Piergiorgio Odifreddi, un dels millors divulgadors matemàtics italians, al seu llibre Pillole matematiche inclou una "píndola" titulada Palline, palloni e cupole (una cosa com "Boles, pilotes i cúpules") que pot ser molt interessant de compartir. Un cop presentat l'origen d'aquest article, entrem en tema.
Heu mirat atentament alguna vegada una pilota de golf? Si ho heu fet haureu observat que la seva superfície és rugosa a causa de la presència d'una gran quantitat d'alvèols (com uns petits foradets).
Aquests alvèols ajuden a allargar el vol de la pilota i la distància recorreguda després del cop. Segons la Viquipèdia, la majoria tenen entre 250 i 450 alvèols, però n'hi ha amb més. El rècord està en 1070. Hi ha diferents models de pilotes amb distribucions diferents. Si mirem els de la pilota de la imatge, un dels models més freqüents, veurem una trama hexagonal molt clara. Però si mirem amb més atenció observarem que també hi ha algun pentàgon.
Si comptem la quantitat de pentàgons, independentment de la quantitat total d'alvèols hexagonals, veurem que sempre hi ha exactament 12. No ens hauria de sorprendre tant si observem que la pilota de futbol més clàssica (si més no, des del Mundial del 1974) està feta també d'hexàgons i pentàgons. Molts menys. Exactament 20 hexàgons i, no cal dir-ho, 12 pentàgons.
 |
| Animació feta a partir de la construcció feta amb GeoGebra per Guillermo Bautista |
La molècula del Buckminsterful·lerè (C60) és una forma sintètica del carboni que té una molècula amb la mateixa forma que la pilota de futbol. D'aquí que també se'l conegui com a "futbolè". És un cas particular d'un grup de formes moleculars del carboni anomentas ful·lerens. No tots tenen 60 àtoms de carboni. La forma C12 no té hexàgons, és un dodecaedre. La forma C70 té una forma semblant a una pilota de rugbi amb 58 hexàgons i. una altra vegada, 12 pentàgons. La C540 també en té 12.
 |
| Font Viquipèdia |
Als ful·lerens se'ls hi va posar aquest nom en honor de Buckminster Fuller, un arquitecte conegut per ser uns dels primers creadors de cúpules geodèsiques. Les molècules i les pilotes que hem vist fins ara les podem considerar esferes geodèsiques (en el cas del C70 un el·lipsoide geodèsic). Una cúpula seria una semiesfera o un casquet d'aquestes esferes. I què és una esfera geodèsica? Bàsicament, un poliedre que s'inscriu en una esfera. És a dir, que tots els seus vèrtexs formen part d'aquesta. Les cares d'aquests poliedres són, en la majoria de casos, triangulars. Però no tenen per què ser-ho. En tot cas, a moltes de les cúpules geodèsiques podem veure molt clarament grups de sis triangles formant hexàgons i altres grups, no tan abundants, de cinc triangles formant pentàgons. Ens ajuden a atrobar els polígons els vèrtexs on s'hi troben sis arestes i els que n'uneixen cinc. També ara, si tenim tota l'esfera, trobarem 12 vèrtexs de cinc arestes.
Una mena d'esferes geodèsiques naturals les trobem en molts virus. Les seves càpsides tenen, sovint, formes derivades de l'icosaedre i, com ells, 12 vèrtexs de cinc capsòmers.
 |
| Càpside de la familia Tombusviridae (Font Viquipèdia) |
I per què sempre 12 pentàgons o vèrtexs de cinc arestes? La culpa és d'Euler. La resta de l'article la dedicarem a demostrar perquè han de ser forçosament 12, independentment de la quantitat d'hexàgons que hi trobem, i a ampliar una mica la informació sobre la construcció d'esferes, i col·lateralment de cúpules, geodèsiques.
Vols saber-ne més?
El misteri dels 12 pentàgons
Leonhard Euler és autor de la que es coneix com "la fórmula més bella de les matemàtiques: eiπ+1=0. Però una altra fórmula seva que podria estar en el Top5, tot i que no va ser ell qui va arribar a demostrar-la, és la relativa als poliedres simples, entre el quals tenim els convexos:
Cares + Vèrtexs = Arestes +2 (C+V=A+2)
És una relació també bella per la seva simplicitat i per la informació pràctica que ens dona. Si voleu, podeu llegir un parell de demostracions en aquest document. Mirem ara com ens ajuda a resoldre el nostre problema.
- Podem tenir un poliedre fet només d'hexàgons?
Posem, per exemple, que tenim un poliedre fet per h cares hexagonals. La quantitat d'arestes la calcularem multiplicant les cares per 6, però després haurem de dividir per 2 perquè cada aresta uneix dues cares i fent el producte simple hauríem comptat dues vegades cadascuna. Amb els vèrtexs fem un càlcul semblant: hem de multiplicar les cares per 6, però dividir per 3 perquè a cada vèrtex s'uneixen tres cares (o tres arestes, com ho vulguem mirar).
Ara substituïm a la fórmula d'Euler i simplifiquem. Veurem que arribem a un absurd.
Si la igualtat d'Euler no s'acompleix, el poliedre d'aquestes característiques no pot existir.
- I si combinem hexàgons i pentàgons?
Observem dues coses:
- la quantitat de cares pentagonals és fixa: 12
- les cares hexagonals han desaparegut de l'equació. L'àlgebra ens diu que no compten, que és indiferent la quantitat d'hexàgons que tinguem però que sempre hi haurà 12 pentàgons.
- Poliedres amb vèrtexs de 5 i 6 arestes i cares triangulars
Les arestes les podem obtenir a partir del càlcul del total d'aquestes que surten dels vèrtexs: 5V5+6V6. Haurem de fer una petita correcció, dividir per 2, perquè cada aresta l'haurem comptat per als dos vèrtexs que uneixen.
Però les arestes, sabent que les cares són triangulars, també les podíem haver deduït de la quantitat de cares. Això ens permet escriure la quantitat de cares també en funció de les arestes i, després, dels vèrtexs:
Només ens queda aplicar la relació d'Euler i simplificar:
Com abans, la quantitat de vèrtexs de sis arestes és indiferent, però els de cinc en seran dotze.
Misteri resolt!
El disseny d'esferes geodèsiques.
En aquesta segona part de l'article explicarem, pel seu interès col·lateral amb el tema principal plantejat, un dels sistemes de construcció d'esferes geodèsiques, i indirectament de cúpules. És un mètode que podem reproduir perfectament amb GeoGebra.
En general, es parteix d'uns dels cinc sòlids platònics. Habitualment es trien l'icosaedre o el dodecaedre perquè ja són, de bon començament, els que millor s'aproximen a l'esfera. Nosaltres explicarem el procés partint d'un tetraedre. El resultat final no és tan reeixit, però ens serveix igualment per explicar les successives passes de construcció.
- Partim d'un poliedre inscrit en una esfera i amb el centre compartit assenyalat.
- Dividim les arestes d'una de les cares triangulars en parts iguals. Nosaltres ho fem en quatre.
- Dibuixem les línies que uneixen aquestes divisions per a obtenir una trama triangular sobre la cara. Aquest pas ens aporta nous punts de divisió. En el nostre cas tres més.
- Projectem sobre l'esfera aquests punts amb semirectes que surten del centre compartit pel poliedre i l'esfera.
- Unim ordenadament els punts de projecció obtinguts, per obtenir una xarxa de triangles similar a la de partida. Ja tenim els triangles corresponent a una de les cares.
- Repetim el procés amb les altres cares.
En aquest enllaç podeu veure la construcció pas a pas amb GeoGebra
Podreu observar que ara els vèrtexs són de 3 i 6 arestes. De 3 arestes hi ha 4 vèrtexs, els del tetraedre d'origen. Però, adaptant els càlculs que hem fet abans, veuríem que, amb aquesta combinació i sigui quina sigui la quantitat de vèrtexs de 6, només n'hi haurà quatre de 4 arestes. Si partíssim d'un octaedre tindríem 6 vèrtexs de 4 arestes i els que vulguem de 6. Per a l'octaedre, dual de l'icosaedre, també tindríem 12 vèrtexs de 5 i els que vulguem de 6. En el cas de sortir del cub, pel mètode de triangular les cares, obtindrem tres tipus de vèrtexs: els 8 de 6 arestes provinents del cub, i tants com en necessitem de 4 o 8 arestes.
Però, com ja hem dit abans, l'estrella per al disseny d'esferes i cúpules geodèsiques és l'icosaedre. Quan en tinguem una esfera geodèsica construïda així en podrem obtenir una de dual amb cares hexagonals i pentagonals, com la nostra pilota de golf de l'inici. Són els poliedres de Goldberg. En aquest altre l'enllaç a la Viquipèdia (versió anglesa) tindreu no només les imatges de molts d'ells, i de l'esferes geodèsiques associades, sinó també enllaços al web polyHédronisme per veure'ls en 3D.
Quan dissenyem les cúpules o esferes geodèsiques obtenim diferents tipus de triangles. A l'exemple que hem dissenyat nosaltres, basat en el tetraedre, trobarem sis arestes diferents que formen cinc triangles també diferents: quatre d'isòsceles i un d'equilàter.
A la quantitat de parts en què dividim les arestes del poliedre origen se li'n diu "freqüència". El que hem mostrat nosaltres, per explicar com fer el disseny, és de freqüència 4. Com més gran sigui la freqüència més ens aproximarem a la forma esfèrica. De la mateixa manera quan més s'aproximi a l'esfera el poliedre de sortida, també ho farà l'esfera geodèsica resultant. També aquests dos factors afecten a la quantitat de triangles obtinguts i, per tant, a la d'arestes necessàries. Cal tenir-ho en compte si volem construir-ne una. Com a exemple podeu comparar l'esfericitat aconseguida anteriorment partint del tetraedre, amb freqüència 4, amb la que s'obté, amb la mateixa freqüència, sortint d'un octaedre.
Per a fer la construcció material, per exemple d'una cúpula, haurem de calcular les mides de les arestes, és a dir, dels costats dels diferents triangles. Una possibilitat més o menys directa és dissenyar-lo amb GeoGebra, obtenir les mesures a partir del programa i aplicar les escales adequades. Sinó caldrà recórrer a càlculs més laboriosos. Però no és difícil trobar "calculadores de cúpules", encara que la majoria fan els càlculs només partint de l'icosaedre.
Una calculadora senzilla és la del web Desert Domes. Ens calcula les arestes per a freqüències d'1 (el mateix icosaedre) a 6. Només cal proporcionar el radi de la cúpula. Podreu observar que la quantitat d'arestes diferents que s'obtenen depenen directament de la freqüència: una per a l'icosaedre (f1), dues per a la freqüència 2, tres per la freqüència 3 (que no permet fer "mitja esfera"), sis per a la freqüència 4, nou per a la 5 i la 6.
 |
| Desert Domes |
Una altra calculadora més completa la trobem al web Geodesic dome constructor. Podem optar d'inici per un octaedre o un icosaedre i tenim freqüències d'1 a 18. També podem optar per obtenir la cúpula dual, feta amb hexàgons (i quadrats si sortim de l'octaedre o pentàgons, si sortim de l'icosaedre). Podem veure també una representació 3D de la cúpula, eliminar cares per fer portes o finestres...I també ens dibuixa plantilles de les diferents arestes i dona pautes de construcció.
 |
| Geodesic dome constructor Vídeo sobre l'ús de la calculadora |
Com veieu, tot un món per a explorar.
I a l'aula?
- Explorar la relació d'Euler és interessant en sí mateix. Sovint només ens centrem en la descoberta de la relació (que és per on s'hauria de començar) o en la seva comprovació ens diferents poliedres. En aquest cas ens hem centrat en veure com aquesta relació determina les característiques d'alguns poleidres poliedres (no poden haver poliedres fets només amb hexàgons, si els combinen amb pentàgons sempre seran 12, etc.). Per altra banda, deixem una pregunta oberta. Hem vist, gràcies a la relació d'Euler, que determinats poliedres no poden existir, però, ¿podem posar una combinació de cares, arestes i vèrtexs que sí l'acompleixin però el poliedre no es pugui construir? Proposem un repte: construir un poliedre fet de 12 pentàgons i un sol hexàgon.
- Durant l'article s'ha obert tot un camp de connexions a explorar amb més profunditat: poliedres, pilotes, virus, molècules de carboni... Es pot muntar una bona exposició al centre.
- La construcció d'una cúpula geodèsica pot ser molt interessant. A primària ens podem fixar en els patrons de les estructures i fer la construcció a partir de materials donats. I, si es fa el poliedre complet és interessant també per a veure que "el triangle aguanta". Si el fem amb pals amb armelles als extrems i lliguem amb cordills, tota l'estructura es bellugarà durant tot el preocés de construcció, però quan lliguem l'últim pal s'aguantarà sola i és un efecte sorprenent. A secundària, especialment a 4t d'ESO o batxillerat, podem fer un treball més profund incloent el disseny total i el càlcul de les arestes. Tenim bones referències:
- L'article de Débora Pereiro a la revista SUMA: Descubriendo las cúpulas geodésicas con GeoGebra
- Els materials fets amb GeoGebra de la mateixa Débora Pereiro. Completíssims.
- Materials amb GeoGebra de Ramon S Masip Treig. Té construccions que ajuden a deduir com calcular les longituds de les arestes quan partim de l'icosaedre i un vídeo de la construcció real.
- Una altra pregunta: com s'adapta la relació d'Euler a una cúpula geodèsica en què el poliedre no és complet?
- I si algú dubta de l'interès que desperta la construcció de cúpules no cal més que informar-se de l'èxit dels tallers del MMACA de construcció de cúpules de Leonardo, des primària a secundària.
I si voleu saber-ne més...
- Una pàgina web que hem trobat molt clara en l'explicació del disseny d'esferes geodèsiques és la de la Viquipèdia francesa. Cal esmentar que l'article es diu Geodes. És una pena que el nostre diccionari no admeti aquesta accepció més que per a cert tipus de roques. A l'article, entre altres coses, s'expliquen altres formes de dividir les cares triangulars dels polígons de sortida (no comenta sortir del cub ni del dodecaedre).
 |
| La nostra pilota de golf que al web anomena amb el bonic nom de geoda de bresca |
- Un vídeo força bo sobre el disseny d'esferes geodèsiques. Aquí sí que s'inclouen el cub i el dodecaedre.
- I també podeu buscar galeries de fotografies de cúpules de totes les mides i a tot el món. Aquí en teniu una d'exemple: Geodomes
 |
| Cúpula geodèsica del Teatre-Museu Dalí de Figueres |
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada