Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament als deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrera que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, en que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, como no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dóna sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

Idees claus de l'algoritme

Partim de dues idees inicials:

• Trobar l'arrel quadrada d'un nombre significa esbrinar el costat del quadrat que té com a àrea el nombre del que busquem l'arrel.

• Si tenim un rectangle del que coneixem l'àrea i un dels costats només cal fer una divisió, operació ben fàcil i coneguda, per esbrinar l'altre.

Si volem resoldre una arrel quadrada el que podem fer és "inventar-nos" un costat i calcular l'altre. I si el resultat no és "prou quadrat", és a dir, si els dos costats no són iguals o suficientment iguals segons el grau d'aproximació que vulguem, tornarem a provar amb un nou costat que funcioni millor. Aquest nou costat haurà d'estar entre les dues mides provades anteriorment: ni tan llarg com el més llarg, ni tan curt com el més curt. Una bona idea és provar amb la mitjana aritmètica dels dos nombres. D'aquesta manera anirem repetint el procés fins que arribem a un resultat tan "quadrat" com vulguem.

Mirem un exemple pas a pas

Si volem trobar l'arrel quadrada de 254 podem provar que un dels costats del "quadrat" valgui 12. Un cop fet el càlcul (254:12=21,16) observem que obtenim un rectangle de 12x21,16 ben allunyat del quadrat esperat. 

Per tant caldrà fer una nova prova. El nou costat a provar serà un que estigui entre 12 i 21,16. L'algoritme d'Heró ens diu que triem la seva mitjana aritmètica.

Bé... una mica més quadrat que abans però encara no ho és prou. Busquem, doncs, un nou costat amb el mateix mètode: fent la mitjana dels anteriors.

Hem millorat però no prou. Tornem-hi:

A primera vista la figura sembla prou quadrada i si mirem es nombres i acceptem una aproximació d'un decimal podrem dir que ja ho tenim: en quatre passos hem calculat l'arrel quadrada de 254:

Ho provem?

Amb l'applet enllaçat (fet amb flash) pots provar una mica el mètode. Es proposa el càlcul d'una arrel quadrada i se't demana una primera aproximació. A partir d'aquí només hauràs de decidir si la figura obtinguda és "prou quadrada" o no. Podràs observar que la quantitat de tempteigs dependrà de la "qualitat" de la primera aproximació.

Enllaç a l'applet (flash)

Propostes per a l'aula

Aquest algoritme té característiques interessants. Una, de molt clara, és la connexió entre el camp numèric i el geomètric. Una altra és que ens proposa un mètode recursiu, iteratiu, de reaprofitament de resultats, amb molt de sentit. Els mètodes iteratius no acostumen a ser molt presents a les nostres aules i conèixer algun pot ser especialment interessant.

• Provar el mètode. Una opció seria fer dibuixar els rectangles a més de fer els càlculs, tot proposant nombres que després hi càpiguen en un full, per exemple arrels quadrades entre 40 i 100.
• Preparar un full de càlcul que modelitzi el mètode. Un cop dissenyat podem experimentar en quin grau augmenta o redueix el procés l'encert en la primera aproximació. Aquí teniu un exemple fet amb GeoGebra. 

Prement la tecla F9 canvia el nombre del què s'ha de calcular l'arrel.