La tauleta babilònica IM 67118: geometria, àlgebra i una mica de "pensament computacional"

L'objectiu d'aquest article és donar a conéixer un problema de geometria que apareix a la tauleta babilònica IM 6178. Aquesta tauleta es conserva al Museu Nacional d'Iraq de Bagdad i es va trobar al jaciment de Tell edh-Dhiba'i . Se li calculen uns de 3800 anys d'antiguitat.

Imatge de l'anvers de la tauleta (Font: Viquipèdia)

El problema que es planteja i resol és el següent:

Trobar la longitud i l'amplada d'un rectangle donades la seva àrea (0,75) i la diagonal (1,25).

No cal dir que la redacció original no és estrictament així, ni que les mesures, a la tauleta original, estan donades en numeració sexagesimal. 

Al revers de la tauleta (on continua el text de l'anvers) hi ha un esquema del problema amb les dades.

Revers de la tauleta i esquema ampliat

Un aspecte que dona què pensar és la semblança d'estil i contingut amb molts dels problemes que apareixen tradicionalment als llibres de text actuals. Podríem obrir tot un debat sobre aquesta qüestió. Però també ens podem demanar per què pot ser interessant treballar aquest problema a l'aula. Entre d'altres, hi ha tres raons a considerar:

• perquè ens permet treballar aspectes d'història de les matemàtiques: quina mena de problemes es plantejaven a l'antiga Mesopotàmia? Com els resolien? Quines matemàtiques es coneixien? Com les representaven? Com les explicaven?...
• perquè la resolució actual i la babilònica són força diferents i ens permetrà fer descobertes i connexions riques entre àlgebra i geometria. Fins i tot, descobrir aspectes sorprenents en una reinterpretació geomètrica de les expressions (a+b)² i  (a-b)².
• perquè si entenem que l'últim convidat curricular, el pensament computacional, està directament relacionat, en un sentit general, amb l'algorítmia, podem fer un estudi interpretatiu, des d'aquest enfocament, de l'algoritme de resolució proposat a la tauleta.

Però tornem ara al problema. Mirem primer la resolució moderna.

• Resolució amb un sistema d'equacions

No és molt difícil de plantejar: una primera equació que relacionarà la diagonal amb els costats, emprant el teorema de Pitàgores, i una segona equació a partir del càlcul de l'àrea.

• El mètode babilònic

El text original de la tauleta el podeu trobar en aquest enllaç a la Viquipèdia. Aquí seguirem la trducció més alleugerida que apareix al llibre La cresta del pavo real de G. Gheverghese. A la següent taula tenim les instruccions que s'hi donen, pas a pas, amb els càlculs associats en el nostre sistema decimal.

Tant a les tauletes mesopotàmiques com als papirs egipcis, s'acostumen a plantejar els problemes i, a continuació, s'expliquen, sense cap mena de justificació, les passes per a resoldre'ls. Si prescindim de les dades concretes que se'ns donen, el que ens proporcionen és un algoritme per a resoldre altres problemes idèntics. Només haurem de canviar les dades d'entrada i seguir les mateixes indicacions operatives. Però una cosa que podem començar a intuir, només mirant la taula, és que l'algoritme de resolució de la tauleta no sembla tenir una relació molt directa amb les passes de resolució del nostre sistema d'equacions anterior. Què feien i per què?

T'animes a analitzar l'algoritme de la taulera IM 67118?

Per a ajudar a la interpretació sobre què pot amagar l'algoritme, és millor que treballem algebraicament, perquè les relacions entre els nombres es podran veure més clares. Podem fer una taula, semblant a l'anterior, on es presentin els càlculs explicats. Cal advertir que en el pas 8 hem fet una simplificació que no està indicada en l'algoritme, però és un pas que ens ajudarà a observar una relació que, sense simplificar, quedaria amagada.

Una de les primeres coses que podem percebre és que la solució té poc a veure amb la resolució del sistema d'equacions "modern" que hem plantejat nosaltres al principi. Per tant, la solució babilònica va per un altre camí ben diferent. I aquí hi trobarem una gran sorpresa. Intentarem veure què signifiquen les expressions d²+2A i d²-2A que tant de pes semblen tenir en el mètode proposar a la tauleta IM 67118.

Un dels aspectes que s'ha de treballar a l'aula, respecte a l'àlgebra, és la interpretació de les relacions que mostren les expressions algebraiques. I, si és possible, a connectar-les. Mirem el quadrat del binomi a+b, des de dos angles geomètrics diferents. El primer és el més clàssic.

Però el segon, molt menys conegut, sembla que ja devia formar part dels sabers babilònics.

És a dir, el quadrat de la suma dels dos costats d'un rectangle és igual a la suma del quadrat de la seva diagonal més el doble de la seva àrea. D'una manera semblant podem deduir que (a-b)²=d²-2A. Sabent això podem deduir que en el pas 4 de l'algoritme es calcula la suma dels dos costats del rectangle directament, a partir de les mesures de la diagonal i de l'àrea. I al pas 8 la meitat de la seva diferència. A la imatge es mostra el càlcul per a obtenir la diferència, no la seva meitat.

Les passes 9 i 10 són el remat final: què obtenim si sumem la suma i la diferència de dos nombres? El doble d'un d'ells. I si les restem? El doble de l'altre nombre! Amb unes divisions per 2 ja tenim les solucions buscades.

Una meravella de resolució plena de sorpreses i que queden desvetllades per la interpretació d'expressions algebraiques i connexions entre elles i aspectes geomètrics.

Hi ha una altra forma geomètrica de visualitzar el parell de relacions  (a-b)²=d²-2A i  (a+b)²=d²+2A.

És plausible, encara que no estigui documentat de forma directa, que a l'antiga Mesopotàmia coneguessin

• I a l'aula?

Tornem als tres aspectes plantejats a la primera part de l'article.

• L'aspecte històric. No entrarem en remarcar les grans "virtuts" de treballar aspectes d'història de les matemàtiques a l'aula. Algunes d'elles són força evidents: veure la matemàtica com una ciència en evolució, proporcionar un context ric per a la resolució de problemes i ser font de connexions, etc. Concretament, en aquest problema, és important destacar la forma de "representació del problema": retòrica. El llenguatge algebraic, tal com l'entenem ara, té pocs segles d'existència. El que actualment representaríem amb una fórmula, a l'antiguitat es donava com una cadena d'instruccions de càlcul on, en comptes d'utilitzar lletres per a representar les variables, es donaven uns valors d'exemple, que nosaltres podríem canviar posteriorment. I les possibles justificacions les obtindrem d'una mena d'àlgebra geomètrica, poc documentada en el cas de mesopotàmia o Egipte, però profusament constatada en les matemàtiques gregues, àrabs o xineses.
• L'aspecte matemàtic. De tot l'engranatge matemàtic emprat cal destacar-ne un, també relacionat amb l'àlgebra. Sovint treballem la traducció algebraica en un sentit: expressar una sèrie de càlculs en una mena de fórmula, que després manipularem més o menys, per a simplificar-la, segons ho permeti aquesta. Es treballa una mica menys la "traducció inversa", és a dir, explicar retòricament (de forma oral o escrita), quins càlculs ens demana una expressió algebraica o inferir, i explicar també, quines relacions existeixen entre les variables que hi apareixen. Molt menys encara es treballa el "reconeixement" d'expressions: la connexió d'expressions "noves" amb "expressions "ja conegudes". En uns articles anteriors ja vam estudiar un problema sobra àrees de trapezis on, sorprenentment, apareixia el Teorema de Pitàgores i que només el vèiem a la fórmula final, ja que no s'havia utilitzat directament en cap moment. Aquí ens passa una cosa semblant: el problema ens convida a mirar d'una altra manera el desenvolupament del quadrat del binomi i a reconèixer en ell uns aspectes geomètrics que, molt probablement, mai havíem observat.
• La relació amb el treball computacional. Aquí cal estendre's una mica més. Hi ha molta discussió, i més des de la seva inclusió al currículum, sobre què significa "pensament computacional". Hi ha dos extrems clars, aquells pels què el pensament computacional és pràcticament qualsevol cosa i aquells que només ho és allò que està orientat a la programació. Entre aquestes dues posicions podem trobar una altra, segurament més assenyada, en la que aquest tipus de pensament està relacionat, més o menys fortament, amb l'algorítmia, sense necessitat d'entendre aquest terme d'una forma estricta. Podem concretar una mica més si analitzem una definició del terme "algoritme". Per exemple, podem agafar la del llibre Histoire d’algorithmes (coordinat per Jean-Luc Chabert):

  "Un algoritme es defineix com un conjunt finit i organitzat d’instruccions que ha de donar resposta a un problema."

  

  De la definició, entenem que l'algorítmia (i, per tant, el pensament computacional) està íntimament lligada a la resolució de problemes. I que, d'alguna manera, l'algoritme ens explica què hem de fer per a resoldre'l. Si davant d'un problema tenim un algoritme que el soluciona, no tenim problema. Només l'hem d'aplicar, encara que no entenguem què estem fent. Això sí, l'algoritme ha d'estar clarament explicat i no hem de tenir dubtes del que hem de fer a cada pas. Però a l'aula hem d'aspirar a alguna cosa més que a aquesta aplicació cega dels algoritmes. De fet, a l'aula s'haurien de treballar tres aspectes clau de nivells diferents:

  • Saber aplicar l'algoritme relatiu a un problema concret.
  • Saber interpretar un algoritme, saber explicar per què funciona. És a dir, investigar cap a on ens condueix el conjunt de passes que el formen i per què les fem.
  • Saber construir el mètode per a resoldre un problema determinat i descriure les passes del mètode de forma clara.

No cal arribar, a l'últim pas, a escriure un algoritme, en llenguatge de programació o no, sinó, semzillament, trobar la manera d'explicar a una altra persona què ha de fer per resoldre una qüestió determinada. Explicar un mètode, una recepta. Podeu ampliar idees sobre aquests tres punts al vídeo de la proposta "Si tinc un algoritme, no tinc problema" del C2EM 2020 on es planteja treballar cadascun d'aquests aspectes: l'aplicació, en un context de laberints, la justificació, a partir d'algoritmes aritmètics antics, i la construcció, a partir de jocs d'estratègia.

• I amb els més petits? És molt clar que aquest és un problema més idoni per al final de l'ESO o per batxillerat. Però part de les idees plantejades es poden treballar amb alumnat de cursos inferiors amb altres problemes. Per exemple del Papir d'Ahmes egipci on tenim una col·lecció de 87 problemes, molts d'ells més accessibles. Al papir, com a la tauleta comentada en aquest article, s'enuncien els problemes i s'indiquen, un a un, els càlculs que s'han de fer. En aquest enllaç podeu trobar la relació de problemes. Però, per a obrir boca, compartim un parell de problemes:
  
  
• Problema 26. "Una quantitat i el seu quart es converteixen en 15, i es demana calcular la quantitat."
1. "Pren el 4 i llavors se n'obté 1/4 en 1, en total 5"
2. "Divideix entre 5 15 i obtens 3"
3. "Multiplica 3 per 4 obtenint 12, del qual 1/4 és 3, en total 15"
   
   
• Problema 51. "Quina és l'àrea dun triangle (rectangle) de costat 10 jet i base 4 jet?"
1. "Pren la meitat de 4 per formar un rectangle".
2. "Multiplica 10 per 2 i el resultat, 20. És l'àrea buscada".