24 de març de 2015

Divisió 7: la divisió per diferència

Parlem avui d'un nou (vell) algoritme de la divisió. L'hem recuperat del web Animando la web 2.0 d'Ana de la Fuente (@Anuska72) i cal reconèixer ja d'entrada que, tot i afegint alguna petita cosa, transcriurem directament el text dels seu article. Sobre tot perquè la justificació que en fa de l'algoritme és clara i magnífica.

En aquest gràfic es veu com es realitza la divisió de 4019 entre 87 (Quocient 46; residu 17)


En el gràfic es reconeix l'àbac de Gerbert d'Orlhac (938-1003). Gerbert, que va ser Papa amb el nom de Silvestre II, va romandre tres anys al monestir de Ripoll. Es pensa que va viatjar per Andalusia i que allà va conèixer els nombres indoaràbigs. Va inventar un àbac amb fitxes que utilitzaven aquestes xifres (menys la del zero). No va ser un àbac molt utilitzat, però no deixa de tenir el seu interès. Podeu saber-ne més sobre Gerbert i el seu àbac llegint aquest article de Montserrat Bover que va aparèixer al n. 22 de la revista Biaix.

Aquest algoritme, que es coneix amb el nom de divisió per diferència, és molt pràctic amb nombres no massa llunyans de les potències de 10 (propers a 10, a 100, a 1000...). Destaquem alguns dels seus avantatges:
  • no cal buscar "per quin número hi cap". Treballem directament a partir de les primeres xifres del dividend i dels resultats parcials.
  • en conseqüència no cal fer proves (hi cap? no hi cap?)
  • no restem; només es fa multiplicacions i sumes
  • les multiplicacions es fan amb nombres "més fàcils". A l'exemple de l'esquema es veu que en comptes de treballar amb el 87 del divisor els càlculs els fem amb el 13, clarament més petit.
A continuació us posem un vídeo elaborat per Ana de la Fuente, on veiem dos exemples de divisió. El primer correspon amb la divisió de la imatge inicial.


Vols saber per què funciona aquest algoritme?
Abans de veure l'explicació potser voleu mirar un altre exemple de divisió. Hem triat un cas d'aquells que no surten del tot directes i que demanen més passes intermèdies.


L'explicació

Ja ho hem dit abans: no podem superar la justificació de l'algoritme que ens proporciona l'Ana de la Fuente al seu web i que us enllacem per si voleu veure la versió original. La transcrivim en català:

"Com repartir sense conèixer l'algoritme de la divisió? 
Fes la prova amb els petits. Ells no saben fer divisions encara, però saben repartir equitativament. Suposem que tens a 17 nens en una aula, dóna-li a un d'ells una bossa de caramels, posem a la bossa 55 caramels per exemple. ¿Què farà el nen?
Observa; segur que fa alguna cosa semblant a això: li dóna un caramel a cada nen (mira a la bossa i li queden molts), torna a donar un altre caramel a cadascun (torna a mirar la bossa i encara li queden uns quants), i torna a donar un caramel a cadascun. En acabar el repartiment li queden quatre caramels i com és un bon noi et torna la bossa.
Ha repartit equitativament, tots tenen 3 caramels i han sobrat 4. Sap dividir? Potser no sàpiga l'algoritme de la divisió, però ha sabut repartir, oi? 
Ara, viatgem en el temps, a l'Edat Mitjana. Com dividien llavors? ... Doncs una cosa semblant al que ha fet el nostre petit. 
Suposem que volem repartir 4019 caramels entre 87 companys, però en comptes d'anar d'un en un, nosaltres, que som més grans, anirem de 100 a 100, o de 1000 a 1000, perquè sabem dividir 4000 entre 100. 
-Però no hi ha 100, hi ha 87. 
-Bé, no importa, m'invento 13 companys més i faig el repartiment entre 100. Agafo 4000 caramels de la bossa i els dono 40 a cadascun. Em queden 19 a la bossa, i torno a ficar els 40 caramels que he donat a aquests 13 que m'he inventat (40x13 = 520). En total em queden 539. Mirem a la bossa, i encara queden molts caramels no? 
Repetim el mateix procés. Repartiment 500 entre 100; els dono 5 caramels a cadascun. Em queden 39 a la bossa més els caramels d'aquests 13 que no existeixen, és a dir, 13x5 = 65. Em queden 39 + 65 = 104 caramels a la bossa. Mirem la bossa, encara queden uns quants. 
Reparteixo 100 entre 100. Els dono un caramel més a cada un. Em queden 4 caramels a la bossa més els 13 de més ... 17. Aquest és el residu, i el quocient 40 + 5 + 1 = 46."
A l'aula
  • Practicar l'algoritme amb casos senzills
  • Comprovar si funciona amb nombres que no estiguin pròxims a les potències de 10, amb divisions de tres o quatre xifres...
  • Intentar justificar l'algoritme. A secundària es pot provar algebraicament.
  • Investigar sobre la figura de Gerbert d'Orlhac

Altres entrades al blog sobre la divisió

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada