Blog del Calaix +ie: Disseccions al quadrat (Quadriquadriculem)

L'any 2025 és un quadrat perfecte: (20+25)². Què millor, doncs, que el primer article de l'any estigui dedicat als quadrats. En concret, presentarem dos problemes que tenen un fort element en comú, però diferències en els objectius d'investigació. Tots dos tracten sobre la dissecció d'un quadrat en quadrats més petits. El primer és més accessible a l'aula en la seva investigació completa. El segon es pot explorar en els primers casos i augmentar la informació documentant-se sobre la seva història i l'estat actual de la seva resolució.

1a investigació: graus de "quadriquadriculació".

Anomenarem grau de quadriquadriculació a la quantitat de quadrats, iguals o diferents, en què podem descompondre un quadrat donat qualsevol. A la imatge teniu dos exemples de graus 9 i 11.

No tots els graus es poden obtenir, però, a partir d'un grau determinat es poden assolir tots. Podeu investigar quins graus no es poden aconseguir? Quin és el "grau límit" a partir dels quals es poden obtenir tots? I algun procediment per trobar tots a partir del "grau límit"?

2a investigació: "quadriquadriculacions" mínimes.

Ara es tracta de disseccionar un quadrat d'un costat enter donat en el mínim de quadrats més petits, iguals o diferents, de costats també enters. No s'admeten forats ni superposicions. Exemplificarem el repte amb el plantejament d'un cas particular fet per Sam Loyd al problema "El cobrellit de retalls". La història amb la qual Loyd embolcalla el problema és el d'un grup de dones que aporten diferents peces de tela quadrades i aconsegueixen cosir-les totes, sense retallar-ne cap, formant un quadrat més gran de 13x13.

Ens demana esbrinar la quantitat de dones sabent que és la quantitat mínima de peces quadrades en què es pot descompondre el quadrat gran. Dit d'una altra manera, el problema consistiria a demanar una dissecció mínima d'un quadrat de 13x13 en quadrats més petits de costats enters.

Nosaltres us proposem que procediu ordenadament: quina és la solució mínima per a un quadrat de 2x2? I per a un de 3x3? I per a un de 4x4? I de 5x5?...

Dissecció mínima de 2x2

Mirem amb més atenció els dos problemes?

Investiguem els graus de quadriquadriculació

El grau 1 es pot obtenir: no cal dividir el quadrat.
El grau 2 és impossible
El grau 3 també és impossible.
El grau 4, com tots els quadrats perfectes, s'obté dividint en quadrats iguals.

El grau 5 és impossible.
El grau 6 es pot obtenir de la següent manera.

El grau 7 es pot obtenir a partir del grau 4. Només cal dividir un dels quadrats en quatre parts.

Pel grau 8 podem aplicar un esquema semblant al del grau 6. Si ens hi fixem, això ens dona un patró general per a descompondre tots els quadrats de costat parell.

El grau 9 torna a ser un quadrat perfecte. Podem fer una quadrícula de 3x3.

Pel grau 10 podem aplicar el patró general dels parells. Però també el podem obtenir a partir del grau 7 dividint un dels quadrats grans en quatre parts

Del grau 11 ja hem proposat una dissecció a l'exemple d'explicació del problema, però podem obtenir una diferent a partir del grau 8 fent quatre parts del quadrat més gran.

Aquí ens podem aturar per a fer algunes observacions.

Hem trobat un mètode de dissecció per a tots els graus parells.
Cada vegada que dividim un quadrat determinat en quatre quadrats més petits, augmentem el grau en 3. No és difícil d'argumentar: obtenim 4 quadrats, però perdem l'original.
Els primers tres graus seguits que hem solucionat són els 6, 7 i 8. Dividint un quadrat de cada solució en 4 obtindrem els graus 9, 10 i 11. I així successivament.

En conclusió: a partir del grau 6 es podran fer tots els casos.

Grau 19 aconseguit de format fractal

Investiguem les quadriquadriculacions mínimes

Quan hem plantejat aquesta investigació ens hem referit al plantejament de Sam Loyd per a un quadrat de 13x13. Així i tot, el trencaclosques va aparèixer posteriorment també a un llibre d'Henry Dudeney amb el títol d'El cobrellit de la Sra. Perkins, i és el nom amb què ha quedat batejat el problema. Recordem-ho: descompondre un quadrat de costat enter n en la mínima quantitat possible de quadrats més petits amb costats també enters. A n li direm mida del quadrat i la quantitat de quadrats serà el grau de la descomposició. Atenció, a partir de mida 4 afegirem una condició nova.

El quadrat de 2x2 es pot descompondre en 4 quadrats de costat 1.

n=2 Grau=4

El quadrat de 3x3 té un grau 6. Es pot descompondre en un quadrat de costat 2 i cinc de costat 1.

n=3 Grau=6

El quadrat de mida 4 es podria descompondre en quatre quadrats de 2x2 i, en general, tots els quadrats de mida parell tindrien un grau 4. Per això al problema se li afegeix una nova restricció. Aquesta nova norma s'acostuma a presentar de dues maneres:

no es pot repetir un patró de dissecció utilitzat en un ordre inferior (per tant, no podríem repetir la dissecció del cas de mida 2).
el m.c.d. de tots els quadrats utilitzats ha de ser 1. Així, si el costat gran és 4 i la descomposició és només en quadrats de costat 2 s'incompliria aquesta norma. Això ens obliga a buscar una nova dissecció una mica més complexa. Descobrirem que el grau dels quadrats de mida quatre és 7.

n=4 Grau=7

De moment, no donem més solucions, però sí que us posem una taula amb els graus mínims de dissecció per a les primeres mides de quadrats. Dibuixarem algunes solucions al final de l'article. Per arribar a resoldre el cas proposat per Loyd i Dudeney (13x13) convé anar fent, més o menys ordenadament, els casos anteriors. Així anirem trobant petites estratègies per a fer les descomposicions.

Mida	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Grau	1	4	6	7	8	9	9	10	10	11	11	11	11	12	12

Observant la taula es pot veure que no hi ha un patró clar. Podem trobar una llista més llarga de solucions a la sèrie de l'OEIS A005670. Per destacar la dificultat de trobar patrons a la sèrie només direm que, de vegades, hi ha "retrocessos": els quadrats de costat 40 i 42 es poden disseccionar en 16 quadrats més petits, però el de 41 es pot fer en 15.

Una mica d'història sobre el problema i altres quadriquadriculacions

Hi ha molta literatura sobre la descomposició de quadrats en quadrats més petits. A internet és fàcil trobar-ne molts articles i n'enllaçarem alguns.

Naturalment, començarem amb Martin Gardner. Al llibre Carnaval matemático trobarem el capítol El edredón de la Sra. Perkins y otros problema de empaquetamiento de cuadrados. En ell s'explica com, a partir del repte del problema original, es va afegir una nova restricció: tots els quadrats de la descomposició havien de tenir mides diferents. Aquest problema es coneix com a "quadratura del quadrat". Sobre el 1930 els matemàtics Paul Ërdos i Nikolai Luzin, per separat, van conjecturar que no es podia fer. Però sobre els anys 40 van començar a aparèixer diferents exemples de quadratures. El quadrat quadriquadriculat més petit és el de mida 112 i amb un grau de 21. Es va trobar a l'any 1978.

Quadriquadriculació d'Arie Duijvestijn

Es poden trobar trencaclosques o mobles amb aquesta dissecció.

Un altre clàssic de la recreació matemàtica, John Horton Conway, va dedicar un article a aquest problema proposant una fórmula aproximada per esbrinar el grau d'una dissecció a partir de la seva mida.

Podeu ampliar la informació sobre el problema en aquests tres enllaços:

La cuadratura del cuadrado: en busca del santo grial de Raúl Ibáñez, als Cuadernos de Cultura Científica.
Mrs Perkins's Quilt d'Stuart Anderson
Mrs. Perkins's Quilts al Mathematica Demonstration de Wolfram. En aquest enllaç el més interessant és un interactiu que ens dona les solucions de les disseccions clàssiques, amb quadrats de mides repetides, fins a un qudarat de 40000 unitats de costat.
A la Viquipèdia també podem trobar un article interessant, Cuadratura del cuadrado, on es parla també dels "nombres guapos", de la quadriculació heterogènia del pla o de la cubicació del cub.

I a l'aula?

Pot ser de ajuda treballar amb materials com quadrats retallats de diferents mides. També pot ser fer-ho amb GeoGebra.
La primera investigació és perfectament transferible a l'aula. És una investigació assequible sobre patrons geomètrics i té un aspecte argumentatiu molt interessant per justificar que, a partir del grau 6, totes les solucions són possibles. Podem aprofundir en alguns aspectes com investigar els casos fractals, com el que hem mostrat o diferents. Per exemple, amb el model que hem presentat es poden obtenir tots els graus de la forma 3n+1.
La segona convé proposar-la repte a repte: 2x2, 3x3, 4x4, 5x5... Un cop descobert que els casos parells es poden resoldre tots de la mateixa forma, es pot afegir la segona restricció. Segurament és més entenedor demanar que no es repeteixin patrons de dibuix, però connectar amb divisibilitat, imposant que el m.c.d. de tots els costats sigui 1, també té el seu interès. Demanar inicialment cas a cas ajudarà a trobar uns certs patrons de resolució. Donat que no és fàcil saber si ja es té la solució mínima, la resolució col·lectiva serà interessant. Si un alumne diu que ha fet una descomposició, per exemple, en 7 quadrats, i un altre diu que l'ha aconseguit en 6, pot fer augmentar el grau de repte. També serà útil la comparació de mètodes de resolució.
No deixarà de ser interessant fer investigar, documentant-se, l'evolució del problema en el cas que s'exigeix que les mides dels quadrats siguin sempre diferents.
Per què no fer un bon mural "mondrianesc" amb les nostres representacions? Podem treballar amb els seus colors. Fins i tot, un cop aconseguida la quadrícula podem deformar la imatge reduir l'altura o l'amplada.

Descomposició del quadrat de 14x14 en 12 quadrats (8-6-6-5-3-3-3-2-1-1-1-1) i la seva reducció d'amplada a 2/3 de l'original

Solucions de 5 a 13 de la segona investigació

Si som estrictes, les diferents organitzacions dels quadrats petits dins del gran seran solucions diferents, però convé considerar-les equivalents. Però, en alguns casos hi ha solucions amb quadrats de mides diferents. Posarem alguns exemples