En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.
Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:
"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"
Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.
 |
| GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC |
Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:
- Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
- Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
- Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.
Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos sí que és investigable a l'ESO.
A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.
Continuem?
En la nostra proposta eliminarem a tothom, fins que quedi una sola persona i voldrem saber, d'antuvi,en quin lloc s'ha de col·locar. Podem proposar el problema com una "rifa pseudo-aleatòria". Una possible presentació és:
"Tenim un regal per a rifar entre un grup d'n persones. La rifa la farem de la següent manera: posarem a tothom en rotllana i, des d'una de les persones del grup que haurem triat com a primera, començarem a comptar de dos en dos i en un sentit prefixat (horari o antihorari). A qui li toqui el "dos" haurà de sortir del grup i continuarem comptant i procedint de la mateixa manera a partir del següent. I així, fins que quedi una persona que serà la guanyadora de la rifa." (Nota: sempre diem "1" assenyalant a la persona des de la que es comença a comptar).
El cas n=2
Com en moltes investigacions cal anar provant cas a cas i recollint els resultats en una taula que ens ajudi a buscar patrons.
- n=1
- n=2
També fàcil: li torna a tocar la rifa al primer.
- n=3
En aquest cas el sorteig el guanya 3l tercer.
- n=4
Tona a guanyar el primer.
- n=5
La rifa és pel tercer.
- Fem una taula
Potser és el moment de fer una taula que reculli els casos següents i els anteriors.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Guanyador | 1 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 7 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
- Observacions a la taula
- La primera observació és que mai guanyen els nombres parells. Lògic: a la primera ronda queden tots eliminats.
- Sembla que hi ha un cicle de grups de senars ordenats creixents: 1, 1-3, 1-3-5, 1-3-5-7, etc.
- Els uns apareixen quan la quantitat de participants és una potència de dos.
- Busquem una manera de saber qui guanyarà
- Si la quantitat de participants és una potència de 2 guanyarà el primer.
- Si excedeix en 1 d'una potència de 2 guanyarà el 3r.
- Si excedeix en 2 d'una potència de 2 guanyarà el 5è.
- Si excedeix en 3 d'una potència de 2 guanyarà el 7è.
Per tant, per un nombre n qualsevol hem de procedir així:
- Calculem la potència de 2 més per propera per defecte. Posem que sigui 2a.
- Trobem l'excés (r) de la quantitat de participants r = n-2a.
- El lloc es calcula trobant el senar corresponent de la sèrie que s'ha iniciat en la potència de dos: 2r+1.
Mirem un exemple: qui guanyarà si participen 43 persones?
- 43>32 (25)
- 43-32=11
- 2·11+1=23
Primer intent d'ampliació del problema: els casos k=3, k=4, k=5... Uf!
Si fem una taula fent que el salt sigui k=3 veurem que les regularitats són més estranyes
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| k=3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 4 | 7 | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 2 | 5 |
Apareixen "canvis de cicle" que comencen per 1 o 2, sense veure's una regla clara d'on i per què, i després del canvi de cicle es progressa comptant de 3 en 3.
Amb k=4 tampoc es veuen pautes clares: inicis irregulars de cicle amb uns i dosos i avançant de 5 en 5.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| k=4 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 5 | 2 | 6 | 1 | 5 | 9 | 1 | 5 | 9 | 13 |
Podem preveure que per a k=5 ens trobarem amb un panorama semblant:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| k=5 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 6 | 3 | 8 | 3 | 8 | 1 | 6 | 11 | 1 |
Ara els canvis de cicle podem començar també per 3... Un embolic.
Si us animeu a investigar us enllacem una taula que van d'n=1 a n=100 per valors de k de 2 a 7. I, perquè pugueu veure la dificultat del problema us enllacem també l'article Sobre el problema de Flavio Josefo de Víctor Arnaiz, Pedro Ángel Castillejo i Álvaro González.
Segon intent d'ampliació del problema: tornem a k=2 i busquem altres supervivents
Quan a la introducció fèiem la caracterització general del problema, dèiem que en la majoria de plantejaments se salvaven una, dues o un subgrup que acostuma a ser de la meitat del total. Ho veurem després als exemples històrics.
En el cas k=2 hem trobat una manera d'identificar el lloc de l'última persona. Podem trobar un mètode semblant per a identificar la penúltima? I la penúltima?. Treballem una mica i busquem uns quants casos ordenadament i, com abans, fixem-nos en els uns.
| n | Últim | Penúltim | Antepenúltim |
| 3 | 3 | 1 | 2 |
| 4 | 1 | 3 | 4 |
| 5 | 3 | 5 | 1 |
| 6 | 5 | 1 | 3 |
| 7 | 7 | 3 | 5 |
| 8 | 1 | 5 | 7 |
| 9 | 3 | 7 | 9 |
| 10 | 5 | 9 | 1 |
| 11 | 7 | 11 | 3 |
| 12 | 9 | 1 | 5 |
| 13 | 11 | 3 | 7 |
| 14 | 13 | 5 | 9 |
| 15 | 15 | 7 | 11 |
| 16 | 1 | 9 | 13 |
| 17 | 3 | 11 | 15 |
| 18 | 5 | 13 | 17 |
| 19 | 7 | 15 | 19 |
| 20 | 9 | 17 | 1 |
| 21 | 11 | 19 | 3 |
| 22 | 13 | 21 | 5 |
| 23 | 15 | 23 | 7 |
| 24 | 17 | 1 | 9 |
| 25 | 19 | 3 | 11 |
| 26 | 21 | 5 | 13 |
| 27 | 23 | 7 | 15 |
| 28 | 25 | 9 | 17 |
| 29 | 27 | 11 | 19 |
| 30 | 29 | 13 | 21 |
Mirem el cas del penúltim. On tenim els "uns"? (ampliem els casos de la taula anterior recursivament, perquè la pauta és "endevinable")
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192...
Busquem una pauta? 3·1=3, 3·2=6, 3·4=12, 3·8=24, 3·16=96... Són els triples de les potències de 2. Per tant, per saber on està els "uns" hem de buscar nombres de la forma 3·2a. Per saber qui serà un "penúltim" per a n elements haurem de buscar on és l'"u" més proper i calcular el senar corresponent, Mirem un procediment possible per a un n qualsevol i exemplifiquem amb un cas que coneguem per a comprovar: 19.
| Pas | Acció | Exemple |
| 1 | Trobem la part entera d'n/3 | 19/3≈6 |
| 4 | Busquem la potència de 2 més propera | 6 → 4 (22) |
| 5 | Multipliquem la potència per 3 (trobem l'"u") | 3·4 = 12 |
| 6 | Restem a n el nombre trobat abans | 19-12 = 7 (a) |
| 7 | Calculem el senar corresponent al nombre anterior 2a+1 | 2·7+1=15 |
No és difícil adaptar el procediment per a saber l'antepenúltim. Observem on són els "uns" (també allargant la llista recursivament:
5, 10, 20, 40, 80, 160...
No ens hi posarem ara a fer-ho. En tot cas sembla que segons el lloc (últim, penúltim, antepenúltim...) juguen en cada cas nombres senars, potències de dos... I cal tenir en compte que a la primera volta s'eliminen els llocs parells, que no funcionen amb el mètode que hem explicat.
Us enllacem un programa, fet amb Scratch, al que li podem demanar quina posició correspon a un ordre d'eliminació concret per a una quantitat n qualsevol. Si n és 17 i voleu saber l'últim haurem de preguntar el 17è lloc, si voleu saber l'anterior, el 16è, etc.
Aquest altre applet, basat en l'anterior, dona l'ordre d'eliminació de principi a final.
Origen del problema i exemples del segle XVI
Un possible primer origen el podem trobar en la delmació (decimatio) romana: un càstig de les legions romanes en què, per diferents raons (motí, covardia en la batalla...), es matava, aleatòriament, un de cada deu legionaris. Està documentada des del segle V a.n.e. Més tard es va aplicar el càstig a un de cada vint o a un de cada cent. Suposem que, més que bondat, és que no es volin quedar sense soldats
Un segon origen, i és que li dona el nom al problema, és una narració de Flavi Josep, un historiador romà del segle I que, al seu llibre més conegut, De bello judaico (La guerra jueva), explica una història ben curiosa. Podeu trobar el capítol sencer en aquest enllaç, però, bàsicament, el que s'explica és el següent: Josephus (nom que se li dona en algunes traduccions) era un soldat jueu que, amb 40 soldats més, van quedar atrapats a una cova assetjada per l'exèrcit romà. Els jueus van decidir suïcidar-se, però Josephus, que no ho volia fer, no els va poder convèncer del contrari. En tot cas, els va fer observar que el suïcidi era contrari a la llei de Déu. Llavors els hi va proposar una mena de sorteig per anar-se matant els uns als altres i només fos l'últim el que se suïcidés.
"Ja que es resol entre nosaltres que morirem, anem, encomanem les nostres mútues morts a la determinació per sorts. Aquell a qui l'atzar caigui primer, que sigui degollat per qui rebi el segon atzar, i per tant la fortuna farà el seu progrés a través de tots nosaltres, i cap de nosaltres serà assassinat per les pròpies mans, perquè no seria just si, quan la resta hagi mort, algú se'n penedís i se salvés"
No sabem com es van sortejar les morts, però sí que el resultat final va ser que només van quedar Josephus i un altre soldat i que van decidir no matar-se entre ells.
 |
| Flavi Josep |
En forma de problema apareix a alguns textos dels segle XVII i XVII. El primer que va relacionar el text de Flavi Josep amb el problema va ser Girolamo Cardano al llibre Practica arithmetice et mensurandi singularis (1539) a un problema titula Ludus Iosephi. L'aparició més antiga del problema, però, és del segle X al Codex Einsidelensis 362. No escriurem els enunciats, però en alguns casos descriurem el context, la quantitat de persones, el salt i l'objectiu:
- Al segle XV, a l'Aritmetica de Filippo Calandri trobem una versió curiosa i que serà recurrent en molts altres títols. A un vaixell amb 15 monjos i 15 frares s'han de tirar al mar la meitat per alleugerir el pes del vaixell durant una tempesta. Eliminant comptant de 9 en 9 se salven els frares. Luca Pacioli, a més de la que hem presentat inicialment, té una altra versió del problema, similar a aquesta, amb mercaders jueus i cristians (imaginem qui se salvarà). I dona una regla mnemotècnica d'on col·locar cristians i jueus: "Populea virga mater regina resserra" (La vara del poble la reina mare va veure). Cal mirar les vocals de cada síl·laba: "Po", 4a vocal, 4 cristians, "pu", 5a vocal, 5 jueus, etc. També Tartaglia va incloure la mateixa versió del problema, i una regla mnemotècnica semblant, al seu Trattato di numeri et misure.
- Un altre llibre clàssic important en què apareix aquesta mateixa versió és als Problèmes plaisants & Délectables qui se font par les nombres de Claude Gaspar Bachet de Méziriac. Concretament és el problema 23. Al prefaci del llibre relaciona aquest problema amb la història explicada per Flavi Josep. I, el més curiós, que utilitza aquesta història per a justificar que el llibre, encara que sigui de recreacions, pot ser ben útil. Diu: "Finalment, per demostrar encara més que aquest llibre no és gens inútil, i que el coneixement d'aquests problemes pot ser de gran utilitat en alguna ocasió, només vull fer servir el testimoni d'Hegesippus en el tercer llibre de la presa de Jerusalem...". A l'edició comentada per A. Labosne es dona una altra regla mneomtècnica, amb els mateix sistema de vocals, i que podeu comparar amb l'anterior: "Mort, tu ne falliras pas en me livrant le trépas" (Mort, no fallaràs lliurant-me a la mort). Als comentaris es recupera la història original de prefaci, amb 41 soldats (Josephus i els 40 que l'acompanyaven) i imaginat que es comptava de tres en tres. És l'exemple que il·lustra l'article de la Viquipèdia relacionat amb aquest problema.
- Juan Pérez de Moya inclou dues versions del problema a la seva Arithmetica practica y speculativa (1562). A la primera són nou caminants i un negre (sic) que estan a una posada amb només nou llits. Ho rifen posant-se en cercle i comptant de 7 en 7. Al que li toca pot agafar un llit. Evidentment, ja sabem qui es queda sense llit. Inclou un dibuix amb la representació del problema.
La segona és similar a l'anterior dels monjos però amb 15 cavalls del Rei de Tremissen i 15 d'un capità cristià. - A l'Arithmetica practica de Jerónimo Cortés hi ha una altra versió que, encara que sembla més políticament correcta, no deixa de donar la clàssica imatge de la "dona múrria". Els transcrivim sense actualització ortogràfica.
"En cierto combite se hallaron 15 casados con sus mugeres; de suerte que entre todos eran 30 , y sentados a la mesa, y no aviedo quien sirviese dizen los maridos a sus mugeres que se levanten a servirles,y que ellos despues las servirian; respondieron las mugeres que por entonces y en tal ocasion fuessen ellos los primeros en servir pues ellas todo el año,y aun toda la vida, eran las primeras y postreras en servirles : no les contento a los maridosla respuesta de sus mugeres. Entonces replica una dellas, diziendo que se sentasen todos ellos y ellas, y que contando de uno ha da ocho (comenzando del cabo de la meza) al que viniere a parar el ocho fucese hombre, o muger,que se levantasse a servir. Todos fueron contentos deste concierto; y la buena muger que hizo el concierto, los fsupo assentar de tal manera, y sin ninguno darle acato,que comenzando a contar del primero que estava al cabode la mesa, el ocho siempre vino a parar a los hombres, y asi por lo concertado se huvieron de levantar a servir los maridos a sus mugeros.Pregunto, que orden tuvo la sobredicha muger en hazer sentar los hombres y la mugeres."
Curiosament, dona la solució amb una anotació que recorda visualment un sistema binari, on les "o" representen els homes i les ratlles les dones.
- Muramatsu Shigekiyo, matemàtic japonès, el 1660, presenta el problema amb un home que vol deixar els seus bens a només un dels seus trenta filles. En té quinze d'una dona i quinze d'un altre. Els eliminaran comptant de 10 en 10. Una de les dones va organitzar els fills de forma que primer es van eliminar 14 dels seus. Llavors proposa invertir l'ordre de recompte i que sigui triat el seu fill.
Una mica de màgia
El mateix principi del problema de Josephus s'aplica en alguns trucs de màgia. El més conegut és el de la Mescla australiana. La trobem comentada al web Màgia y matemáticas de Sergio Belmonte. El truc més clàssic es fa amb una pila d'entre 8 i 15 cartes. Sovint es fa dividir la baralla en cinc grups de cartes més o menys iguals per aconsegur-ho. Després es fa "la màgia" tal com veiem en aquest vídeo.
Us deixem investigar com és que la carta va a parar a la posició adequada perquè sigui la triada finalment.
I a l'aula?
- El problema es pot fer a l'ESO. Convindria representar algun cas per assegurar que el problema s'entén. Hi ha molts centres on és un dels problemes que treballen amb la metodologia "Aules per a pensar" (Thinking classroom). Però comptant sempre de 2 en 2, com els casos que hem estudiat. Aquest comptar de dos en dos sovint es transforma en "eliminar al del costat". També al final de la investigació, per comprovar-la es pot fer amb una rotllana formada per tota la classe.
- Podeu trobar un exemple per portar a l'aula en la versió "El guerrer de Siurana: transformant un problema en una llegenda local", un taller fet per Marta Ruiz a les jornades de l'APMCM del 2023.
- Argumentar per què, en el cas de les potències de 2, se salva el primer no és fàcil, però tampoc especialment complicat. Cal observar que a la primera ronda és com si comptessin d'un en un, a la segona de dos en dos, a la tercera de quatre en quatre... Es pot intentar que l'alumnat ho observi i argumenti.
- Amb k > 2, podria ser un bon treball de recerca.
- Pensem que és interessant comentar alguns dels exemples històrics i discutir els contextos.
- És un bon problema de programació. Des de fer un programa que faci el recompte, fer altres com els mostrats a l'article o d'altres diferents; per exemple que treguin seqüències de finals per a k diferents. Aquí teniu un exemple que diu l'últim supervivent en grups des d'un a cent elements.
Addenda: un vídeo de Numberphile i un altre de Derivando
Després de publicar l'article he rebut alguns comentaris. La majoria esmenten el vídeo de Numberphile que, tot i que coneixia no em vaig animar a posar-lo. Però en Raül Fernández (@raulf) m'ha fet recordar que hi ha, al minut 13, un mètode de buscar la solució en sistema binari molt curiosa i que paga la pena conèixer.
Aquest vídeo, del canal "Derivando" de Eduardo Sáenz de Cabezón, me l'ha recomanat Alfredo Gordillo (@alfgoralo). Pot ser també útil a l'aula per ser més curt i estar en castellà.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada