14 de maig de 2022

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers , és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

  • Agafem un dau
  • L'anem tirant i sumant les puntuacions.
  • Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)
Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.


Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer un anàlisi més exhaustiu de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret..

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als que s'arriben són diferents.


Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del cotó de que, com no, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?
Un senzill raonament ens fa veure que l'estudi abreujat que proposàvem al blog és més inexacte que l'exhaustiu. L'abreujat estudiava només la darrera tirada, no es plantejava de quina manera s'havia arribat a la situació anterior a aquesta. És a dir, miràvem què podia passar si a la penúltima jugada teníem, per exemple, un nou, però suposàvem que els camins per arribar a nou eren els mateixos que per arribar a set, vuit, deu, onze o dotze, cosa que no és certa. Com es diu sovint "la percepció retrospectiva és una ciència exacta".

L'estudi exhaustiu per al cas del 6 com a "frontera"

Seguirem la línia proposada per la Cecilia. Per a fer l'estudi exhaustiu hem d'investigar tots els camins per arribar a un resultat concret. Per exemple, per arribar a 11 tenim un total de 48 possibilitats. A la taula apareixen organitzades segons la quantitat de tirades.


Si fem l'estudi de la quantitat de casos per a cada resultat i cada quantitat de tirades (entre un mínim de 2 i un màxim de 7) obtindrem la següent taula que ens indica, per exemple, que per a obtenir un resultat de10 en 4 tirades tenim 19 casos (o camins) diferents.


Ara ens toca calcular la probabilitat de cada casella. Per trobar-la, per exemple per la casella d'obtenir 8 amb dues tirades, haurem de tenir en compte que, hi ha 5 casos favorables de 36 possibles (62). Amb tres tirades hi ha 15 favorables i els possibles seran 216 (63), amb quatre tirades són 20 favorables entre 1296 (64) possibles, etc.


Ja només queden els càlculs i el recompte final. Per exemple, per saber la probabilitat d'obtenir 10 haurem de sumar les probabilitats de tota la columna del 10 (la de fer-ho en dues tirades, més la de fer-ho en tres, més la de quatre...).


Aquests resultats sí que s'ajusten bé amb els que hem obtingut experimentant un milió de vegades.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

L'estudi exhaustiu per al cas del 12 com a "frontera"

És el moment de refer el càlcul de la probabilitat per a quan juguem a "passar de 12". Les quantitats de tirades possibles ara estaran entre un mínim de 3 i un màxims de 13. Ara són massa els casos com per a trobar-los manualment. Per tant hem tirat d'ordinador per a obtenir els resultats.


Per a calcular les probabilitats totals de cada resultat possible haurem sumar les que apareguin a la seva columna. Cal recordar que els casos possibles de la 1a fila són 36 (62), de la 2a són 216 (63)... i així fins a la 7a fila que seran 13 060 694 016 (67).


Si comparem el "mètode Cecilia" amb el que s'augurava al Blog en el seu moment, es veurà que els resultats són molt pròxims i d'aquí que les petites diferències, passessin desapercebudes al comparar-les als resultats experimentals.


Tornem a comparar amb l'experiment "del milió" i veiem que, ara, els resultats són molt més ajustats. Les diferència no passen d'una centèsima.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

I a l'aula?
  • Un itinerari interessant d'activitats pot ser començar pel repte de "passar de 12" (fer la conjectura, experimentar amb daus i recollir dades de tota l'aula, experimentar amb un applet) i plantejar l'explicació "inexacta" com a hipòtesi de treball. Després es pot presentar l'activitat "passar de 6" i repetir el procés, si més no en part (conjectura, experimentació amb l'applet). Un cop descobert que els resultats no s'ajusten del tot podem buscar, de forma col·laborativa, totes les possibilitats, tal com s'han explicat aquí, i fer el càlcul ajustat de les probabilitats de cada resultat. I iniciar una discussió sobre el que no estava en el primer raonament
  • Pot ser interessant estudiar altres fronteres, fins i tot inferiors a 6. Amb alumnat més petit podem demanar, per a una frontera f, com es poden saber els resultats finals possibles i entre quines quantitats de tirades haurem d'estudiar. En tot cas la cerca exhaustiva de casos pot ser pesada i és millor repartir-la per grups, per exemple uns que trobin els de dues i tres tirades, altres els de quatre, etc.
  • Compartim un full de càlcul (gens polit, de treball) on teniu estudiats els casos de fronteres, des d'1 a 12. Hi trobareu taules, per a cada frontera, on s'indica la quantitat de camins per a cada resultat i segon la quantitat de tirades. També hi ha taules amb les probabilitats calculades. Pot ser curiós comparar com evolucionen les probabilitats calculades d'una manera o d'un altra. La següent animació mostra els gràfics d'evolució de fronteres (f) d'1 a 12 i de resultats f+1 a f+6. Les calculades amb l'estudi exhaustiu de casos hi apareixen en blau, i les que es troben, com fèiem inicialment, mirant només "des d'on venim", en vermell. És fàcilment observable com, a mesura que f creix els dos càlculs s'acosten.
  • Compartim també un applet que permet investigar experimentalment amb qualsevol "frontera" i triant la quantitat de partides de l'experiment.
  • I un aclariment final que sorgeix de les dades recollides. Abans constatàvem que la fal·làcia del raonament de mirar "d'on venim" raïa en no tenir en compte que als "penúltims resultats" (7, 8, 9, 10, 11 o 12) s'arribava per diferents quantitats de camins. En certa manera que era "equiprobable" arribar a 7, 8, etc. El recompte de casos ens confirma que no és així:
    • Per arribar a 7 hi ha 63 camins i una probabilitat del 25,36 %
    • Per arribar a 8 hi ha 125 camins i una probabilitat del 26,8 %
    • Per arribar a 9 hi ha 248 camins i una probabilitat del 28,04 %
    • Per arribar al 10 hi ha 492 camins i una probabilitat del 28,93 %
    • Per arribar a l'11 hi ha 976 camins i una probabilitat del 29,34%
    • Per arribar al 12 hi ha 1936 camins i una probabilitat del 29,08 %

Addenda "fontiana"

Poques hores després de publicar l’article vaig rebre un correu d'en Jordi Font, professor de didàctica de les matemàtiques de la UB i de l’INS Baix a Mar de Vilanova i la Geltrú, on m’explicava que estava barrinant unes idees sobre el problema. També m’adreçava a la coneguda enciclopèdia de sèries numèriques OEIS. Allà n’hi ha una amb els "nombres hexanaccis" que recull el total de les diferents maneres d’obtenir un determinat resultat amb tirades successives d’un sol dau. És la sèrie A001592. Poc després em va anar enviant una sèrie de correus on anava desgranant una forma de trobar els diferents camins per arribar a cada resultat d’una forma recurrent. Això és molt interessant perquè es pot treballar a l’aula directament, sense necessitat de la creació d’un programa informàtic específic. Conèixer la quantitat de camins és bàsic per a calcular les probabilitats exactes.


Intentaré explicar breument el seu raonament. I començarem per reproduir com obtenir la sèrie OEIS. És a dir, estudiar com arribar a un nombre n, amb un sol dau.


Imaginem que estudiem a quines quantitats podem arribar amb una sola tirada. En aquest cas és clar que només podem arribar a 1, 2, 3, 4, 5 i 6. I amb dues tirades? Podem arribar a 2 (1-1), a 3 (1-2; 2-1), a 4 (1-3, 2-2, 3-1), a 5 (1-4, 2-3, 3-2, 4-1) a 6 (1-5,2-4,3-3,4-2,5-1)... i així fins a 12 (6-6). Si només contemplem un màxim de dues tirades tenim els camins per obtenir d’1 a 12 en la següent taula:



Quantitat

Tirades

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Camins

1

2

3

4

5

6

6

5

4

3

2

1


Amb tres tirades obtindrem nous camins entre 3 i 18 que haurem d’afegir als anteriors. El raonament que ens proposa en Jordi Font és el següent. Imaginem que tenim els camins per arribar a un nombre n,
  • Per arribar-hi amb un 1 tinc tots els camins que arriben a n-1
  • Per arribar-hi amb un 2 tinc tots els camins que arriben a n-2
  • Per arribar-hi amb un 3 tinc tots els camins que arriben a n-3
  • Per arribar-hi amb un 4 tinc tots els camins que arriben a n-4
  • Per arribar-hi amb un 5 tinc tots els camins que arriben a n-5
  • Per arribar-hi amb un 6 tinc tots els camins que arriben a n-6

Per exemple, a la taula anterior podem saber de quantes maneres arribem a 8 en dues tirades sumant els camins que tenim per arribar a 2 (8-6), a 3 (8-5)… i així fins a 7 (8-1) amb un sola tirada.


Quantitat

Tirades

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Camins

1

2

3

4

5

6

6

5

4

3

2

1


Dit d’una altra manera. Si volem saber la quantitat de camins per arribar a una quantitat n amb una quantitat k de tirades el que hem de fer és sumar les quantitats de camins que tenim per a n-6 fins a n-1 en k-1 tirades.

Si per exemple, volem ampliar la taula anterior fins a tres tirades només cal aplicar la norma explicada: anar a la fila superior (la de dues tirades) i sumar els valors de les sis cel·les anteriors a la nostra columna. A la taula es veu com trobar la quantitat de camins (25) amb tres tirades per arribar a 12. I tenim també, sumant la columna, que amb dues o tres tirades podem arribar amb un total de 26 maneres diferents.


Quantitat


Tirades

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

0

3

0

0

1

3

6

10

15

21

25

27

27

25

21

15

10

6

3

1

Camins

1

2

4

7

11

16

21

26

29

30

29

26

21

15

10

6

3

1


El problema no acaba aquí. Quan juguem a “passar d’n” podem arribar des d’n+1 fins a n+6. No tots els camins valen. Fins a n+1 el mètode explicat val perfectament. Però des d'n-2 alguns camins no: tots aquells que a la penúltima tirada estan en un valor per sobre d’n. Per exemple, si juguem a “passar de 12”, el camí que arribi a 15 traient un 2 al dau no valdrà perquè el valor anterior era 13 i ja “passava de 12”, hauríem aturat el joc. Així que en Jordi ens convida a fer una nova observació:

En aquesta taula veiem a cada casella des d’on podem arribar a n+1, n+2, etc. segons el resultat del dau. (Tenint en compte que n>5).


Arribar a...

Traient...

n+1

n+2

n+3

n+4

n+5

n+6

1

n






2

n-1

n





3

n-2

n-1

n




4

n-3

n-2

n-1

n



5

n-4

n-3

n-2

n-1

n


6

n-5

n-4

n-3

n-2

n-1

n


Per veure-ho més clar apliquem tot el mètode, des del principi, per a esbrinar tots els camins pel joc “passar de 6”.

Primer esbrinem quants camins tenim per arribar a 7 des del mínim de dues tirades fins a set amb el mètode de comptar els 6 resultats de la fila anterior. Veiem que tenim 63 camins.


Quantitat

Tirades

1

2

3

4

5

6

7

1

1

1

1

1

1

1

0

2

0

1

2

3

4

5

6

3

0

0

1

3

6

10

15

4

0

0

0

1

4

10

20

5

0

0

0

0

1

5

15

6

0

0

0

0

0

1

6

7

0

0

0

0

0

0

1


Ara ens toca esbrinar la quantitat de camins per arribar a 8, sense haver passat de 6 en cap moment. Haurem de tenir en compte que podem arribar des del valors 2 a 6.


Quantitat

Tirades

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

0

0

2

0

1

2

3

4

5

6

5

3

0

0

1

3

6

10

15

15

4

0

0

0

1

4

10

20

20

5

0

0

0

0

1

5

15

15

6

0

0

0

0

0

1

6

6

7

0

0

0

0

0

0

1

1


De manera similar podem anar ampliant la taula fins arribar a 12.


Quantitat

Tirades

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

2

0

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

5

3

0

0

1

3

6

10

15

15

14

12

9

10

4

0

0

0

1

4

10

20

20

20

19

16

10

5

0

0

0

0

1

5

15

15

15

15

14

5

6

0

0

0

0

0

1

6

6

6

6

6

1

7

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0


Ara que tenim els camins per a dues tirades. tres, etc. podrem calcular les probabilitats tal com havíem explicat.

En Jordi Font va acabar la sèrie de correus afegint alguns interrogants per a l'aula que, amb el seu permís, transcric.

  • Podem intentar construir un full de càlcul ampliant tant com vulguem una taula com la darrera?
  • Podem consultar i treballar l’article d’OEIS o algun dels que està citat?
  • Una pregunta relativament fàcil per a contestar a l'aula: Amb quantes tirades passaré de 12? Està clar que, com a mínim, necessitaré 3 tirades i, com a màxim, 13. Podríem fer-ho amb N tirades trobar la cota superior i inferior?
  • Pensament computacional: podem fer un petit programa per tal d’estudiar algunes preguntes com les següents:
    • Què és més probable que per passar de 12 ho faci em 3 o 4 tirades? Quina és la quantitat de tirades per passar de 12 amb més probabilitat? I per passar de N tirades? (molt més difícil)
    • Quina és la mitjana de tirades que em cal per passar de 12? És a dir, quina és l’esperança? I per passar de N tirades? (molt més difícil).

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada