Un tauler just pels "Nans saltironants"

A l'article "Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació" (Novembre de 2013) es parlava d'un joc infantil, "Els nans saltironants". En aquest joc, per a 2, 3 o 4 jugadors, hi ha 16 nans de 4 colors diferents, quatre balancins i un tauler amb 16 forats, 4 de cada color. Cada jugador tria un color. Segons la versió del joc, els costats poden estar adjudicats per colors o no. En tot cas, cada jugador posa el seu balancí a un costat i ha de "disparar" els seus nans amb el balancí, fins que aconsegueix posar-los als quatre forats del tauler amb el seu color.

Dues versions del joc

No és difícil imaginar que, perquè el joc sigui just, els forats han de tenir una distribució igualitària. Per exemple. si posem els quatre forats d'un mateix color en una sola fila o columna, segurament seran més fàcils d'encertar a les que estiguin per la zona central del tauler. Les vores del joc hi juguen un paper. La vora més pròxima al costat de llançament demana un vol més ajustat perquè si no el nan pot topar amb ells. Els racons pròxims també són una mica més complicats. Com ha de ser una distribució justa?

A priori podem pensar que fent un quadrat llatí, en què no es repeteixi un mateix color a cap fila i a cap columna n'hi haurà prou. Però hi ha casos que, si més no, són discutibles. Per exemple, en aquest tauler blau té dues caselles en cantonades i groc no en té cap.

Blau té dues caselles en cantonades

Ja podem anotar, a més de ser un quadrat llatí, una segona condició: tenir una cantonada de cada color. Mirem ara amb detall un dels taulers oficials del joc.

Comparem on té cada color el seu "forat de cantonada". Blau i vermell el tenen més allunyat. Groc i verd el tenen al costat més pròxim. És prou igualat? És evident que les condicions no són les mateixes i que segur que el tauler es pot millorar.

Si no hi ha color a cada costat podem col·locar el tauler de forma aleatòria. Però això no fa encara el joc del tot just. Hem mostrat fotografies de dos fabricants diferents, però tots dos tenen la mateixa distribució de colors.

Els podem ajudar a fer un tauler millor, totalment equilibrat? Si el trobem, quants n'hi ha de diferents?

 Pensem en les condicions:

• Cada fila ha de tenir els quatre colors.
• Cada columna també.

Per tant, ha de ser un quadrat llatí.

• Cada cantonada ha de ser d'un color i ha de quedar "igual de lluny" i amb igual orientació (a l'esquerra o la dreta).

Això ens dona quatre solucions. O de fet, una de sola que anem girant 90°.

Aturem-nos un moment. Podem observar que, si fixem un color, els altres colors s'obtenen de girar la distribució obtinguda 90°, sempre en un mateix sentit. Prescindim doncs dels colors i fem un estudi zonal per posar quatre marques, sense repetir columna ni fila. I mirem quins casos serveixen i quins no.

Tornem a començar. Si posem un marca en una cantonada (posem que a la 1a fila i la 1a columna) podem eliminar les altres tres perquè s'han de reservar una per a cada color.

Una zona que també ha de quedar equilibrada amb una casella de cada color és la central.

En aquesta zona només podem posar-ne una marca. Això ens genera, un cop fixada una cantonada, quatre possibilitats.

Pot semblar que encara tenim 8 caselles lliures per a cada cas. Però no és veritat. No hem eliminat les de les files i columnes corresponents. En realitat les situacions que tenim, amb dues caselles triades, són aquests:

Com veiem, només tenim dues caselles lliures per a cada cas. Per tant, ja tenim quatre distribucions bàsiques que, a priori, ens poden proporcionar taulers equilibrats.

Posem més colors

Ara ens tocarà afegir els altres colors. Estudiarem el problema per a un tauler que no tés marc de colors com el del primer model comercial que hem ensenyat, perquè imposaria un ordre. Seguirem un ordre que hem triat aleatòriament: vermell, verd, balu i groc. Començarem marcant en vermell quatre caselles amb una de les distribucions. Començarem pel model A. Seguidament girarem el tauler 90° i tornarem a replicar la distribució amb el segon color, el verd. I així ho farem dues vegades més per col·locar els dos colors que falten.

Tauler aconseguit amb la distribució A

Si repetim ara el procés amb la distribució B trobarem un problema: hi ha una casella que se superposa en fer el gir i li tocarien dos colors, vermell i verd. Per tant, la distribució B l'hem de descartar.

Hi ha una casella on se superposen dos colors

Provem la configuració C i observem que sí que també tenim superposicions.

Hi ha una casella amb superposició

Ens queda per provar la distribució D.que sí que ens proporciona una quaterna "girable" sense superposicions.

Hem reduït els quatre taulers teòricament possibles a només dos, basats en les disposicions A i D,

Podem observar que a l'A, a cada quadrant, hi ha només dos colors i que els quadrants de la meitat inferior són com els de la superior girats 90° (o simètrics, segons com ho mirem) quedant els colors en ordre invertit. En canvi, a la D a cada quadrant hi ha els quatre colors. Els colors es col·loquen en el mateix ordre cíclic: vermell, verd, blau, groc, en sentit horari. Els dos quadrant de la meitat superior es repeteixen a la inferior intercanviant posicions.

Podem representar amb nombres cada tauler. Això ens permetrà construir quadrats diferents segons l'ordre inicial de colors de la primera fila.

Busquem tots els taulers

La distribució de colors de la primera fila determinarà la construcció de cada tauler, sigui amb el model A o amb el model D.

Tenim 24 formes d'ordenar els quatre colors en la primera fila. Són 4 per a la primera casella. Per a cadascun d'aquests quatre casos podem triar 3 colors per a la segona. Això fa un total de 4x3=12 casos. Per a cadascun d'aquests 12 casos podem triar 2 colors per a la tercera. Això faran 12x2=24 casos. De la quarta casella no ens hem de preocupar: l'últim color no es pot triar, va obligat.

Mirem els sis casos corresponents a posar vermell a la primera casella.

Construïm el quadrat corresponen al primer cas i aplicant el model A.

Aquest tauler és "la mare" de quatre més que podem obtenir de girar-lo tres vegades successives 90º. Podem observar un detall: obtenim també, de pas, tres primeres files més generadores del tauler.

Si observem aquestes primeres files generadores, la que hem triat i les tres que hem obtingut pels girs, podem observar que cada color ocupa, en cadascuna d'aquestes primeres files generadores, una posició diferent: només una vegada estarà el primer, només una vegada el segon, etc. És important perquè ens permet estalviar feina. Només estudiant els casos en què vermell està en el primer lloc de la primera fila obtindrem els sis taulers bàsics diferents segons el model A. El 24 totals s'obtindrien d'aplicar tres girs seqüencials a cada tauler.

Ens podríem preguntar ara si cal aplicar una simetria a cada tauler per a obtenir sis més. Però podem intuir que no cal, a causa de la regularitat del patró constructiu. Però si no ens refiem, a continuació teniu una imatge amb els 24 taulers diferents que es poden obtenir amb els girs i veure que tots tenen el seu simètric.

Pel model D podem fer uns raonaments semblants: obtindrem 24 taulers diferents que, si no tenim en compte els girs, es poden reduir a 6.

Podem veure que els 24 casos contenen també totes les simetries.

En conclusió. Tenim dos models bàsics de quadrats llatins prou equilibrats pel joc. Si no tenim en compte les versions que girades són idèntiques hi ha 48 taulers, 24 per a cada model. Però si descartem les que girades són iguals ens quedem amb només 12 casos, 6 per model.

Una pregunta: un dels jocs comercialitzats té determinat al marc un ordre de colors. Serveixen tots aquests taulers per aquest joc?

I a l'aula?

• El repte és interessant perquè relaciona els quadrats llatins amb aspectes de combinatòria, girs i patrons. També ho és la descoberta de les característiques que ha de tenir el tauler.
• Hi ha detalls clau, durant la resolució, que es poden descobrir amb una bona discussió a l'aula.
• La primera clau és la que els colors no es poden repetir a les columnes i a les files i s'ha de construir el que coneixem com a un quadrat llatí. Una bona oportunitat per a "presentar-los en societat". A l'article ho hem donat com a informació d'entrada, però a l'aula no s'hauria de fer.
• La valoració del grau de dificultat de cada forat pot ser divertida. D'aquesta valoració ja poden sortir algunes idees, com que hi ha d'haver un color diferent a cada cantonada o un color també diferent a cadascun dels quatre forats centrals. Hi ha altres aspectes observables, com que cada color, entre els quatre forats, ha de tocar els quatre costats del joc (una cantonada en toca dos). Si no fem aquesta valoració no observarem que els taulers comercialitzats no estan prou equilibrats i no tindrem excusa per a la millora (que és el problema que volem investigar).
• Una altra clau és observar que tots els jugadors, des del seu costat, han de "veure el mateix", que la distribució dels forats del seu color ha de ser idèntica. Això porta a la idea que, si tenim una distribució per a un color que compleix les condicions que ens hem posat, girant-la tres vegades 90°, si no hi ha superposicions,  tindrem un tauler base.
• En l'estudi combinatori dels colors de la 1a fila no es pot donar per segur que, estudiant només els sis casos en què un color està el primer de la primera fila, obtindrem els 24 possibles de cada model. O bé es reparteixen totes les primeres files possibles entre tota la classe i després s'observa que han sortit taulers repetits o bé s'estudia un cas, com hem fet a l'article, i es descobreixen els arguments per veure que ens sortirien casos repetits, És a dir, fer veure com a l'article, que a partir de 6 primeres files concretes, es poden obtenir tots els taulers possibles.
• Pot ser interessant demanar si, a partir d'uns dels taulers obtinguts, fent una simetria n'obtindrem un de nou. I descobrir que ja els tenim.
• Hem descobert dos models base, l'A i el D, per als taulers. Tenen patrons de distribució molt definits. Pot ser molt interessant fer descriure aquests patrons. És un aspecte comunicatiu a considerar. A l'article hem comentat algun aspecte de cada distribució, però n'hi ha més.
• Segons el nivell educatiu no és necessari fer la cerca exhaustiva de tots els taulers existents. Ens podem conformar a trobar-ne un.
• Tampoc cal ser tan estrictes en el model de distribució proposat: que sigui una distribució idèntica des de cada costat. Si hem valorat les característiques de cada forat els podem donar un valor numèric. Per exemple 1, si es considera un forat fàcil d'assolir, i 4, si es considera molt difícil. Així arribarem a una ponderació total del tauler des d'un punt de vista. Per exemple aquesta:

Aquest tauler té una puntuació total de 36 punts. Cada jugador hauria de tenir una puntuació de 9 entre els quatre forats. Podem aconseguir-ho encara que sigui una distribució irregular? La solució no és immediata perquè l'hem d'anar girant. Per exemple, al gràfic tenim una distribució que pot semblar justa perquè cada color té 9 punts de dificultat. Però si posem les puntuacions de cada color segons el seu punt de vista veurem que, des del blau, el valor total és només de 8, és més fàcil.

Tenint en compte aquest aspecte de gir podem buscar altres solucions. Les 48 trobades anteriorment serveixen. Però pòdem en trobarem de noves. Tant formant quadrats llatins, sense els condicionants que hem posat abans, o amb repeticions de colors en files o columnes.

La solució de l'esquerra és un quadrat llatí, però la de la dreta no

 Si voleu, us podeu animar a trobar-ne més amb aquest aplicatiu. I afegim una pregunta. Si ho proveu, els dos taulers amb forma de quadrat llatí que hem posat al començament els hem valorat com a desequilibrats, però si els proveu amb auest sistema de puntuacions sí que ho són. Ho seran també els quadrats llatins? 

Enllaç al programa