Corones. D'un problema a un teorema

En aquest article seguiré un itinerari, pràcticament clavat, al que ens van presentar en una xerrada, i si la memòria no em falla, els il·lustres membres del MMACA, Josep Rey i Manel Udina. Van connectar dos problemes que coneixia de manera independent i que no se m'havia acudir mai relacionar. El problema inicial, que no era exactament el mateix que ells van plantejar, el recordo del llibre de Mariano Mataix "Cajón de sastre matemático" (1981). El problema, més o menys, deia així:

"Suposem que tenim dues circumferències concèntriques. Tracem una tangent a la interior que tallarà l'exterior en un punt. La distància entre aquest punt i el de tangència és d'un metre. Troba la superfície de la corona circular que formen les dues circumferències."

Sembla increïble però el problema es pot resoldre tot i disposar només d'una informació tan mínima. Això si, cal l'ajuda "d'una idea feliç". Com a pista només cal recordar que la fórmula de l'àrea de la corona és π(R²-r²) i que aquesta expressió, R²-r², ens pot recordar com calcular un catet d'un triangle rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores. Un cop resolguem aquest problema veurem que té altres sorpreses amagades i l'anirem ampliant fins a relacionar-lo amb un dels teoremes més bonics i sorprenents: el de Holditch. Aquest teorema el vaig veure per primera vegada en el preciós llibre de Clifford A. Pickover El libro de las matemáticas. Ja explicarem més tard què proposa. Només apuntarem que té a veure amb àrees de corones i escuradents, amb un punt marcat, que es mouen per la vora de figures corbes. Tot i així, qui me'l va redescobrir va ser el web de Gaussianos en un magnífic article que referenciaré al final.

Font de la imatge

Us animeu a continuar llegint?

En aquest esquema podem veure la resolució del problema inicial i que l'àrea de la corona és, justament π. Es basa en l'observació de que el segment (la semicorda) d'1 m és el catet d'un triangle rectangle format pels radis de les dues circumferències. Justament aquesta distància és la que apareix a la fórmula del càlcul de l'àrea de la corona circular i és dada suficient per calcular-la. (Tenim que R²-r²=1).

En molts problemes és interessant prescindir de les mides concretes que se'ns proporcionen i treballar amb variables: generalitzar-lo.  Així, sovint, es desvetllen més clarament les relacions entre les diferents dades que apareixen en el problema. En aquest cas, els dos radis i la longitud de la semicorda. Si anomenem a a aquest segment obtenim que l'àrea de la corona és πa².

.

Aquí podem tenir una primera sorpresa. L'àrea de la corona és equivalent a la d'un cercle que té com a radi aquesta semicorda.

La segona sorpresa és que, si no cal conèixer els radis dels cercles concèntrics i l'àrea només depèn de la longitud de la semicorda, significa que l'àrea de la corona no depèn de forma directa d'aquesta radis. Totes les corones circulars que tinguin la mateixa longitud de semicorda tangent al cercle interior tindran la mateixa àrea, independentment del seus radis.

Enllaç a la construcció

Modifiquem el problema una mica

Ara podem imaginar la circumferència interior dibuixada d'una altra manera. Imaginem que tenim una circumferència qualsevol i un palet (per exemple un escuradents) amb un punt marcat. Si fem moure el palet per la part interior de la circumferència, de manera que els dos extrems sempre toquin el seu perímetre, el punt que haguem marcat traçarà, en el seu moviment, una nova circumferència interior. Aquest punt pot estar centrat o no en el palet, és a dir, a la corda que fem moure tot al voltant de la circumferència.

Enllaç a la construcció

Si el punt està centrat en la corda, el problema de calcular l'àrea de la corona circular creada seria similar al que hem plantejat al principi. Podem observar que, per simetria, l'àrea màxima s'obté, justament, quan el punt és el central de la corda. En tot cas, si no està centrat, no ens serveixen del tot els càlculs anteriors. Els haurem de retocar.

Començarem per nomenar a i b les longituds en què queda dividida la corda. També anomenarem R al radi del cercle inicial (l'exterior) i r al del cercle interior dibuixat pel punt.

Podem considerar com a incògnita addicional el segment x que uneix el centre de les circumferències amb el punt mitjà de la corda. És un segment interessant perquè ens divideix el triangle format pels radis i el segment a en dos triangles rectangles.

Agafant el triangle rectangle de la dreta, podem esbrinar la longitud d'x en funció d'R, a i b. Més que x, ens interessa esbrinar x², ja que estarem treballant molta estona amb els quadrats de les variables.

Si mirem ara el triangle rectangle de la part esquerra, que relaciona r, x i la distància entre el punt assenyalat a la corda i el centre d'aquesta, tindrem el valor d'r² relacionat amb x, a i b. Com veurem la relació amb x ens portarà a la relació amb R.

Ara només ens queda treballar amb les expressions trobades per a calcular l'àrea de la corona circular. El que farem serà substituir x² a la segona equació per l'expressió equivalent de la primera. Així obtindrem quan val r². Després substituirem, a la fórmula de l'àrea de la corona circular, r² pel valor obtingut.

Si observem el resultat al que hem arribat veurem que, com al problema inicial, els radis de les circumferències no hi juguen un paper directe, el que importa és on està situat el punt sobre la corda. De retruc veiem que el problema inicial és un cas particular d'aquest (quan el punt és el mitjà de la corda) i que, en aquest cas, a més s'obté l'àrea màxima per a una corda donada. Però si mirem atentament l'expressió obtinguda (πab) podem reconèixer l'àrea d'una el·lipse que té com a semieixos les dues longituds en les que queda dividida la corda.

Enllaç a la construcció

I si provem amb una el·lipse?

Tot bon problema porta a preguntes noves. Pot ser interessant canviar la corba sobre la que fem girar al corda. I si provem amb una el·lipse? Una primera qüestió que ens podem plantejar és si la figura que dibuixarà el punt assenyalat a la corda serà una altra el·lipse concèntrica. I. si és així, aquesta el·lipse serà com l'exterior però més petita? O tindrà una forma diferent? Us convidem a experimentar amb aquest applet fet amb GeoGebra.

Enllaç a la construcció

Amb poca experimentació haureu observat que el punt de la corda traça figures ben diverses, i poc previsibles, que dificulten els càlculs de l'àrea de la corona.

De moment fem un acte de fe en que la fórmula πab continua funcionant.

El Teorema de Holditch

Hamnet Holdicht va ser un matemàtic anglès del segle XIX i el seu resultat més famós és el del teorema que porta el seu nom. Aquest teorema ve a dir que:

"Si tenim una corba tancada convexa i fem girar sobre ella una corda de longitud fixa i amb un punt sobre aquesta corda a distàncies a i b dels seus extrems, el lloc geomètric d'aquest punt genera una altra corba, també tancada, d'un àrea menor a la primera en πab".

Font de la imatge: Viquipèdia

El teorema anterior generalitza la propietat i el resultat obtingut per a les corones circulars per a qualsevol corba tancada i convexa. Ben bonic! L'àrea de la corona generada és independent de la forma i mida de la corba inicial. Només depèn de la longitud de la corda (o de l'escuradents si ho fem amb material) i d'on haguem marcat el punt que traça la corba interior. I, per a més màgia, l'àrea és equivalent a la d'una el·lipse que té per semieixos les dues longituds en les que està dividida la corda.

No ens allargarem amb la demostració del teorema que podeu trobar en aquests dos enllaços:

• Web de Gaussianos. A l'article El teorema de Holditch, un resultado geométrico inesperado hi trobareu una imatge amb la demostració original de Holditch. Ocupa una pàgina només.
• MATerials MATemàtics. A aquesta revista matemàtica hi ha un complet article d'Armengol Gasull, Gemmes matemàtiques (2019), on recull un conjunt de "demostracions belles i boniques". Una d'elles mostra la d'aquest teorema,

I, si voleu ampliar, també tenim un article de Lluís Santaló, Sobre el teorema de Holdicht y análogos en geometría no euclidiana. Però ja avisem que no és una "lectura fàcil".

Fragment de l'article de Santaló

I a l'aula?

• Crec que l'objectiu de fer entrar aquesta activitat a l'aula és poder fer conèixer un teorema tan bell, sorprenent i antiintuïtiu. Que l'àrea entre les dues corbes sigui independent de la mida i forma d'aquestes és una primera sorpresa. Que, a més, l'àrea només depengui de la mida de la corda i de la seva divisió i es correspongui amb la d'una el·lipse que té com a semieixos les mesures d'aquesta divisió, és el remat. El grau de treball matemàtic que es faci pel mig dependrà de l'edat. No crec que sigui necessàri conèixer la demostració final del teorema. Potser per aquell alumnat de batxillerat que ho demani. Tot i que aquesta té el seu encant. Personalment, recordo una magnífica estona, a la seu del Creamat, en la que l'Anton Aubanell l'anava desgranant i me l'anava explicant.

• El problema inicial és plantejable a l'aula amb uns certs coneixements d'àlgebra i geometria. El difícil, però, és tenir "la idea feliç" del dibuix que fa construir el triangle rectangle que ens ajuda a solucionar-lo. Per tant, podem graduar l'ajuda i les pistes que donem. El que és interessant és fer les interpretacions algebraiques posteriors. Un cop fet el cas de la semicorda de mida 1, podem demanar la d'una de longitud a. Resolt el primer cas, aquest no plantejarà tantes dificultats. I després fer les reflexions sobre l'expressió algebraica obtinguda i observar que no depèn dels radis i que l'àrea de la corona és igual a la del cercle de radi igual a la semicorda. Saber interpretar expressions algebraiques, desvetllar les relacions que es mostren, és una de les capacitats algebraiques més interessants a treballar a l'aula.

• L'extensió a la idea de fer girar sobre una circumferència una corda amb un punt marcat es pot explicar i experimentar a l'aula sense necessitat de justificacions especials. Podem fer el paral·lelisme entre el cas treballat (punt mig de la corda) i el més general (punt descentrat), tot comentant que el cercle és un cas especial de l'el·lipse i que, per això en un cas és πa² (perquè les dues longituds de divisió són iguals) i en l'altre, πab,  (perquè són diferents). En tot cas, el problema de calcular l'àrea de la corona circular amb el punt descentrat sobre la corda, es pot proposar com a problema d'ampliació.

• Sobre corbes diferents als cercles hi ha alguns applets de GeoGebra que ens poden ser útils per mostrar. A continuació us en proposem un parell.
  
  
• Applet de G. Wengler que permet experimentar sobre diferents el·lipses.

Enllaç a l'applet

• Applet Thijs que permet experimentar per una corba tancada més general.

Enllaç a l'applet