gaires possibilitats de despertar l'interès de l'alumnat.
  • Convé utilitzar materials manipulables per a la resolució de la primera versió del problema. Ajuda molt poder simular que repartim el pa.
  • En les ampliacions del problema ens podem ajudar de fulls de càlcul. Aprendre a incloure fórmules als fulls de càlcul és un aprenentatge general cada vegada més necessari. En alguns moments també es poden incloure la confecció de petits programes per realitzar els càlculs. L'algoritmització és una part important del pensament computacional.
  • No hem de descuidar la part històrica. Aquí, per exemple, hem parlat del Liber abaci de la Summa de l'art d'Aritmètica i del Compendi de l'art del càlcul. És interessant fer veure que aquests problemes de repartiments proporcionals venen de molt antic i que llavors era "un art" saber-ho fer i s'explicava a llibres per especialistes.
Còmic aparegut amb el problema al Pequeño País als anys 80



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada