Blog del Calaix +ie: Busquem premis a les caixes

Tenia una companya de matemàtiques a l'institut on treballava que, cada vegada que atacàvem problemes de probabilitats deia: "Entrem en terrenys pantanosos". Quanta raó tenia. El problema que comentarem avui me l'ha fet conèixer la Laura Morera i, durant uns dies, l'hem discutit amb la Cecilia Calvo i el Jordi Deulofeu. Ella el va conèixer pel divulgador Alex Bellos. que el va titular "El problema de les caixes que va desconcertar als científics". La versió original del problema és amb 15 caixes, però nosaltres començarem només amb sis i no amb les mateixes regles inicials. Progressivament anirem entrant "en matèria"

Imaginem que tenim sis caixes disposades formant un rectangle de 2x3. A una de les caixes amaguem una fitxa.

Després fem entrar a dos nens: l'Arnau i la Berta que faran un joc per trobar la fitxa. Tots dos aniran obrint les caixes de forma simultània i ordenadament, però l'ordre serà diferent per a cadascun. L'Arnau comptarà horitzontalment, d'esquerra a dreta i la Berta ho farà verticalment, de dalt a baix.

El joc funcionarà així:

Abans de començar cada partida amagarem una fitxa a l'atzar en alguna de les caixes.
Nosaltres comptarem en veu alta 1, 2, 3... fins que aparegui la fitxa amagada.
Quan es digui un nombre tots dos obriran a la vegada la caixa que per a ells està numerada amb l'ordre que segueix cadascú. Es pot donar el cas (al principi i al final) que tots dos coincideixin a la mateixa caixa: aquella caixa serà "dels dos".
Quan es troba la fitxa el joc s'acaba. Guanya el que l'ha trobat i es guardarà la fitxa.
Si la troben a la vegada (a la mateixa caixa) no se la queda cap dels dos. La fitxa es retira i és un empat.
Guanya qui, després de diverses partides, hagi recollit més fitxes, és a dir, hagi guanyat més partides.

Podeu veure un exemple del joc amb aquest aplicatiu.

Enllaç al programa

Si fem jugar un programa automàticament veurem que el joc és equilibrat. Del total de partides, aproximadament un terç seran empats, un altre terç seran victòries de l'Arnau i el terç final de victòries de la Berta.

Enllaç al programa

Aquesta experimentació es correspon amb el càlcul teòric. Només cal mirar qui guanya segons on hagi anat a parar la fitxa amagada: en dues caselles la trobaran a la vegada i hi haurà un empat, en dues la trobarà abans l'Arnau i en dues ho farà la Berta.

Fins ara tot força raonable i previsible. Fem ara, però, un petit canvi aparentment innocent en el joc: en comptes de guardar una sola fitxa, en posarem, també a l'atzar, dues fitxes. Com abans el joc s'aturarà quan es trobi la primera fitxa. Això ho hem de remarcar. No esperem a trobar-ne les dues. Qui troba la primera guanya. Els empats es produeixen quan les troben a la vegada, ja sigui perquè el dos obren la mateixa caixa o perquè n'obren diferents, però totes dues tenen fitxa. Experimentem ara i observem els resultats, comparant-los a una hipotètica equiprobabilitat com la del cas anterior.

Enllaç al programa

Podreu observar que els empats són més probables que les victòries de qualsevol dels jugadors. i que l'Arnau té un lleuger avantatge sobre la Berta. Ja hi som amb les sorpreses de la probabilitat. Intuïtivament, el joc hauria de continuar sent equiprobable, però no ho és. A continuació teniu una imatge amb els resultats després d'un milió de partides.

Estudiem aquest nou joc amb més detall?

Per a estudiar les probabilitats per a cada jugador hem d'estudiar tots els casos un per un. Hi ha quinze formes de posar les dues fitxes en caixes diferents.

El que hem de mirar ara és, seguint l'ordre d'obertura determinat pel joc, qui trobarà la primera fitxa, l'Arnau (A) o la Berta (B), o si en trobaran una a la vegada produint-se un empat (E). Al següent gràfic ho podem veure. La casella blava conté la fitxa que no s'ha trobat.

Podem provar una altra notació més abreujada (que copio de l'anàlisi que va fer la Cecilia Calvo). En aquest esquema la casella blava indica on es troba una de les fitxes i a cada casella blanca anotem quin seria el resultat si l'altra fitxa hi fos allà: A, B o E. Quan una casella està en gris és perquè aquella situació ja l'hem estudiat. Per exemple, si una fitxa està a la casella superior esquerra (de color blau), tenim cinc posicions per a la segona i totes són empats perquè la casella blava l'obren junts. Si una fitxa està a la central de la primera fila ens queden quatre situacions per a la segona (la grisa ja està estudiada). Hi haurà un empat i tres victòries per A. I així es va seguint.

El recompte és el següent

	Freqüència absoluta	Freqüència relativa
Empats	6	40 %
Arnau	5	33,33 %
Berta	4	26,66 %

Com es pot veure els resultats coincideixen amb l'experimentació llarga. Per tant, i sorprenentment, és millor anar obrint les caixes per files que fer-ho per columnes.

I si tenim 15 caixes?

El cas presentat per Bellos és el de quinze caixes disposades en tres files de cinc. Serà millor per files ara també? O per columnes? O serà equiprobable? Tornem a experimentar.

Enllaç al projecte

Com abans, és més interessant anar per files com l'Arnau. I aquesta vegada els empats són la tercera opció en ordre de probabilitats. L'anàlisi dels diferents resultats per a cada opció de col·locació de les fitxes ens confirma i precisa els resultats anteriors. Ara tenim 105 casos diferents. Per tant, canviarem el tipus de representació de l'estudi cas a cas. Farem una taula on cada casella indica on estan col·locades les dues fitxes i el resultat obtingut.

La casella 8-11 indica que les fitxes estan a les caixes 8 i 11 i guanya la Berta

El recompte ens dona les probabilitats de cada cas.

3x5	Freqüència absoluta	Freqüència relativa
Empats	23	21,9 %
Arnau	43	40,95 %
Berta	39	37,14 %

Com en el cas de 2x3 aquesta vegada surt més a compte anar comptant per files. Però això és perquè les files són més llargues que les columnes. Si fos al revés, per simetria, l'avantatge seria per a la Berta intercanviant-se els resultats. Aquesta observació fa pensar que, en el cas que les caixes formin un quadrat el joc tornarà a ser equiprobable, si més no entre A i B. Ho podem confirmar, per exemple, recollint els resultats de l'anàlisi d'una situació "quadrada", com la 3x3.

I serà sempre així?

D'entrada cal dir que sembla no haver-hi patrons clars. Per a estudiar cada distribució de caixes, en m files i n columnes, no ens podem estalviar la feina de fer-ho a "pic i pala" . Per això va bé tirar de programes que ens permetin fer diferents proves ràpidament. Aquí en teniu un de senzill.

Enllaç al programa

Si experimenteu observareu que, en general, té més opcions de guanyar qui "camina" per la línia més llarga. Si hi ha més files que columnes, per les files i si hi ha més columnes que files, per les columnes. Podem veure aquests dos gràfics que recullen un estudi per a dues files i de 2 a 21 columnes. Un dels gràfics recull la quantitat d'empats i victòries d'A o de B. L'altre reflecteix la diferència de probabilitats entre A i B (si és positiva l'avantatge és d'A).

S'observa que, a mesura que s'augmenta la quantitat de columnes la quantitat d'empats possibles va disminuint i l'avantatge d'A augmenta amb un creixement logarítmic. Però si anem a 3 files i 20 casos (de 3 a 22 columnes), tot i mantenir un aire semblant al de 2 files, es comencen a endevinar unes certes irregularitats.

Amb 4 files i de 4 a 23 columnes les "serres" dels gràfics són més notòries. Però el més important és que trobem una irregularitat important. En el cas de 4 files i 6 columnes l'avantatge és per a B, caminant per columnes encara que siguin més curtes que les files. Això contradiu que sempre sigui el més convenient anar per la línia més llarga.

No és un avantatge molt important (és d'un 0,53% per la Berta), però trenca la regla aparent que havíem trobat. Podem veure l'estudi complet d'aquest cas.

Aquesta tendència segueix a mesura que augmentem files. També trobem els casos particulars de 5x6, 6x7 i 7x8 que donen lleugers avantatges a B. Amb 8 files trobem que hi ha dos casos: 8x9, amb 1,92 % d'avantatge per a B, i 8x10, amb un gairebé insignificant avantatge d'un 0,03 %. Però les anomalies segueixen en augment. Amb 9 files tenim tres casos que són millors per a B i no són els tres seguits, hi ha un salt. Són 9x10 (1,89 %), 9x11 (0,25 %) i, més tard, 9x18 (0,03 %).

I així segueix l'evolució. Si mireu "la serra" el gràfic es veu que els pics inferiors favorables a B, o si més no menys defavorables, queden cada vegada més elevats, però també sembla que cada vegada poden quedar més vegades "sota zero". En aquest enllaç, podeu veure una anàlisi de 2 a 11 files i els casos de 30 i 50 files, amb 20 casos, en general, per a cada conjunt de files, . En aquest gràfic, extret del document, veiem que quan hi ha 50 files i de 50 a 100 columnes, tot i que en 39 casoso guanya A (amb files més llargues), en nou ocasions l'avantatge es de B. Fins i tot té la màxima avanatge en el cas 50x51.

En conclusió: en la majoria de casos és millor anar per la línia més llarga... però no sempre! Pel que s'intueix (i amb totes les alertes sobre les intuïcions) si el rectangle és poc oblong (una mica "quadrat") sembla millor anar per la línia curta. I, a partir de 9 files, si les columnes són múltiples de la quantitat de files, també. Insistim: dit amb totes les precaucions.

Tornem a 6 caixes en un rectangle de 2x3

Un dels grans jocs de les matemàtiques consisteix a estudiar com canvien els efectes si modifiquem, poc o molt, les regles del joc. Per exemple, ara ens preguntarem, com canvia el joc si canviem la quantitat de fitxes a posar a les caixes i la quantitat a trobar. Comencem amb un exemple senzill per a considerar possibles simetries.

Posem 4 fitxes

És possible que la part del problema relativa a la col·locació de les dues fitxes hagi recordat una coneguda activitat d'aula que consisteix en esbrinar de quantes maneres es poden posar dos ous en una ouera de sis forats, o tres ous, o quatre... És una problema bonic que, per altra banda, podem connectar amb el triangle aritmètic o l'alfabet Braille. Aquí teniu un enllaç al web de Transum amb un interactiu per a resoldre-la. En aquesta petita investigació s'observa que hi ha una simetria en les solucions: hi ha la mateixa quantitat de formes de posar 2 ous que de posar-ne 4, o la mateixa quantitat de posar-ne 1 que 5. La pregunta és: si posem quatre fitxes a les caixes, les probabilitats del joc, seran idèntiques al cas de dues que hem investigat? La resposta és que no. Observem tots els casos.

13 empats, 1 victòria per a A i 1 per a B

El joc ara està equilibrat per als dos jugadors, però és ben avorrit, perquè la probabilitat d'empat és del 86,66 %. Si ho pensem es podia preveure que els empats dominarien perquè en 2/3 dels casos una fitxa estarà a la primera caixa, i encara hi ha tres situacions més d'empat.

Posem dues fitxes i trobem-ne les dues

Imaginem que ara decidim que s'han de trobar més fitxes. Per exemple que, si hem posat dues fitxes, el joc s'aturarà quan hagin aparegut les dues. Recordem que les regles deien que, quan una caixa amb fitxa s'obria a la vegada (la primera o la sisena), no se la quedava ningú. Això dona lloc a quatre resultats possibles: un troba dues i l'altre cap (2-0), troba una cadascun (1-1), un troba una sol i l'altra la troben a la vegada (1-0), troben les dues a la vegada (0-0).

Si fem l'estudi de casos veurem que ara el joc és totalment equiprobable: hi ha tantes possibilitats de victòria per a A com per a B i la mateixa quantitat d'empats.

5 empats, 5 victòries d'A i 5 de B (tots dos recollint sis fitxes en total)

En general sempre que s'hagin de recollir totes les fitxes posades (1, 2, 3, 4, 5 o 6) el joc serà equiprobable, tot i que en el cas de tres fitxes hi ha més empats

Posem tres fitxes i trobem una, dues o tres

Al final d'aquest apartat enllaçarem un document per estudiar totes les possibilitats, posant-ne de dues a sis fitxes. Però ara, d'exemple, posarem l'estudi dels casos relatius a posar tres fitxes. D'entrada observem que hi ha 20 distribucions possibles.

Aturem al trobar la primera fitxa de les tres.

Aquesta situació és molt semblant a la que havíem estudiat per dues fitxes amb un cert avantatge per a A, tot i que amb més empats.

13 empats, 4 per a A i 3 per a B

Aturem al trobar dues fitxes de les tres (resultats possibles: de 0-0 a 2-0)

El joc és més divertit perquè els empats es redueixen. Ara és una mica més avantatjós per a A.

8 empats, 7 per a A i 5 per a B

Aturem quan s'han trobat les tres fitxes (resultats possibles: de 1-0 a 2-1)

Com havíem comentat abans, si s'han de recollir totes les fitxes posades el joc està equilibrat per a A i B.

8 empats, 6 partides per a A i 6 per a B

Podem resumir les dades en una taula i representar dos gràfics: de casos i de diferència de probabilitats entre A i B.

Si voleu podeu veure l'anàlisi detallat de tots els casos posant d'una a sis fitxes en aquest document. Hi ha coses curioses. Per exemple, si posem 5 fitxes el joc és equilibrat en tres de les cinc opcions. Dues són evidents, trobar-ne una o cinc fitxes, però no ho és tant que també ho sigui quan en trobem dues. O que, si hem de trobar quatre, A guany la meitat de les vegades.

I a l'aula?

L'activitat és interessant perquè posa a prova les nostres intuïcions. L'absència de patrons clars per passar d'un cas a un altre pot ser un inconvenient o una virtut. Inconvenient perquè a mesura que augmenta la quantitat de files i de columnes els casos a provar creixen molt ràpidament. Amb 15 caixes són 105 casos a comprovar i, sense un programa informàtic que ens ajudi, no hi ha altra opció que fer-ho a "pic i pala". Però és una virtut, per fer veure que no sempre podem trobar patrons. I que els pocs que podem intuir (com "és millor anar per la línia més llarga") tampoc són sempre certs.
Treballar amb el cas de 2x3, 2x4... és una molt bona opció per iniciar l'estudi del problema. Els altres casos una mica més grans (en general no més enllà de 3x5) es poden repartir per al seu estudi. També, un cop treballat el cas de 2x3 es pot utilitzar un programa per estudiar casos més grans.
És fonamental fer conjecturar abans d'estudiar cada cas. Per exemple, un cop descobert que 2x3 (amb dues fitxes) és un joc desequilibrat, es pot demanar què passarà amb 3x2 i amb 3x3. Aquí les conjectures plausibles es corresponen amb la realitat. Però, un cop pensat que sempre és millor anar per la línia més llarga, estudiar el cas de 4x5, (el més petit en què és millor anar per la línia curta, per les columnes) pot portar una nova sorpresa a sumar a les anteriors. Però cal tenir en compte que 4x5 demana mirar 190 casos.
El joc dona per fer-se noves preguntes. A l'article n'hem posat algunes, però hi poden sorgir unes altres. Per exemple, què passa si el caminenm fent ziga-zaga, si quan acabem una fila o una columna continuem per la caixa del costat?

Descobrirem que hi ha diferències... però no massa grans. Potser una irregularitat més gran a mesura que anem augmentant la quantitat de files. Per exemple, recordem que amb 50 files i de 51 a 100 columnes hi havia set casos "anòmals" en què anar per columnes era millor. Doncs si ho fem en ziga-zaga seran 22 els casos, gairebé la meitat. No són avantatges molt grans però déu-n'hi-do la quantitat de casos. De fet, és B el que té els avantatges més grans (un 0,86 % a favor per a B amb 53 columnes, per un 0,39 % per a A amb 96 columnes). A continuació teniu el gràfic de diferències de probabilitats "normals" (en blau) i en ziga-zaga (en vermell).

Enllaç al document amb l'estudi de ziga-zaga i comparatiu (2 a 12 files, 30 i 50)

Una pregunta nova pot ser també investigar, per exemple en 2x3, què passa si considerem la possibilitat de posar les dues fitxes també en una mateixa casella. Variaran molt les probabilitats del joc aturant-se al trobar la primera? I si volem trobar les dues?

És una bona activitat per a fer un programa per a estudiar les probabilitats. L'augment de casos a considerar a mesura que augmenten les caixes hi convida. A més és molt vàlid per a treballar l'estratègia de "dividir en problemes més petits" tan típica del pensament computacional: distribuir fitxes a les caixes de totes les maneres possibles, veure qui guanya o si hi ha empat, fer el recompte global... Un dels subproblemes interessants és fer el codi per veure com queden ordenades les caixes pel que compta per columnes quan hi ha m files i n columnes.
I una última observació, potser una mica ximple. Si sou habituals dels problemes del Cangur estareu farts de resoldres problemes en què els protagonistes tenen noms començats ordenanadament per A, B, C... Aquí també hem seguit el model de la proposta oroginal del problema. I no l'hem canviada perquè estaven totesles taules i gràfics fets amb aquesta premisa. Però potser són noms millors Ferran (files) i Clara (columnes).

Addenda

Arran de la publicació de l’article, isabel (@asitnof) va publicar a X altres formes de representació útils a l’hora de resoldre el problema. És un graf interessant per a estudiar els casos de grups de caixes amb dues fitxes. En aquest primer s’estudia el cas de sis caixes (2 files i 3 columnes). Els extrems de cada segment indiquen on són les fitxes. El color indica si és un empata, si guanya l’Arnau (verd) o la Berta (morat). La visualització ràpida de que estan dibuixats tots els segments possibles ens permet veure que no ens hem deixat cap cas.