6 d’abril de 2014

Ta-Te-Ti boig i Tripos: dues variants del tres en ratlla

El tres en ratlla és, probablement, el joc d'alineació més antic que es coneix. En la versió clàssica "a llapis i paper" sabem que el segon jugador (el que no comença) té sempre la possibilitat de fer taules. En la versió amb fitxes, si no es permet saltar, jugant perfectament guanya el primer i, si es permet el sal, també el segon pot provocar taules. Ara us proposem estudiar dues variants del joc que tenen en comú dues característiques: són sorprenents i relativament fàcils d'analitzar, sobre tot la primera. Això les fa molt aptes per treballar-se a classe.
  • El Ta-Te-Ti boig
Aquest joc es pot jugar amb paper i llapis o amb fitxes sobre un tauler de 3x3. L'objectiu, com sempre, és fer "tres en ratlla", alinear tres fitxes d'un mateix color en horitzontal, vertical o diagonal. No hi ha moviment de les fitxes: només té la fase de col·locació. Quan s'han posat les nou fitxes, si ningú ha fet tres en ratlla, la partida està acabada. La variant és que cap dels dos jugador té un color propi, quan li toca pot posar la fitxa del color que vulgui.


Pots practicar amb aquest applet. Clicant sobre la casella successives vegades mostra rodona, creu o torna a quedar en blanc


  • El tripos
El tauler del joc del Tripos és lleugerament diferent. Les caselles són de tres colors distribuïdes com a un quadrat llatí. L'objectiu torna ser connectar tres fitxes però aquesta vegada ha de ser en fila, columna o color; no val el tres en ratlla en diagonal. Un altre canvi important respecte al tres en ratlla normal és que cada jugador disposa de quatre fitxes (al "normal" el primer en té 5) i si, posades les fitxes, no hi ha tres connectades guanya el segon jugador: no hi ha empat.


Pots practicar amb aquest applet arrossegant les fitxes

Vols que analitzem els dos jocs?

Anàlisi del Ta-te-ti boig

En els jocs de tres en ratlla més tradicionals no totes les caselles tenen la mateixa quantitat de connexions. Així la casella central és la més privilegiada perquè té quatre connexions, les cantonades, tres i les del mig del costat són més febles perquè només en tenen dues.
Connexions de cada tipus de casella
Això ja ens dóna  la pista de que la millor sortida és jugar a la casella central.
El segon jugador té dues respostes possibles: a una cantonada o al mig d'un costat i sempre amb el color contrari, ja que si posa el mateix color el primer li faria tres en ratlla de forma immediata. Analitzem la primera opció.
  • El segon jugador juga a una cantonada
La resposta no és gaire difícil de trobar: jugar a la cantonada oposada amb el mateix color que ell. Si es mira amb atenció el tauler es veurà que serà indiferent que posi el segon a la següent jugada: sempre el primer podrà fer tres en ratlla.

  • El segon jugador juga a una casella del mig
En aquest cas la partida s'allarga una mica més però també trobem una estratègia guanyadora per a qui comença. El que convé ara és jugar a la casella del mig contrària.
S'observa que el segon no pot tirar a les cantonades amb cap color. Per tant l'única possibilitat és tornar a jugar al mig (amb creu). El primer respondrà de la mateixa manera que abans.
Observant la distribució obtinguda veiem que el segon jugador no pot posar ni creu ni rodona sense que a la següent jugada l'altre faci tres en ratlla.

Anàlisi del Tripos

Si heu jugat una mica potser haureu pensat que les regles afavoreixen al segon jugador però el cert és que, com abans, podem trobar una estratègia pel que comença el joc. És només una mica més complicat d'analitzar que l'anterior.

En primer lloc, si estudiem el tauler i les regles, observarem que no hi ha caselles privilegiades, totes tenen tres connexions: fila, columna i color. En aquest cas potser el que ens interessa és observar les caselles que estan desconnectades entre si. Analitzant el tauler veurem que hi ha tres grups de caselles que no tenen lligam ni per columna, ni per filera, ni per color.
Ternes de caselles desconnectades
Al no haver-hi caselles privilegiades és indiferent quina segui la primera triada per jugar. El que hem d'observar és la resposta del contrari. Tenim dues possibilitats bàsiques: que jugui a una casella connectada amb la nostra o que jugui a una desconnectada. En cada cas hauem d'actuar d'una forma diferent.
  • El segon jugador juga a una casella desconnectada
Mirem aquest exemple, negres no han jugat ni a la mateixa columna, ni fila, ni color.

El que convé en aquest cas és ocupar la tercera casella del mateix "grup de desconnexió".


Tirin on tirin ara negres blanques tenen una resposta que realitza una doble amenaça (fila i columna, fila i color o columna i color). A més, la resposta és fàcil de trobar perquè juguen obligades, si no negres farien tres en ratlla.


  • El segon jugador juga a una casella connectada
Estudiem-ho també amb un exemple. Blanques comencen i veiem una jugada de negres que connecta amb la nostra fila.


En aquest cas la resposta de blanques convenient és obligar a juga a negres a una casella desconnectada de la que acaba de posar: ni per fila, ni per columna ni per color. La qüestió és que sempre li podem obligar a jugar a una d'aquelles de les dues caselles que queden del grup de desconnexió. Al nostre exemple seria així:


A la següent jugada, a partir de la situació creada, sempre blanques podran fer una doble amenaça.



Podeu provar d'aplicar aquestes estratègies amb l'applet i veureu que sempre funcionen.



  • I ara què?
Sempre que trobem l'estratègia guanyadora d'un joc "el matem". Què significa això? Que si no tenim afanys de presumir davant dels altres ja no té cap gràcia jugar. Una alternativa eficient per continuar fruint del joc és canviar alguna perita regla. En el nostre cas tenim una de fàcil: invertir l'objectiu:

Qui fa tres en ratlla... perd!

Així tindrem dos jocs nous per estudiar (i més difícils, per cert): el ti-te-ta boig i el Postri.


  • Notes
El joc del Ta-te-ti boig apareix al capítol 9 (Al estilo del tres en raya) del llibre Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas de Martin Gardner.

El joc del Tripos apareix al llibre d'Adrian Paenza Matemática...¿Estás ahí? Episodio 3,14. Paenza també el refereix a Gardner. Hi ha altres formes de descriure l'estratègia guanyadora. Al final he descartat la que jo mateix havia trobat veient molt més clara la que descriu Paenza.

No cal dir que per jugar al Tripod a l'aula ens podem inventar taulers en blanc i negre més econòmics:



Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada