Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació

Els quadrats grecollatins són una recreació clàssica que tenen darrera una història curiosa i interessant i que han transcendit l'àmbit dels jocs matemàtics per ser incorporats en altres territoris com, per exemple, el de l'experimentació científica. I és una història en que apareix un dels grans personatges de la matemàtica: Leonhard Euler que, per una vegada, no la va encertar del tot amb una conjectura. L'explicació que farem seguirà en molt els passos del capítol Enmendando a Euler: el descubrimiento de un cuadrado greco-latino de orden 10, del llibre Nuevos pasatiempos matemáticos de Martin Gardner (del qual, per cert, es celebrarà el centenari el proper any).

Comencem per un quadrat més simple: un quadrat llatí.

Cal col·locar les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixi un color. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Un quadrat grecollatí afegeix una dificultat. Ara cada peça té dues característiques: el color i la lletra.

Has de col·locar els rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixin un color o una lletra. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Vols saber més dels quadrats grecollatins i de com són útils a l'experimentació?

Una petita història

Aquest tipus de quadrat es coneix com a grecollatí perquè, en comptes de lletres i colors com hem fet aquí, en els seus primers dissenys es combinaven lletres gregues i llatines per dissenyar-los.

Un quadrat grecollatí de 2x2 és impossible de construir. En aquest exemple no podem col·locar cap de les dues peces sense repetir a la fila lletra o color.

El d'ordre 3 sí que és possible.

El d'ordre 4 ja l'hem fet abans. Aquí teniu una imatge d'una proposta molt habitual: construir-lo amb cartes de la baralla. En aquest cas concret tampoc es repeteix figura ni coll a les diagonals.

El de 5x5 el podem veure en aquesta imatge amb dos models de construcció diferents.

Però... i el d'ordre 6? Aquí comencen els problemes.

Euler, els quadrats grecollatins i un conjectura mig-fallida

El matemàtic Leonhard Euler (1707-1783) va proposar la construcció d'un quadrat grecollatí de 6x6 en una forma coneguda com "el problema dels 36 oficials". Bàsicament proposava col·locar, en un quadrat de costat 6, els 36 oficials de sis regiments diferents, amb sis graus també diferents, de forma que no es repetís regiment ni grau a cap columna ni a cap fila.

Euler va demostrar que es podien fer tots els quadrats grecollatins d'ordre senar o múltiple de quatre (4, 8, 12, 16...). I va conjecturar que el de 6 (el problema dels oficials) no es podia fer, ni tampoc els d'ordre "parell de classe senar", és a dir, de nombres parells que tenen una meitat senar (2, 6, 10, 14...).

El de 2 ja hem vist que no es pot fer. El de 6 no es va demostrar com a "incosntruïble" fins al 1901 gràcies a Gaston Tarry. Però la conjectura general va caure al 1960 quan Parker, Bose i Shrikhande van construir un quadrat d'ordre 22 i posteriorment, retocant el mètode, d'ordre 10, 14... Curiosament va ser l'observació de la utilitat que podien tenir en experimentació el que va fer indagar en mètodes de construcció. A continuació teniu dues imatges de quadrats d'ordre 10.

Tant a la demostració de la impossibilitat de l'existència dels quadrats d'ordre 6 com a la construcció de quadrats grecollatins possibles hi juguen un paper important els quadrats llatins ortogonals. Són quadrats llatins que, superposats, formen un quadrat grecollatí. A continuació tenim un exemple.

Quadrats llatins i grecollatins als jocs

Ja hem vist que la construcció d'un quadrat grecollatí es pot proposar com un joc de recreació matemàtica. El quadrat llatí està en el substrat estructural dels sudokus.

També hi ha jocs, com aquest dels "nans saltarins" en que cada jugador projecta amb un trampolí, des de la seva banda, els nans del seu color amb la intenció de colar-los als forats del seu color. La distribució dels forats es disposa en forma de quadrat llatí per tal d'igualar les oportunitats en la distribució de files i columnes.

Tot i així, si en hi fixem amb detall, no acaba d'estar prou igualat. Per exemple, tan el groc com el vermell tenen un dels forats situat a una de les cantonades, però el groc el té a la seva inferior i el vermell a la seva superior. Fent volar "el nan" el groc té més a prop la vora i és més difícil colar-lo. Intentar fer un disseny més just és un bon problema en el que s'han de tenir en compte els girs del tauler i s'han de ponderar les caselles amb una puntuació per grau de dificultat. Una bona qüestió per treballar-la a l'aula.

Una altra curiositat. L'escriptor Georges Perec situa la seva obra La vida, manual d'ús en un edifici de 100 habitacions distribuïdes en un quadrat de 10x10. Cada capítol es passa a una habitació on es descriuen personatges, objectes, accions... L'ordre dels capítols reprodueix el recorregut d'un cavall d'escacs que ha de passar per totes les caselles. Va preparar 21 parells de temes (mobiliari, animals, adjectius...) que havien d'aparèixer a cada capítol i cada parell el va distribuir en forma de quadrat grecollatí a "les habitacions". Podeu trobar informació més detallada en aquest enllaç.

Els quadrats grecollatins ajudant a l'experimentació

Imaginem que hem de fer un estudi farmacològic per a una determinada patologia. Haurem de comprovar l'efecte de quatre fàrmacs diferents i l'hem de comparar en quatre dosificacions també diferents, en pacients de quatre grups d'edat i de quatre grups de pes. Si fem "quatre" números veurem que tenim 256 combinacions diferents.

Si cada experiment té un cost de 10 € estem parlant de 25 600 € de pressupost. Una forma d'abaratir-lo és realitzant menys experiments. Si deixem a l'atzar les combinacions de les quatre característiques ens podem trobar amb esbiaixaments cap alguna d'elles. Una forma més racional de fer-ho, i que combina de forma prou equilibrada les característiques, consisteix en aplicar un quadrat grecollatí a una taula de doble entrada.

Mirem el nostre exemple. Podem fer que les columnes siguin els grups d'edat (30, 40, 50 i 60 anys) i les files els de pes. Els quatre fàrmacs els representarem amb lletres llatines (A, B, C i D) i les dosificacions amb lletres gregues. Reduirem així els 256 casos a només 16.

Aquest tipus de quadres s'utilitzen en molts models d'experimentació ja que optimitza els costos. La quantitat de variables por ser diferent, d'aquí que ens interessi disposar de models de quadrats grecollatins de diferents mides (ordre 5, 6, 7, 8...).

El pioner en l'ús d'aquests quadrats en experimentació, molt més en concret dels llatins, va ser Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), matemàtic, estadístic, biòleg... que els va utilitzar en investigacions agronòmiques. 

Ronald Aylmer Fisher

A les passades JAEM de Palma i a la jornada de la SCM-FEEMCAT a Barcelona es va poder veure una representació teatral en la que Fisher és un dels protagonistes. L'obra de "microteatre", coescrita per Francesc Rosselló i Ana Patricia Trapero es titula Muriel i les vuit tasses de te. Podeu veure el vídeo de les JAEM en aquest enllaç i descarregar el text en català al web de la jornada de la SCM-FEEMCAT (també teniu el vídeo de la representació en català  a l'IEC en aquest enllaç; heu de buscar el minut 9). En ella s'ens explica la base matemàtica del disseny d'un altre experiment.