Paguem... però amb poques monedes

Aquest problema apareix al llibre Mathématiques pour le plaisir de Jean-Paul Delahaye. Concretament al capítol titulat Quelles pièces pour faire l'appoint? Es tracta d'un problema sobre el nostre sistema monetari del que farem una reducció de monedes en el seu plantejament inicial. Així serà més apte per a les aules. També ens farem algunes preguntes que no apareixen a l'article (així com deixarem de banda moltes altres que sí que hi són).

El primer que volem mirar és com, amb el conjunt de monedes (1, 2, 5, 10), podem fer pagaments d'1 a 19 cèntims amb el mínim de monedes per a cada cas. Per exemple, pel de 7 cèntims només contemplem el cas 2-5 (dues monedes) i deixem de banda qualsevol altra possibilitat (1-2-2-2, 1-1-5, 1-1-1-2-2, etc,). Hem triat com a límit 19 cèntims per posar el topall en algun lloc. El criteri aplicat per triar-lo és: "un abans que la següent moneda que trobaríem", en aquest cas 20 cèntims.

Obtenim una taula com la següent.

Aquesta pot ser una bona pràctica productiva de sumes. Però només que ens fem una pregunta nova, encendrem el ble de tota una sèrie de qüestions noves. La pregunta és: quina és la mitjana de monedes per fer els pagaments? No és difícil de calcular. Només cal sumar les monedes emprades i dividir pels 19 casos:

Podem fer un gràfic on veiem com varia la quantitat de monedes per a cada pagament i com va evolucionant la mitjana.

Es pot millorar aquesta mitjana? Com? Què passa amb monedes més grans?

T'animes a seguir?

Abans de continuar cal agrair a l'amic Enric Castellà l'ajut amb l'aparell informàtic per estudiar el problema i, sobre tot, per la quantitat d'idees aportades. Hi ha companys i companyes a la feina que han hagut d'aguantar les nostres converses sobre el problema durant molts dies... però ell no s'ha cansat mai i sempre ha atès les meves demandes successives, m'ha plantejat preguntes noves i m'ha regalat respostes.

Primera forma de millorar la mitjana

Una de les possibilitats de baixar aquests 2,3157... de mitjana és incorporar una cinquena moneda al sistema. Podem imposar-nos la limitació de que aquest valor no superi la moneda més gran. Així en el nostre cas la moneda pot estar entre 3 i 9 cèntims, saltant la que ja tenim de 5. Us convidem a conjecturar quin valor serà el més convenient. No és difícil comprovar tots els casos. A l'aula es pot repartir aquesta tasca entre diferents grups d'alumnes. Després podem construir un gràfic d'evolució de les mitjanes i observar si el descens de la mitjana és molt regular o poc.

La mitjana més baixa s'aconsegueix amb la incorporació d'una moneda de 8 cèntims: 1,8947... A continuació podeu observar el gràfic de pagaments i l'evolució de la mitjana.

En el següent gràfic presentem l'evolució de cadascuna de les mitjanes. El color blau és el sistema inicial (1-2-5-10) i les altres línies mostren les evolucions incorporant una moneda de 3 cèntims, de 4...

Podem observar el tram final de la gràfica amb les mitjanes de cada cas.

Segona forma de millorar la mitjana

Una segona forma de millora l'obtenim de canviar tot el sistema monetari. Preguntar-nos quins seran els millors valors que haurien de tenir les quatre monedes per fer pagaments entre 1 i 19 cèntims. És evident que la moneda d'1 cèntim ha d'existir, però, quines seran les altres? De nou us convidem a fer les vostres conjectures prèvies.

Ara hi ha moltes possibilitats a investigar. A l'aula potser no ens hem de demanar quin és el millor grup de monedes "real" sinó el millor dels que investiguin els propis alumnes partint de les seves propostes. Després es poden comparar i, potser, treure idees per buscar-ne un millor. En tot cas l'ordinador, que pot fer moltes proves en poc temps, ens diu que hi ha fins a 9 grups de monedes que fan baixar la mitjana de 2,3157... a 2,1052:

[1,2,6,9], [1,3,4,9], [1,3,7,8], [1,3,7,9], [1,3,7,12], [1,3,8,9], [1,4,6,9], [1,4,7,9], [1,4,6,13]

També podem comparar l'evolució de les mitjanes entre elles per veure com unes són més òptimes al principi i com es van reequilibrant. En aquest gràfic només mostrem la comparació entre el sistema "normal" [1,2,5,10] i el [1,4,6,13].

És curiós (i lògic) observar que no millora la mitjana dels sistemes que hem provat anteriorment afegint-hi una moneda.

I què passa si ho estudiem amb més monedes?

Possiblement a l'aula el treball amb quatre monedes queda una mica curt i sigui més interessant fer-ho amb més monedes. Tenint en compte que treballarem a "pic i pala" i, com a molt, amb ajuda d'un full de càlcul, recomanem no passar d'incorporar una moneda més. Amb l'Enric hem fet l'estudi afegint la moneda de 20 cèntims i, aplicant el mateix criteri d'abans (anar fins a la següent moneda) estudiar pagaments fins a 49 cèntims. Us mostrem els resultats trobats.

• La mitjana per al sistema [1,2,5,10,20] és de 2,9591...

• Si introduïm una moneda més al sistema la mitjana més baixa la dona afegir una de 18 cèntims. Fa baixar la mitjana a 2,4897...

• Aquests gràfics mostren les diferents mitjanes, les evolucions de cadascuna i el tram final ampliat amb els valors obtinguts.

Es poden observar els "pics" pels valors 6, 11 i 15

• Si investiguem un "sistema monetari" de cinc monedes per optimitzar la mitjana de les utilitzades en els pagaments fins a 49 cèntims hi ha quatre solucions que fan baixar la mitjana general de 2,9591... a 2,6122.

[1, 3, 7, 16, 21], [1, 3, 10, 15, 23], [1, 5, 7, 18, 21], [1, 5, 8, 19, 21]

Gràfic del sistema [1,3,10,15,23]

Cal observar,per fer-nos a la idea de la quantitat de possibilitats, que l'ordinador va estar treballant tota una nit per trobar aquestes solucions.

I a l'aula?

• En general ja s'han anat fent propostes. Posats a recomanar una opció d'estuidi a l'aula, a CS de primària i a ESO, seria el cas de cinc monedes (i "cinc+una") fins a 49 cèntims. Per a la cerca del "sistema òptim" millor optar pel "millor sistema trobat" (entre els que es proposin a l'aula) i, en tot cas, mostrar i estudiar alguns dels òptims. Treballar amb full de càlcul pot ser molt útil, tant per a comprovar els casos com per fer els gràfics.
• Es poden treballar argumentacions sobre els aspectes observats (pics en l'evolució de les mitjanes, comparació entre valors i mitjanes...). També discutir si un sistema monetaris estrany seria acceptat socialment o no i per què. 
• Ens poden fer altres preguntes noves. Segur que al'aula hi apareixeran per poc marge que donem
• Poden discutir sobre certes pautes que es veuen en els gràfics. Per exemple, el cas d'afegir una moneda de 7 cèntims al sistema [1,2,5,10,20] mostra uns cicles claríssims (que també podem demanar de justificar). En canvi el d'afegir 18, que té una mitjana millor, no mostra, com a mínim fins a 49, aquests cicles. Té a veure això amb la millora de la mitjana?

Cicles amb la moneda de 7

Absència de cicle (fins a 49) en la moneda de 18

• I no us pregunteu en el sistema nostre, fins a dos euros (de vuit monedes), quina seria la millor novena moneda? Ens donarà Google la resposta?