Combinatòria i geometria musical

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball amb Francina Turon

Les relacions entre música i matemàtiques són múltiples. La construcció de l'escala musical n'és un exemple clar. En aquest article ens centrarem en dos aspectes. El primer abordarà com alguns compositors han jugat amb aspectes combinatoris bàsics. El segon, tractarà sobre com es modifiquen melodies i harmonies amb operacions equivalents als moviments i transformacions, també bàsiques, en el pla (translació, simetria, gir i homotècia).

Dos exemples combinatoris

Podríem dir, simplificant molt, que una melodia és una successió de notes musicals. Segons l'escala que utilitzem (la pentatònica, la diatònica, la cromàtica, etc.), i movent-nos només dins d'una octava, disposarem d'una quantitat de notes determinades (5, 7 o 12 a les que hem citat) i que ordenarem i reordenarem com convingui. El resultat musical ja queda a valoració de cadascun. Evidentment, podem ampliar la tria de notes a més d'una octava i enriquir les nostres melodies. Si parlem d'ordenacions i reordenacions els jocs combinatoris surten de seguida. Volem compartir dos exemples fàcils de comprendre. El primer no té ni notes. És una combinació de palmades i silencis.

La composició Clapping Music (1972) d'Steve Reich és una composició per a dues persones fent palmades. Hi ha ritme base de dotze temps amb 8 palmades i 4 silencis.

Tots dos interpreten junts aquesta seqüència una quantitat determinada de vegades. Habitualment 8. Després un dels músics mantindrà la seqüència, i ho farà durant tota la peça, però l'altra farà una permutació portant el primer so (o silenci) al final i desplaçant tot el conjunt restant a l'esquerra. I així aniran procedint cada vuit repeticions fins a arribar a tocar a l'uníson una altra vegada.

Exemple de les dues primeres permutacions

Podem endevinar que, a la dotzena permutació tornaran a coincidir.

Permutacions completes

Què millor ara que escoltar el resultat:

Un segon exemple purament combinatori és la peça per a piano Tango (1984) de Tom Johnson. Són les 120 combinacions diferents de cinc notes (RE – FA – SOL♯ –LA - SI♭). Tot amb un acompanyament de tango amb la mà esquerra. A continuació teniu un fragment de la partitura en què no es veu l'acompanyament.

Les 24 permutacions del quart temps

Podem ara sentit la peça:

Hem dit que posaríem dos exemples. Però no ens podem estar d'esmentar les combinacions de compassos per a fer minuets tirant uns daus i atribuïda a Mozart: Músicalisches Würfelspiel (Joc de daus musicals). En vam parlar a l'article Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...).

Passem ara a la "geometria".

Transformacions isomètriques

Tenim tres transformacions isomètriques bàsiques que no canvien la forma ni les mesures: la translació, el gir i la simetria. Aquestes seran les primeres que adaptarem a la música.

Deixarem l'explicació amb detall i l'exemplificació de tots els casos per a la 2a part de l'article. Però per obrir boca sobre el tema, mostrarem a què ens referim amb un petit fragment musical. Aplicarem els mateixos moviments a una partitura. Cal dir, especialment respecte a les dues inversions, que ara apliquem una simetria "visual" sobre les notes i la seva posició. Més tard farem una simetria més ajustada, perquè serà tonal.

Ara podem jugar aquestes quatre variants: encadenant-les per ampliar la melodia o superposant-les per donar una mica de riquesa harmònica (encara que per aconseguir-ho "s'ha de saber" i en els exemples no ens hem en sortit gens).

Els grans músics sí que saben fer-ho bé. Veiem exemples?

Translacions

Les translacions musicals poden ser en dues direccions:

• horitzontals, que impliquen repeticions i decalatges en temps diferents.
• verticals, que impliquen canvis de tonalitat.

No cal dir que el compositors combinen totes dues. Comencem ara, però, per les horitzontals. Un cas evident són els "cànons". Una veu o un instrument interpreten una melodia. Abans que acabi tot el fragment, entra una segona veu, o un segon instrument, que la repeteix, amb un calculat decalatge temporal. De vegades, una mica més tard entra una tercera veu i així successivament. Són molt típics en cant coral i en la música barroca. La gràcia està en que la superposició de veus no sembli una olla de grills, soni harmònicament i en saber tancar totes les veus a la vegada harmònicament. Posem un parell d'exemples, un d'ells molt conegut.

• Potser el cànon més famós és la cançó francesa "Frère Jacques".  Però aquí posarem un exemple d'un compositor barroc català, Joan Cererols. Es tracta de la peça breu Et incarnatuts est. Podem veure dos models de partitura. A una hi ha la lectura per a tothom i, numerat, en quin moment comencen les sopranos (S-1), els tenors (T-2) i les contralts (A-3). L'altra partitura té un pentgarama per a cada veu i la fletxa indica el retard: els tenors entre dos temps després de les sopranos i les contralts dos després dels tenors. Hem fet un traç sobre les quatre primeres notes per observar que és la mateixa melodia (té les mateixes pujades i baixades tonals). Cal observar, però, que també hi ha una tranlació vertical (tonal) de la que parlarem a continuació.

En aquest vídeo podeu sentir la peça cantada pel cor Voci Allegre.
Primer fan una volta de la peça a l'unison i després comença el cànon

• el Cànon de Pachelbel (1680) és el segon exemple i el més conegut a nivell instrumental. Entra el baix continu amb una seqüència de vuit notes que anirà repetint i donant la base harmònica a la peça. Dos compassos després entre el primer violí amb una melodia. Dos compassos després el segon violí la repeteix i dos més tard entra un tercer violí. Tres melodies idèntiques però interpretades amb un decalatge temporal i amb un efecte musical magnífic.

Font: Viquipèdia

En aquest vídeo d'Stephen Malinowski tenim una bella visualització del cànon.

Però no només aquestes peces antigues utilitzen el cànon. Al principi de Fuga y misterio (1968), d'Astor Piazzola, sentim com entren el bandoneó, primer, la guitarra elèctrica després i la flauta, finalment, per formar el cànon. De fet, el terme fuga, és el que s'utilitzava en la música barroca pels cànons, ja que sembla que uns instruments fugen dels altres.

Les translacions verticals són tonals, Consisteixen a pujar o baixar la mateixa línia melòdica una quantitat determinada de tons. Si les dues veus interpreten simultàniament es procura que soni harmònicament. Un cas clàssic és apujar dos tons (una tercera) o quatre (una quinta). Si no us quadra el recompte numèric és perquè els músics tenen per costum comptar també la nota de sortida. Tenim un exemple a l'inici d'aquesta cançó, Nongqongqo, interpretada per Tiziana Tosca.

Visualment, a la partitura podrem observar aquesta translació perquè, més o menys, les notes dibuixen una mateixa línia melòdica, encara que a diferents altures. A continuació tenim tres compassos d'un fragment de la 9a simfonia de Beethoven en què veiem dues línies melòdiques diferents. Una la toquen tres instruments i l'altra dos. Cap ho fa a la mateixa altura.

Simetria d'eix vertical

Aquesta simetria, que musicalment es coneix com a retrogradació, produeix una inversió en l'ordre de les notes de la melodia original: la primera serà l'última, la segona la penúltima, etc. Si no hi ha canvi tonal (translació vertical) la línia melòdica es veu a la partitura perfectament simètrica i a la mateixa altura. Un exemple pot ser l'inici de la cançó I Got Rhythm (1930) de George Gershwin. La impressió sonora obtinguda ve a ser com una "anada i tornada". En aquest cas el que és ascendent a la primera part, es torna descendent, a la segona.

Hi ha exemples extrems. El Rondeau 14 de Guillaume de Machaut (segle XIV) es titula Ma fin est mon commencement et mon commencement ma fin. Una de les veus canta la partitura d'esquerra a dreta i l'altra de dreta a esquerra... i es van intercanviant. Johann Sebastian Bach, el 1747, va escriure l'obra més coneguda amb aquesta forma perfectament palindròmica: el Cànon del cranc. Al vídeo següent, una joia de Jos Leys, podem veure no només il·lustrada la forma de composició simètrica, sinó que el relaciona amb una Cinta de Möbius.

Simetria d'eix vertical

Amb aquesta simetria tenim dos problemes. El primer és que hem de decidir a quina altura posem l'eix. Si el volem posem al mig de la partitura haurà de ser a la 3a línia del pentagrama (on va la nota Si quan tenim la partitura en clau de Sol). Però no té per què posar-se allà. Però el segon problema ve amb la visualització. Entrem en aquesta qüestió.

Imaginem el teclat d'un piano. Si marquem l'eix de simetria a la tecla del Re, tenim una simetria clara, tant de tons com de color de tecles.

La simètrica de La és Sol i la de Fa# és Si♭

Recordem ara que entre dues tecles seguides del piano hi ha una diferència d'un semitò. De blanca a negra adjacents, o a la inversa, és d'un semitò. Però entre dues blanques seguides, sense negra que les separi també hi ha un semitò. Passa entre Mi i Fa i entre Si i Do. Entre les altres blanques, amb negra al mig, hi ha un to sencer. Si ara posem l'eix de simetria en la nota Si, la simetria tonal la podem trobar fàcilment comptant notes, però es perd la correspondència de tecles blanques i negres: la simètrica d'una blanca pot ser una negra o al revés.

La simètrica de La és Do# (dues tecles de distància a l'eix). La de Fa# és Mi (cinc tecles de distància)

Podem veure en aquesta imatge la simetria de l'escala cromàtica (de 12 notes) posant l'eix al Si.

Aquesta simetria visual completa es perd també a les partitures a causa del sistema d'anotació. De vegades es puja o es baixa un esglaó, a la partitura, canviant un pas l'altura de la nota: si està posada sobre una línia la posem ara entre dues línies. Però de vegades aquest canvi correspon a un to i d'altres, com per exemple entre Mi i Fa, a només un semitò. I d'altres canviem un semitò mantenint l'altura i posant a la nota un símbol (# o ♭). Així la simetria de l'esquema anterior a la partitura es veu així:

La simetria tonal és perfecta. La visual no, només ho és de forma proximada

El segon moviment de les Variacions per a piano Op. 27 (1936) d'Anton Webern juga amb aquest efecte mirall, posant l'eix a la nota La de 4a octava. Podem intuir a la partitura el joc simètric de les dues mans del piano, encara que amb un mínim decalatge temporal. Visualmentn no és simètric del tot perquè hi ha un constant canvi de clau entre la partitura de cada mà (entre la clau de Sol i la de Fa), però podem percebre bé les equidistàncies entre les notes de cada mà.

La simetria és molt més clara en aquest vídeo d'Stephen Malinowski.

Gir de 180° (Doble simetria)

Si a la melodia original li apliquem una simetria vertical i, a continuació, una horitzontal, o la inversa, el resultat és equivalent a fer un gir de 180°. Musicalment, es diu que fem una inversió i una retrogradació. Podem veure un exemple a la part final d'aquest fragment de la Samba de uma nota só amb música d'Antonio Carlos Jobim. La cançó té una llarga introducció feta amb només dues notes, la qual cosa fa que el fragment del gir musical, quan arriba, tingui una gran vivacitat. Es pot observar també que, a la repetició, hi ha una translació vertical abaixant un to.

Trobem, com abans,  un cas extrem d'inversió gràcies a un altre geni de la música: Wolfgang Amadeus Mozart. Si més no, se li atrubuiex l'autoria: el duet per a dos instruments Der spiegel (El mirall). Per a interpretar-la els dos músics posen la partitura a una taula i un violinista a cada costat. Cadascun veu una versió girada del que veu l'altre i la interpreten a la vegada. Si observem la partitura veurem que cada costat de les línies del pentagrama hi ha una clau de Sol, una d'elles invertida.

Podem valorar el resultat escoltant la peça.

Homotècies (escalats)

Amb aquest tipus de transformació no entrarem al detall. N'hi ha de dos tipus: en horitzontal (amb el temps) i en vertical (amb els intervals de la tonalitat). Us posem un exemple del primer tipus. En un cas doblem la durada de les notes (augmentació) i en l'altre els reduïm a la meitat (disminució).

I ara, juguem amb tot.

El contrapunt és una tècnica compositiva que juga amb totes aquestes combinacions. A l'època barroca eren uns mestres. I un dels més grans va ser Bach. Entre els molts exemples que podríem trobar tenim l'obra Invenció I (BWV 772). La peça es basa en un "motiu" i un "contramotiu", que dona resposta al motiu. El motiu principal, de vegades, el podem dividir en dos fragments diferents (a i b). Amb aquests pocs elements es construeix tota la peça: fent translacions verticals i horitzontals, reflexions horitzontals, i augmentacions. En aquest vídeo podeu veure una anàlisi de l'obra (tot i que no comenta les translacions verticals, les transposicions de to). Veureu amb quins pocs elements Bach va compondre aquesta peça per a piano de dos minuts i mig de durada.

En temps més moderns, a l'obra per a coral The lamb (1982) de John Tavener es juga amb els mateixos mecanismes. Fins i tot, molt a l'inici de la peça hi ha dos compassos que entre dues veus tenen el motiu original i les seves tres reflexions. En aquest vídeo sentirem primer els primers nou compassos de The lamb i, a continuació, veureu l'anàlisi "geomètric" sobre la partitura.

Dodecafonisme

L'apartat anterior l'hem titulat "I ara, juguem amb tot". Però ens hem deixat una part del joc: la combinatòria. I aquí entra la música dodecafònica. El pare d'aquesta tècnica compositiva va ser Arnold Schönberg l'any 1923. Aquesta música defensa l'atonalitat: totes les notes de l'escala cromàtica tenen la mateixa importància. Les regles de composició, a grans trets, són les següents:

• es fa una seqüència de 12 notes de l'escala cromàtica agafant-ne una cada vegada, sense repetició.
• es fan els seus motius simètrics: retrògrad, invertit i retrògrad invertit.
• podem utilitzar 12 transposicions (translacions verticals tonals)
• s'utilitzen aquests motius amb altres tècniques compositives (contrapunt, utilització d'acords, etc.)

Podem veure un exemple amb aquest petit programa que crea una seqüència aleatòria i fa les tres reflexions estudiades. A continuació sonaran seguides. El resultat no serà gaire bonic melòdicament. Però no és l'objectiu de la música atonal. Per altra banda; això serien només els primers maons de la composició.

La primera obra considerada plenament dodecafònica és la Suite per a piano op. 25 d'Schönberg. A la peça s'utilitzen vuit "versions" de la sèrie: l'original i set més obtingudes de simetries i transports.

La peça consta de sis moviments. A continuació teniu el sisè: la Giga.

I a l'aula?

Aquest article és més divulgatiu que pròpiament didàctic. Per tant... deixeu volar la vostra imaginació. En tot cas són uns continguts per a treballar conjuntament amb l'àrea de música. Unes poques consideracions:

• si volem fer que l'alumnat escrigui la seva pròpia música amb una partitura de poques notes i que experimentin amb la retrogradació (simetria d'eix vertical) no hi haurà problema, però quan es fa una inversió (simetria d'eix horitzontal o gir de 180°) hem de decidir si juguem amb la simetria purament visual (la que es veu a la partitura) o la tonal. Per treballar la tonal potser és millor fer-ho amb un teclat, per exemple, i comptar distàncies des de la nota que agafem com a eix. Si agafem com a eix un "Re" podrem, per exemple, jugar només amb les tecles blanques, les set de l'escala diatònica.
• tenim un problema semblant amb les transposicions (translacions verticals). Aquí la guitarra ajuda, perquè fer translacions és tan fàcil com posar una celleta.
• hi ha un càlcul que no hem fet voluntàriament: el relacionat amb sistema dodecafònic, que juga amb una seqüència de 12 notes diferents ordenables de qualsevol manera, amb quatre versions de la seqüència (l'original i les tres que s'obtenen per simetries) i amb 12 transposicions possibles. Quantes sèries originals diferents podem fer? (Penseu que tindrem casos repetits).
• hi ha molt material i moltes direccions per a poder ampliar aquest estudi. No només buscant altres exemples. Hi ha altres músics, que a la vegada eren matemàtics, que van continuar les idees de Schönberg. Per exemple Pierre Boulez o Iannis Xenakis. Aquest últim va introduir qüestions de probabilitat en la composició musical. Pot ser un bon treball de recerca de batxillerat.
• i també podem complementar el joc amb la creació de treballs plàstics. Un dels músics que hem comentat abans, Tom Johnson, té molta obra artística establint ponts entre música, pintura i matemàtiques. Fins i tot, hi ha músics que després han fet adaptacions interpretatives musicalment, d'algunes de les seves obres plàstiques. Un exemple per a orquestra pot ser Symmetries Un altre exemple el tenim amb Automatic music for six percussion: Symmetry (1997).

En aquest enllaç podeu sentir la interpretació

Una altra obra de Tom Johnson

Podeu trobar molta informació sobre aquest músic, però un article molt interessant sobre la seva obra és Sucesiones fractales: del número a la nota musical de Raúl Ibáñez. I, si us animeu i teniu paciència, podeu escoltar les 49 peces composades per a piano a quatre mans que tornen a tenir el títol Symmetries. Només una passa lleugerament del minut.