Ossos i geometries no euclidianes (1)

 Al llibre clàssic de George Pólya Como plantear y resolver problemas apareix aquest curiós (i ja força conegut) problema:

Partint d'un punt P, un os camina un quilòmetre cap al sud. Canvia llavors de direcció i recorre un quilòmetre a l'est. Després, girant de nou a l'esquerra, recorre un quilòmetre cap al nord per arribar exactament a punt de partida P. De quin color és l'os?

Si no voleu espòiler millor aturar la lectura aquí mateix i pensar el problema. Si ja el coneixeu o no el voleu pensar ara mateix, podeu continuar.

Sembla lògic que, més que contestar sobre el color, el que ens cal és saber on pot estar l'os per a fer un recorregut tan sorprenent. Pólya tria aquest problema per sorprendre'ns fent-nos veure que hi ha dos tipus de solucions. La primera és la que se'ns pot acudir a la majoria: que l'os és blanc perquè el punt P és al Pol Nord. La segona l'explica així:

L'os podria retornar al punt P seguint el mateix meridià que al sortir de P si, en desplaçar-se un quilòmetre cap a l'est descrivís n paral·lels complets, podent ser n igual a 1, 2, 3... En aquest cas P no és el Pol Nord, sinó un punt d'un paral·lel molt proper al Pol Sud.

A la imatge teniu un esquema del camí per a n=1, un paral·lel d'exactament un quilòmetre de longitud, Però més al sud en trobaríem de 1/2 quilòmetres i faríem dues voltes, d'1/3, etc.

Esquema fet amb l'applet de GeoGebra de Rafael Cámara

Però tornem a la primera solució, perquè ens trobem amb un triangle ben curiós.

Imatge extreta del Blog Sunya de R. Cámara

Si l'observem amb detall veurem que els dos angles inferiors són de 90º. És a dir, la suma dels angles interiors del triangle és clarament superior a 180º. De fet, a l'aula, sempre que he plantejat el problema he explicitat clarament, a l'enunciar-lo, que "l'os baixa per un meridià gira 90º cap a l'est" i que després de caminar pel paral·lel gira "90º cap al nord" i agafa un meridià.

I per què passa això? Perquè no ens estem movent en un pla, sinó en una esfera i les "regles euclidianes", amb les que funcionem normalment, es refereixen al pla. Estem treballant amb una geometria, l'esfèrica, que no acompleix tots els postulats euclidians. Hem aconseguit un punt de partida idoni per parlar-ne i discutir a l'aula sobre les geometries no euclidianes. Debatre sobre les característiques d'aquestes geometries, les seves definicions, els sues postulats i algunes de les seves proposicions, ens servirà també per a conèixer millor l'estructuració de la matemàtica proposada pels Elements d'Euclides. És a dir, parlar-ne de les definicions ens ajudarà a comprendre quina funció tenen; comparar els postulats que s'acompleixen ens permetrà saber que són, quins i per a què serveixen els axiomes bàsics, tant de la geometria plana, com de la nova que estem explorant.

Haurem de començar per redefinir algunes coses com "recta" o "angle" i, un cop fet, podem comparar, postulat a postulat, quins s'acompleixen o no, total o parcialment. Observarem, amb més detall, que el que deixa d'acomplir-se més clarament és el 5è, aquell que diu, en el seu enunciat modern, que "per un punt exterior a una recta donada només és possible traçar una paral·lela".  De fet, com veurem, no en passa cap! Podrem aprofitar també per a tractar algunes idees sobre les distàncies reals al nostre planeta i les que mesurem als mapes. Fins i tot, tindrem l'oportunitat d'endinsar-nos una mica en el món dels triangles esfèrics.

Vols conèixer una mica més aquesta geometria i algunes idees per treballar a l'aula?

D'alguna manera, les idees que s'aniran plantejant poden ser guia pels debats a l'aula, en grups reduïts o en gran grup. Aniran apareixent també algunes idees clau que poden servir de pista per orientar les discussions en alguns moments.

Haurem de començar per redefinir rectes i segments, ja que a la superfície de l'esfera no té sentit parlar-ne amb el seu significat habitual. Si entenem un segment com la trajectòria més curta entre dos punts i la recta com l'allargament "infinit" d'aquesta trajectòria, més enllà d'aquests punts extrems, ens trobarem que el segment es converteix en un arc de la circumferència màxima que passa per aquests dos punts. En una esfera s'anomena circumferència màxima a la línia que obtenim sobre la superfície de l'esfera al seccionar-la amb un pla que passa pel seu centre. Posant un símil, és la circumferència que tindrem quan tallem una taronja per la meitat. A la Terra tots els meridians i l'Equador són circumferència màximes. Els paral·lels que no són l'Equador són exemples de circumferències menors. Les circumferències màximes també s'anomenen, de vegades, E-línies o cicles.

El segment AB està sobre una circumferència màxima (equivalent a la recta del pla euclidi)

Aquí tenim un problema de nomenclatura. Si tenim circumferències màximes i menors a què anomenem "segment". Una opció pràctica és que diem geodèsica quan parlem dels segments de les circumferències màximes. De fet, són amb les que treballarem més. Però, posats a introduir vocabulari podem ser més precisos. Una geodèsica és, en general, las trajectòria més curta entre dos punts en qualsevol superfície. En el cas concret de les esferes a aquesta línia s'anomena ortodròmica. Tot i així, un cop fetes aquestes apreciacions i acotat que entenem per "segment" en la geometria esfèrica, sempre serà més còmode i familiar anomenar-los així.

 

1a tasca: Comparem els postulats de la geometria plana.

Podem començar a mirar a l'aula, un a un, si els cinc postulats del llibre I dels Elements d'Euclides s'acompleixen també a la geometria de l'esfera. I, si no és així, intentarem modificar-los.

• Primer postulat

El primer postulat del llibre I dels Elements diu:

Per dos punts diferents només hi passa una recta.

Demanarem al nostre alumnat que adaptin al vocabulari "esfèric" aquest postulat i que estudiï si s'acompleix o no. Una adaptació possible seria:

Per dos punts diferents només hi passa una circumferència màxima.

Però, és sempre cert? Mirem un exemple ben conegut: pels pols de la Terra passen infinits meridians. El que tenen d'especial els pols és que son dos punts antipodals, estan en els extrems d'un diàmetre de l'esfera. Aquests punts antipodals també solen ser anomenats com polars.

Això ens portarà a veure que aquest primer postulat no s'acompleix igual que al pla euclidià (i serà la primera prova de que estem en una geometria diferent). Direm que no hi ha unicitat, si més no, que només és parcial. Una reformulació més completa (i que s'ha de demanar a l'alumnat que la faci ell) seria.

Per dos punts que no son antipodals només hi passa una circumferència màxima. Si ho son hi passen infinites.

• Segon postulat

Aquest postulat d'Euclides diu que:

Un segment rectilini pot ser allargat sempre.

També el podem presentar d'una forma més planera:

Les rectes són infinitament llargues.

Què podem dir dels nostres segments geodèsics, de les nostres ortodròmiques? Que també... o que no! Per a dir que "també" podem raonar d'aquesta manera: si tenim un segment AB seguirem la circumferència màxima a partir d'A. arribarem a B continuarem i donarem la volta tornant a A, i continuarem fins a B, i fins a A... indefinidament. Per a justificar que el postulat no s'acompleix argumentarem que quan arribem de nou a l'inici (A), quan hem fet una volta, ja no podem continuar sobreescrivint. Una bona discussió per a l'aula i que pot donar a dues redaccions adaptatives diferents del postulat. Una que aniria cap a la unicitat, en aquest postulat, entre les dues geometries i una que divergiria. Una possible formulació divergent seria.

Un segment geodèsic es pot allargar fins a una longitud màxima que coincideix amb la de la seva circumferència màxima.

Un plantejament com aquest ens obliga a pensar en com mesurar una longitud, una distància. Una altra possible debat a obrir a l'aula. Per exemple, de forma general, podem mesurar les distàncies còmodament utilitzant només els graus. Per exemple, un segment geodèsics de 5º 24' tindrà sempre la mateixa longitud en qualsevol lloc d'una mateixa esfera. Si volem saber la distància en altres unitats, per exemple en metres, en la esfera concreta sobre la que treballarem, per exemple el nostre planeta,  només haurem d'incorporar el radi i escriure una senzilla fórmula.

Un altre argument per a optar per l'incompliment del segon postulat d'Euclides, és que aquest també es podria formular dient que "la distància entre dos punts pot ser infinita" i, en el cas de la geometria esfèrica no és així.

Sobre aquest tema de les distàncies hi tornarem més tard.

• Tercer postulat

La versió d'Euclides diu: 

Hi ha una sola circumferència amb un centre i un radi donats.

La idea de "radi" ens fa tornar a la necessitat de parlar de "distància". Si no ho hem resolt abans a l'aula, ara és el moment. És una situació relativament fàcil d'imaginar. Per exemple si estem al mig del mar, quan no veiem la costa, la línia de l'horitzó és circular. Hem de diferenciar, però, aquestes circumferències, que son menors, de les màximes, que serien equivalents a les rectes euclidianes.

Tres circumferències (menors). Dues de concèntriques (com els paral·lels de la Terra)

Podem acordar, doncs, que aquest postulat té unicitat amb la geometria euclidiana.

• Quart postulat

Tots els angles rectes són iguals entre sí.

A la geometria de l'esfera no hem definit que és un angle. Podem discutir el tema a l'aula. Intuïtivament podem adaptar força bé el concepte que tenim d'ell en el pla. Si volem ser precisos hem de parlar de plans de secció i tangències. Una idea entenedora seria pensar en l'angle que formen els plans de secció de les circumferències màximes.

Podeu manipular l'applet fet amb GeoGebra per Steve Phelps

Hi ha una diferència amb la geometria euclidiana. Quan creuem dues rectes es formen quatre regions angulars (iguals dos a dos) però que no són "tancades", no formen cap polígon. Quan es creuen dues circumferències màximes es fan quatre regions també, iguals angularment dos a dos també, però que són tancades. Per tant, tenim uns polígons esfèrics especials que podem anomenar "biangles" o "lúnules esfèriques" (semblants als grills d'una taronja). Aquests biangles poden ser perfectament de 90º i iguals entre sí. Per tant el postulat continuarà sent vàlid.

Biangle o lúnula esfèrica

També podem fer una altra petita comparació entre la geometria plana i l'esfèrica relacionada amb aquest postulat:

• Al pla dues perpendiculars generem quatre angles rectes.
• A l'esfera dues circumferències màximes perpendiculars generen vuit angles rectes.

• Cinquè postulat

Hem arribat al postulat clau. En la versió original dels Elements s'enuncia així:

Si una recta secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors, la suma dels quals sigui menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientment allargades es tallaran en el mateix costat.

Podem veure que no és gaire entenedor. Al segle XVIII el matemàtic John Playfair el va reformular en la forma que el presentem habitualment ara.

Per un punt exterior a una recta només hi passa una paral·lela.

És el moment de demanar a l'aula la següent qüestió:

Si tenim un punt exterior a una circumferència màxima (c), podem dibuixar una circumferència màxima que passi per P i no talli c?

Podeu experimentar amb l'applet de GeoGebra d'Heather Pierce

Aquí serà un moment clau per veure si l'alumnat ha entès la diferència entre les circumferències màximes (equivalents a les rectes al pla) i les circumferències menors. Ens podem trobar que dibuixin circumferències paral·leles com els paral·lels de la Terra o amb una inclinació que no arribi a tallar a c.

El que veurem, i cal fer-ho observar, és que "dues circumferències màximes sempre es creuen en dos punts". D'això podem inferir que "totes les circumferències màximes son secants". I, dit d'una altra manera:

Per un punt exterior a una recta no hi passa cap paral·lela

És un postulat de la geometria plana que no s'acompleix i sense cap mena de matisació. L'hem d'enunciar obligatòriament, d'una altra manera.

2a tasca: El problema de la distància i la navegació a la Terra.

Ja hem dit abans que tornaríem al tema de la distància.  Pensem en una activitat a l'aula com aquesta. Donem a un grup d'alumnes un cordill i un globus terraqüi, el més gran que tinguem. Millor si té detalls amb noms de països, ciutats o llocs com deserts, muntanyes, rius... A un altre grup li donem també un cordill i un mapa del món, millor si és una projecció de Mercator, El cordill ens servirà per a trobar les distàncies més curtes tensant-lo entre dos punts, ja sigui al globus o al mapa. A continuació els hi demanem que, sense que es vegin entre ells, trobin la ruta més curta entre dos punts de la Terra i ens escriguin alguns dels noms, trobats al globus o al mapa, pels que passa la seva ruta. Per exemple entre Barcelona i Vladivostok. Quan comparin la llista de noms trobarem, amb sorpresa, que els llocs escrits no seran coincidents. Les línies obtingudes seran com aquestes.

Sobre el globus no es passa per la Mediterrània ni pel Caspi

Aquí tocarà discutir: si les rutes són diferents, quina és la més curta?. Només caldrà comparar les longituds de les distàncies a les corbes. A la realitat la distància aproximada sobre el mapa és d'uns 10800 km, mentre que la del globus és d'un 9400 km. Podeu "jugar" amb altres punts del globus en aquest web.

Un pas molt curiós és pintar sobre el globus i sobre el mapa les dues rutes. Aquestes imatges les hem obtingudes amb l'applet del web Figures animées pour la physique.

La ruta construïda al globus en els dos suports,

La ruta construïda al pla en els dos suports.

La ruta feta sobre el globus és la que hem anomenat ortodròmica i segueix el cercle màxim entre els dos punts. La que que hem fet sobre el mapa, si és de Mercator, és la loxodròmica que va sobre un cercle menor. El problema de les ortodròmiques és que no són navegables perquè obliguen a canviar el rumb constantment. En canvi les loxodròmiques ho són perquè es pot mantenir un rumb constant (són rectes a un mapa amb projecció de Mercator). En vols o navegacions oceàniques molt llargues el que es fa, normalment, és combinar-les: es marquen diferents punts sobre l'ortodròmica dividint-la en segments i es naveguen les loxodròmiques d'aquests segments.

3a tasca: Estudiem el triangle esfèric.

En primer llos cal precisar què considerem un triangle esfèric i què no. Els triangles esfèrics estan determinats per tres circumferències màximes. Això implica que els seus costats son tres arcs d'aquestes circumferències, tres geodèsiques. Per exemple, un triangle format per dos arcs de meridià i un arc de paral·lel, que no sigui l'Equador, no serà un pròpiament un triangle esfèric. Això revela que a l'inici hem fet una mica de trampa: el triangle que recorria el nostre os no era, en propietat un triangle esfèric. Imagino que ens acceptareu la llicència perquè ens ha servit com a provocació.

Ja que hem iniciat l'activitat descobrint un triangle amb una suma d'angles interiors superior a 180º, potser és un bon moment per a recordar (o veure per primera vegada) que la demostració de que, en el pla, la suma dels angles d'un triangle és de 180º depèn, justament, del postulat de les paral·leles.

Applet en GeoGebra de Francisco Gómez

• Suma dels angles interiors

Tenim alguns applets fets amb GeoGebra que ens permeten experimentar amb els triangles esfèrics. Abans ja hem destacat el de Heather Pierce. Ara, per a estudiar la suma dels angles, podem provar també amb el d'Steve Phelps. Per exemple ens podem demanar:

• Hi ha triangles esfèrics amb una suma d'angles interiors menors o iguals a 180º?
• Ja hem vist, en el problema de l'os, un triangle birectangle. Pot haver un trirectangle?
• Si la suma dels angles interiors pot ser superior (o ha de ser-ho segons la resposta a la primera pregunta), quin és el màxim valor que pot tenir?

Un triangle esfèric equilàter

Descobrirem que la suma dels tres angles sempre és superior a 180º (π radians) i inferior a 540º (3π radians)

• Perímetre i àrea

Ara podem fer una pregunta sobre el perímetre (o sobre l'àrea). La superfície del pla euclidià és infinita i els triangles poden assolir mesures "pràcticament" il·limitades. La superfície d'una esfera és finita. 

• Poden ser il·limitadament grans els triangles esfèrics?
• Si és que no, quin serà el perímetre màxim i l'àrea màxima que poden tenir?

Aquesta qüestió està directament relacionada amb un problema que apareix al capítol "Preguntes ridícules" del llibre Festival mágico-matemático de Martin Gardner:

"S'agafen a l'atzar tres punts sobre la superfície d'una esfera. Quina és la probabilitat de que tots tres punts es trobin sobre un mateix hemisferi? Es suposa que el cercle màxim que voreja l'hemisferi pertany a ell."

La resposta del mateix Gardner és la següent:

"La probabilitat és 1, perquè el succés és segur. Qualssevol tres punts situats sobre una esfera jeuen a un mateix hemisferi".

Vist així veurem que l'àrea màxima d'un triangle serà la d'una semiesfera i el perímetre més gran serà el d'una circumferència màxima: 2πr. I en tots dos casos sense arribar-hi mai. Una idea força intuïtiva de límit.

• Càlcul de l'àrea

És difícil descobrir directament la fórmula de l'àrea del triangle esfèric. El que és molt sorprenent és que es pot calcular a partir de la suma dels angles interiors i de l'excés sobre el triangle euclidià. I ho podem descobrir experimentant una mica sobre un applet fet amb GeoGebra. Però per descobrir-ho és millor treballar amb radians en comptes de fer-ho en graus. Caldrà preparar-ho a l'aula si no s'han vist mai els radian. Recordem que 180º és igual a π radians.

Us convidem a practicar una mica amb aquest applet on teniu la suma dels angles interiors, l'excés angular i l'àrea en unitats quadrades. Podeu canviar el radi. Un consell és començar treballant amb radi 1. Un altre consell és recordar que GeoGebra fa alguns arrodoniments.

Adaptació d'una construcció original de José Manuel Arranz. Enllaç a aquesta variació.

Potser haureu descobert que l'àrea depèn del radi de l'esfera, força previsible, i, de forma molt més sorprenent, de l'excés angular. Es pot calcular amb la següent fórmula:

Àrea = (α+β+γ-π)·r²

De forma resumida: l'àrea es calcula multiplicant l'excés angular pel quadrat del radi.

Hem proposat l'exploració en radians perquè és molt més fàcil descobrir la relació Treballant amb graus queda una mica més amagada perquè hem d'incorporar π i, el que juga, és la proporció entre l'excés angular i el 180º Pot ser interessant donar a conèixer la fórmula adaptada a la mesura angular en graus.

• Semblança de triangles

Si ens hem fixat que l'àrea d'un triangle esfèric depèn del seus angles, podem inferir una altra propietat sorprenent respecte a la geometria plana: no hi ha triangles semblants. Sobre una mateixa esfera, tots els triangles que tinguin les mateixes mesures angulars, tindran la mateixa forma (com a la geometria plana), però també la mateixa mida!

• Teorema de Pitàgores

S'acomplirà la mateixa relació que al pla o no? Si no s'acompleix serà la suma dels quadrats dels catets superior o inferior al quadrat de la hipotenusa? Una manera possible de mirar-ho és utilitzant algun applet de GeoGebra. Descobrirem que la suma dels quadrats dels catets és superior al quadrat de la hipotenusa.

Fem un quadrat

Com serà un quadrat en un superfície esfèrica? El més lògic és que prenem la idea de que el quadrat és el quadrilàter regular i que, com a característiques, tindrà els quatre costats iguals i els quatre angles també. Aquests angles seran sempre superiors a 90º i inferiors a 180º.

Amb aquest applet de GeoGebra podeu construir quadrats directament,
 però us convidem a dibuixar-ne un vosaltres mateixos/es pas a pas.

I a l'aula?

Si heu arribat fins aquí, segur que us heu anat imaginant les possibilitats i, no ens amaguem, les dificultats, de portar aquestes tasques a l'aula. Sempre partim de la idea de la redefinició i la descoberta per part de l'alumnat, però està clar que ens caldrà anar intervenint, tant per a guiar, com per a formalitzar en determinats moments. L'alumnat més interessat podrà anar ampliant alguns dels aspectes tractats i anar molt més enllà. Fem, però, algunes observacions més a tot el que s'ha dit fins ara.

• La geometria esfèrica és un cas particular d'una geometria més general: l'el·líptica. Aquesta geometria s'aplica a un el·lipsoide i l'esfera és un dels tres tipus bàsics d'el·lipsoides existents. Perquè és millor treballar l'esfera? Perquè podem utilitzar materials: pilotes o boles de porexpan, cordes per fer segments, podem dibuixar sobre les esferes, etc. Convé, també, treballar de forma combinada amb alguns dels applets com els que he recomanat perquè ens permeten fer mesures que, d'altre manera serien complicades, per exemple les angulars. Recomanem especialment el de la Heather Pierce perquè és una mena de "GeoGebra esfèric.
• La qüestió de les ortodròmiques i loxodròmiques obre tot un camp d'ampliació: el de la impossibilitat de fer mapes plans perfectes per a representar la Terra. No podem conservar mides i formes a la vegada. HI ha materials específics per a treballar aquestes qüestions. Per exemple el dossier Mapas, mapas, mapas que va preparar Raúl Ibáñez per al Dia de les Matemàtiques de l'any 2019. En Raúl Ibáñez és autor també del llibre divulgatiu El sueño del mapa perfecto. Però, si hem de destacar un recurs en especial, és el mòdul del MMACA creat per Daniel Ramos "L'esfera de la Terra". Al web del museu podeu trobar materials per a l'aula i una aplicació web (Mappae Mundi) que ens permet veure les distorsions que produeix cada tipus de projecció (si manté les distàncies, si manté la forma) i dibuixar i mesurar ortodròmiques, aquí anomenades geodèsiques, i loxodròmiques.

En aquest enllaç hi ha una construcció dinàmica amb GeoGebra de Tim Brzezinski molt il·lustrativa sobre la diferència de longitud entre l'ortodròmica i la loxodròmica.

Tenim per visitar també el web Great Circle Mapper que ens calcula i dibuixa rutes aèries entre diferents aeroports del món.

I, per acabar aquest apartat terraqüi tenim el conjunt d'activitats creades per Rafael Losada pel Projecte Gauss: "La Tierra en siete días. Geo-GeoGebra".

• Sobre el càlcul de distàncies a la Terra coneixent les coordenades geogràfiques dels dos punts extrems hi ha un article d'aquest blog que ho va treballar: "El rius, el nombre π i distàncies al planeta". Però també podeu mirar aquest vídeoMAT premiat al 2018 fet per alumnes de l'IES Mare Nostrum d'Alacant:  Podem calcular distàncies aproximant tant com Google Maps?

• Les qüestions plantejades sobre els triangles es poden destriar. No cal fer-les totes. Convindria treballar en un ambient exploratiu i fer tot un joc de conjecturar, comprovar i argumentar. També podem combinar això amb cerques de documentació a internet. Aquestes cerques obriran, de ben segur, camps nous: altres polígons esfèrics, tessel·lacions... Tot un món per a investigar!
• No hem comentat res sobre edats. Si està implicat, l'alumnat pot fer molt més del que li pertocaria per edat. De vegades no s'assolirà un coneixement profund però sí un de genèric que també pot ser d'interès. L'activitat de les distàncies a la Terra, amb el mapa i el globus terraqüi, s'ha fet al Cicle Superior de primària. El problema inicial també es pot plantejar des d'aquestes edats. També dependrà de si donem suport físic, amb materials, a les exploracions. Però per tractar qüestions com les dels postulats millor esperar a l'ESO. Potser a partir de 3r. Tot i així hi ha qüestions que es poden anar plantejant de mica en mica, curs a curs, i així podem començar abans. Si a 1r d'ESO fem la demostració de la suma dels angles del triangle (que és una de les demostracions que el nostre alumnat ha de conèixer, perquè no plantejar el problema de l'os i començar a parlar-ne?
• No cal dir que una de les ampliacions bàsiques és la història de les geometries esfèrica i el·líptica. L'aparició de les geometries no euclidianes és una de les fites més importants de la història de les matemàtiques. A Grècia ja es va estudiar la geometria esfèrica, sense tractar-la com una geometria no euclidiana. Viure en el nostre planeta, molt probablement ho va fer necessari. Però quin paper van jugar molt més tard Euler o Riemann?

Un avís

Està previst fer alguns articles més sobre geometries no euclidianes.