Al 1855, Karl Richard Lepsius va publicar un estudi sobre les inscripcions jeroglífiques del Temple d'Horus que es troba a Edfú.
Al 1921 el matemàtic Thomas Little Heath escrivia, a la seva història de les matemàtiques gregues, aquesta frase a partir del treball de Lepsius.
"De moltes d'aquestes inscripcions que van ser publicades per Lepsius en recollim que 1/2(a+c)·1/2(b+d) era una fórmula per a l'àrea d'un quadrilàter els costats dels quals són, per ordre, a, b, c, d."
Dit d'una altra manera, l'àrea d'un quadrilàter es calculava trobant la d'un rectangle que tenia per costats la mitjana dels costats oposats.
A partir d'aquesta informació ens podem fer algunes preguntes:
- Funciona sempre bé aquesta fórmula?
- Si no és així, quan funciona?
- Si no funciona, l'error és molt gran? Molt petit? De què depèn?
Però, per "fer boca", podem veure ràpidament que la "fórmula egípcia" no funciona. Només cal observar un exemple, que bé ens podria servir pels nivells més baixos: els rombes. Aquestes figures queden determinades només amb un costat i un angle. Quan l'angle és de 90º tenim el quadrat. Justament el mètode egipci, i tenint en compte que en el rombe els costats són iguals, fa que l'àrea de qualsevol rombe sigui "igual" a la del quadrat amb el mateix costat, cosa evidentment falsa.
 |
| L'àrea d'un rombe de costat 5 pot prendre valors de 0 (0º) a 25 (90º) |
Un dels aspectes més curiosos d'aquesta fórmula és que està datada aproximadament en el segle I a.n.e, quan Euclides, al mateix Egipte, però més al nord, havia publicat ja el seus Elements.
Estudiem el la "fórmula egípcia" amb més detall?
- Paral·lelograms
En el cas dels paral·lelograms, en què els costats oposats són iguals, la "fórmula egípcia" es converteix en la d'un rectangle que té per costats els dos donats.
Podem veure com l'àrea només coincideix exactament quan la figura és un rectangle i que s'aproxima més quan l'angle s'acosta als 90º.
Una pregunta possible a fer és demanar que conjecturin quan l'àrea del paral·lelogram serà la meitat de la del rectangle "egipci". Molt probablement diran que serà als 45º, però experimentant observaran que l'angle ha de ser de 30º (on l'error serà del 100%)
Podem fer un estudi més acurat tenint en compte que podem calcular l'àrea del paral·lelogram coneixent els dos costats (a i b) i l'angle que formen (α).
D'aquesta manera, si fixem valors per a i b, podem fer una funció que ens doni l'àrea depenent de com variï l'angle α (entre 0º i 90º). També queda justificada la resposta sobre la meitat de l'àrea del rectangle, donat que el sinus de 30º és 1/2. Que només en el cas del rectangle la fórmula egípcia coincideix amb la real també queda justificat, perquè el sinus de 90º és 1.
- Estels i fletxes (deltoides)
L'adaptació de la "fórmula egípcia" a aquest cas, en què el costat oposat a a és b i l'oposat a b és a, fa que l'àrea obtinguda sigui equivalent a la d'un quadrat que té com a costat la mitjana dels dos.
Una petita exploració, ara amb angles de 0º a 180º, ja que no hi ha la simetria de solucions passats els 90º com en el cas dels paral·lelograms, ens farà veure, de nou, que l'àrea real i l'obtinguda per la fórmula egípcia només coincideixen quan els costats són iguals i l'angle és de 90º, quan és un quadrat. També en aquest cas l'àrea meitat s'aconsegueix en 30º i 150º.
L'àrea dels estels es pot calcular fàcilment a partir de les diagonals. És la mateixa que la de l'àrea del rombe (D·d/2), que és un estel particular: el de costats iguals. Però si volem investigar a partir dels dos costats i l'angle ens convé utilitzar una fórmula que relacioni aquestes tres dades. No és difícil convertir un estel en un paral·lelogram equivalent amb els mateixos costats i el mateix angle. Per tant, podem utilitzar la mateixa fórmula que pels paral·lelograms.
Ara sí que podem fer un estudi general per aquest cas, igual que hem fet abans amb els paral·lelograms.
- Trapezi isòsceles
La podem interpretar com l'àrea d'un rectangle que té per costats la mitjana dels costats paral·lels i per altura el costat igual. Clarament és superior a l'àrea real del trapezi perquè, si la comparem a la fórmula tradicional de l'àrea, el costat desigual és més gran que l'altura.
Podem experimentar amb aquesta construcció.
Un cop més l'àrea "egípcia" i la real coincidiran només quan tinguem un rectangle (a=c). Mirem ara l'estudi general. Hem de fer ara una especificació. Comptem amb que es fixen els costats a i b i la variable és el costat c, al que hem donat una longitud màxima igual a l'altra base (a). Com es veurà la funció de "l'àrea egípcia" (de color verd) ara també varia amb c.
- Quadrilàters generals
Podem fer coincidir l'àrea real i "l'egípcia"? En quines condicions? Experimentem.
Per a fer l'anàlisi general i poder generar la funció per a un angle variable i quatre costats donats hem utilitzat una fórmula que relaciona aquestes cinc dades.
- Algunes conclusions i algunes preguntes
Algunes preguntes més que ens podem fer:
- Podem mesurar l'error mitjà?
- Com poder saber entre quins angles serà menor l'error, per exemple d'un ±3% de marge?
- Podem modificar lleugerament la fórmula, però calculant sempre només amb les mesures dels costats?
- Adaptació pels triangles
Podem experimentar i observar en quines condicions "l'àrea egípcia" s'acosta més a la real i en quines s'allunya més. Ens podem demanar coses com, quins costats triar per a fer la semisuma per a comtetre l'error més petit? En quina mena de triangles es minimitza l'error?
Al llibre El surgimiento de la matemática (I. Yá. Depman) es recull un text del segle XIX, del matemàtic M.V. Ostrogradski, on s'explica que a determinades zones de Rússia es feia servir una fórmula diferent.
"En una ocasió viatjava per la meva província natal de Poltava. Veig un home a un camp fent alguna cosa que a primer cop d'ull no vaig comprendre. Resulta que estava mesurant la terra. Li vaig preguntar com mesurava l'àrea d'un terreny de forma triangular. Em va contestar que multiplicava la longituid de dos costats del triangle i feia la meitat. Novament li vaig demanar: "Aquí tothom ho fa així?"- Em va respondre que a la província (és a dir, els agrimensors de la província) ho feien d'una altra manera. però que aquí, a la comarca, totr procedien així".
També pot ser interessant mirar-se una mica aquest mètode. Per exemple, demanar-nos en quin únic cas s'obté l'àrea real del triangle.
I a l'aula?
- El primer que ha de tenir clar l'alumnat és que tres segments poden determinar un triangle (i un de sol) i que quatre costats no determinen un quadrilàter. No hi ha res millor que comprovar-ho amb materials, per exemple pals de fusta amb bagues als extrems. Si amb cordills lliguem tres pals i fem un triangle, aquest és rígid. Si en lliguem quatre fent un quadrilàter es pot deformar de moltes maneres. Fins i tot és bonic amb aquest material fer una piràmide triangular. Í, si tots els pals són iguals, fer un octaedre o un icosaedre. Tot és de nyigui-nyogui fins que lliguem l'últim pal i tanquem tots els triangles; llavors s'aguanta perfectament rígid sobre una base. També, si només volem treballar en el pla, ho podem fer amb tires de meccano o de cartolina i enquadernadors.
 |
| El quadrilàter és "flexible" |
- Al final de la primària o al principi de la secundària potser no cal fer un treball gaire exhaustiu. Es pot plantejar la fórmula, en el seu context històric, i demanar investigar si és certa, si alguna vegada és exacta, quan la diferència entre la real i la calculada és més gran... GeoGebra, que ens proporciona les àrees de forma automàtica, pot ser una bona eina per a treballar amb quadrilàteres generals. També podem fer-ho sobre paper calculant les àrees de quadrilàters generals amb una quadrícula. O utilitzant un geoplà. Aquí tindrem un interessant problema afegit ja que, si bé les àrees es poden deduir força bé, les longituds dels costats, quan no són ortogonals, les haurem de mesurar directament i en relació a la mida del quadrat unitat del geoplà. (O fent servir el teorema de Pitàgores amb els més grans).
- Aquest tema ens pot ajudar a trobar un context per treballar l'error absolut i el relatiu. A batxillerat es pot fer un estudi sobre l'error mitjà i indagar formes de millorar la fórmula per a aconseguir aproximacions més bones tenint en compte, només la longitud dels costats.
- Si treballem diferents figures serà interessant parlar del mínim de dades que necessitem per a determinar-les. També intentar fer les construccions pertinents. Per exemple, la del trapezi isòsceles a partir de tres costats o la dels quadrilàteres generals a partir dels quatre costats i un angle.
- Amb el més grans podem ampliar el tema amb alguns estudis com els que hem proposat. Hi apareixeran qüestions de trigonometria, funcions...
- Pel cas dels triangles podem comparar les bondats i defectes de la fórmula exacta, l'egípcia i la russa. Demostrar, per exemple que amb la fórmula d'Edfú no obtindrem mai l'àrea exacta. Per a el càlcul exacte de l'àrea. podem utilitzar la d'Heró que es basa en la longitud dels costats.
Al llibre del segle VIII Propositiones ad Acuendos Juvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves), d'Alcuí de York, el problema 23 té el següent enunciat:
"És un camp quadrangular que té 30 perxes a un costat i 30 perxes a l'altre, i al davant 34 perxes, i en l'altre 32 perxes. Qui pot dir quants actes conté?" (Nota l'acte és una mesura romana de superfície que té 144 perxes quadrades)
Com veiem, el quadrilàter és irregular i nosabem la forma exacta. Alcuí dona la següent solució:
"Dues longituds del mateix camp fan 62. La meitat de 62 és 31. Però els altres dos costats sumats fan 66. La meitat de 66 és 33. Agafa 33 vegades 31 i tindràs 1020..."
Exactamen serien 1023, Alcuí fa un arrodoniment per fer ara l'equivalencia de les perxes quadrades a actes.
"Divideix per 12 dues vegades com abans [es refereix al problema 22. Primer obtenim 85 i tornes a dividir per 12 i es converteix en 7. Així hi ha 7 actes al camp."
Si ens hi fixem, el procediment de càlcul descrit és equivalent a la fórmula egípcia. Al gràfic tenim el quadrilàter que té una àrea (aproximada) de 1013 i els angles associats.
Aquest problema està àmpliament comentat el llibre de Vicente Meavilla "El lobo, la cabra y la col" i conté una demostració, fent ús de la trigonometria, de que aquesta manera de calcular les àrees dels quadrilàters és sempre, igual o superior a la real.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada