14 de maig de 2022

Passar de 6 i rectificació de passar de 12

Abans de llegir aquest article, i si no voleu tenir espòilers , és millor que llegiu una entrada anterior relacionada: Passar de 12. Si ja coneixeu l'activitat, o us és diferent que s'esguerrin algunes sorpreses, podeu continuar. En tot cas, i per situar, recordem breument com era l'activitat Passar de 12.

  • Agafem un dau
  • L'anem tirant i sumant les puntuacions.
  • Ens aturem quan arribem a una suma superior a 12. (Atenció! 12 no val! Ha de ser superior: 13, 14, 15...)
Exemple de tirades que s'aturen a 16

La pregunta de l'activitat era demanar per quin nombre apostaríem com a resultat final. Si fem l'experiment a l'aula veurem que la majoria d'apostes estan entre el 14 i el 16. Però, i d'aquí ve la sorpresa de l'activitat, el resultat més probable és 13. La raó que donàvem, en el seu moment, era que a 13 podem arribar des de sis resultats anteriors, des de 7, 8, 9, 10, 11 o 12, traient amb el dau un 6, un 5, un 4, un 3, un 2 o un 1, respectivament. A 14 arribarem des de cinc resultats. A 13 des de quatre... I així fins al darrer resultat possible, 18, al que només podem arribar d'una manera: des de 12 i traient un sis. Presentàvem la següent taula per a justificar el raonament.


Aquests resultats es corresponen força bé amb els que es poden obtenir amb un applet fet amb scratch que ens permet experimentar tantes vegades com vulguem.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Fins aquí el que teníem. Però tot va trontollar quan la Cecilia Calvo, "la de l'ull precís", em va enviar un missatge que va posar en dubte l'explicació donada. Tot venia d'una adaptació del joc que va preparar per a fer-lo més analitzable a l'aula: Passar de 6. En aquest cas es pot fer un anàlisi més exhaustiu de totes les possibilitats. És a dir, mirar exactament de quantes maneres diferents puc arribar a un resultat concret..

Si apliquem el raonament presentat originalment a l'activitat Passar de 12, ara només hauríem de fer una petita adaptació de valors de la taula justificativa, però arribaríem als mateixos resultats que amb el 12.

Però si fem la mirada que proposa la Cecília, cercar exhaustivament tots els casos, els resultats als que s'arriben són diferents.


Així que vaig rebre el missatge de la Cecilia vaig recordar una famosa cita d'un dels pares del càlcul de probabilitats, Pierre-Simon Laplace, que al seu Essai philosophique sur les probabilités escrivia:

“La teoria de probabilitats va unida a consideracions delicades i no és estrany que, partint de les mateixes dades, dues persones arribin a resultats diferents.”

La prova del cotó de que, com no, el raonament de la Cecilia era el correcte, ens la dona l'experimentació amb un nou applet Passar de 6

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

Aquesta nova mirada posava en dubte els resultats previstos per al joc Passar de 12, tot i que l'experimentació els corroborava.

Ho mirem tots amb calma de nou? Revisem l'estudi del joc? Apliquem l'anàlisi de la Cecilia al cas de 12 i altres casos nous?

Us animeu a continuar?
Un senzill raonament ens fa veure que l'estudi abreujat que proposàvem al blog és més inexacte que l'exhaustiu. L'abreujat estudiava només la darrera tirada, no es plantejava de quina manera s'havia arribat a la situació anterior a aquesta. És a dir, miràvem què podia passar si a la penúltima jugada teníem, per exemple, un nou, però suposàvem que els camins per arribar a nou eren els mateixos que per arribar a set, vuit, deu, onze o dotze, cosa que no és certa. Com es diu sovint "la percepció retrospectiva és una ciència exacta".

L'estudi exhaustiu per al cas del 6 com a "frontera"

Seguirem la línia proposada per la Cecilia. Per a fer l'estudi exhaustiu hem d'investigar tots els camins per arribar a un resultat concret. Per exemple, per arribar a 11 tenim un total de 48 possibilitats. A la taula apareixen organitzades segons la quantitat de tirades.


Si fem l'estudi de la quantitat de casos per a cada resultat i cada quantitat de tirades (entre un mínim de 2 i un màxim de 7) obtindrem la següent taula que ens indica, per exemple, que per a obtenir un resultat de10 en 4 tirades tenim 19 casos (o camins) diferents.


Ara ens toca calcular la probabilitat de cada casella. Per trobar-la, per exemple per la casella d'obtenir 8 amb dues tirades, haurem de tenir en compte que, hi ha 5 casos favorables de 36 possibles (62). Amb tres tirades hi ha 15 favorables i els possibles seran 216 (63), amb quatre tirades són 20 favorables entre 1296 (64) possibles, etc.


Ja només queden els càlculs i el recompte final. Per exemple, per saber la probabilitat d'obtenir 10 haurem de sumar les probabilitats de tota la columna del 10 (la de fer-ho en dues tirades, més la de fer-ho en tres, més la de quatre...).


Aquests resultats sí que s'ajusten bé amb els que hem obtingut experimentant un milió de vegades.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

L'estudi exhaustiu per al cas del 12 com a "frontera"

És el moment de refer el càlcul de la probabilitat per a quan juguem a "passar de 12". Les quantitats de tirades possibles ara estaran entre un mínim de 3 i un màxims de 13. Ara són massa els casos com per a trobar-los manualment. Per tant hem tirat d'ordinador per a obtenir els resultats.


Per a calcular les probabilitats totals de cada resultat possible haurem sumar les que apareguin a la seva columna. Cal recordar que els casos possibles de la 1a fila són 36 (62), de la 2a són 216 (63)... i així fins a la 7a fila que seran 13 060 694 016 (67).


Si comparem el "mètode Cecilia" amb el que s'augurava al Blog en el seu moment, es veurà que els resultats són molt pròxims i d'aquí que les petites diferències, passessin desapercebudes al comparar-les als resultats experimentals.


Tornem a comparar amb l'experiment "del milió" i veiem que, ara, els resultats són molt més ajustats. Les diferència no passen d'una centèsima.

Resultats d'un milió d'experiments amb l'applet

I a l'aula?
  • Un itinerari interessant d'activitats pot ser començar pel repte de "passar de 12" (fer la conjectura, experimentar amb daus i recollir dades de tota l'aula, experimentar amb un applet) i plantejar l'explicació "inexacta" com a hipòtesi de treball. Després es pot presentar l'activitat "passar de 6" i repetir el procés, si més no en part (conjectura, experimentació amb l'applet). Un cop descobert que els resultats no s'ajusten del tot podem buscar, de forma col·laborativa, totes les possibilitats, tal com s'han explicat aquí, i fer el càlcul ajustat de les probabilitats de cada resultat. I iniciar una discussió sobre el que no estava en el primer raonament
  • Pot ser interessant estudiar altres fronteres, fins i tot inferiors a 6. Amb alumnat més petit podem demanar, per a una frontera f, com es poden saber els resultats finals possibles i entre quines quantitats de tirades haurem d'estudiar. En tot cas la cerca exhaustiva de casos pot ser pesada i és millor repartir-la per grups, per exemple uns que trobin els de dues i tres tirades, altres els de quatre, etc.
  • Compartim un full de càlcul (gens polit, de treball) on teniu estudiats els casos de fronteres, des d'1 a 12. Hi trobareu taules, per a cada frontera, on s'indica la quantitat de camins per a cada resultat i segon la quantitat de tirades. També hi ha taules amb les probabilitats calculades. Pot ser curiós comparar com evolucionen les probabilitats calculades d'una manera o d'un altra. La següent animació mostra els gràfics d'evolució de fronteres (f) d'1 a 12 i de resultats f+1 a f+6. Les calculades amb l'estudi exhaustiu de casos hi apareixen en blau, i les que es troben, com fèiem inicialment, mirant només "des d'on venim", en vermell. És fàcilment observable com, a mesura que f creix els dos càlculs s'acosten.
  • Compartim també un applet que permet investigar experimentalment amb qualsevol "frontera" i triant la quantitat de partides de l'experiment.
  • I un aclariment final que sorgeix de les dades recollides. Abans constatàvem que la fal·làcia del raonament de mirar "d'on venim" raïa en no tenir en compte que als "penúltims resultats" (7, 8, 9, 10, 11 o 12) s'arribava per diferents quantitats de camins. En certa manera que era "equiprobable" arribar a 7, 8, etc. El recompte de casos ens confirma que no és així:
    • Per arribar a 7 hi ha 63 camins i una probabilitat del 25,36 %
    • Per arribar a 8 hi ha 125 camins i una probabilitat del 26,8 %
    • Per arribar a 9 hi ha 248 camins i una probabilitat del 28,04 %
    • Per arribar al 10 hi ha 492 camins i una probabilitat del 28,93 %
    • Per arribar a l'11 hi ha 976 camins i una probabilitat del 29,34%
    • Per arribar al 12 hi ha 1936 camins i una probabilitat del 29,08 %

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada